Номер 170, страница 226 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные уравнения. Системы алгебраических уравнений. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 170, страница 226.

170. Решите уравнение:

1) $(x^2 + 6x)^2 + (x^2 + 6x) - 56 = 0;$

2) $(x^2 + 4x + 3)(x^2 + 4x + 5) = 15;$

3) $\frac{x^4}{(x+4)^2} + \frac{23x^2}{x+4} - 50 = 0;$

4) $\frac{x+3}{x-2} - \frac{x-2}{x+3} = \frac{3}{2}.$

1) $(x^2 + 6x)^2 + (x^2 + 6x) - 56 = 0$

Это биквадратное уравнение относительно выражения $x^2 + 6x$. Введем замену переменной.
Пусть $t = x^2 + 6x$. Тогда уравнение примет вид:

$t^2 + t - 56 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Решим его с помощью теоремы Виета.
Произведение корней равно $-56$, а их сумма равна $-1$. Подбираем корни: $t_1 = 7$ и $t_2 = -8$.
Проверка: $7 \cdot (-8) = -56$, $7 + (-8) = -1$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $t = 7$.
$x^2 + 6x = 7$
$x^2 + 6x - 7 = 0$
По теореме Виета, произведение корней равно $-7$, сумма корней равна $-6$.
Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -7$.

Случай 2: $t = -8$.
$x^2 + 6x = -8$
$x^2 + 6x + 8 = 0$
По теореме Виета, произведение корней равно $8$, сумма корней равна $-6$.
Корни: $x_3 = -2$, $x_4 = -4$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-7; -4; -2; 1$.

2) $(x^2 + 4x + 3)(x^2 + 4x + 5) = 15$

В этом уравнении также можно использовать замену переменной.
Пусть $t = x^2 + 4x$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$(t + 3)(t + 5) = 15$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $t$.
$t^2 + 5t + 3t + 15 = 15$
$t^2 + 8t + 15 - 15 = 0$
$t^2 + 8t = 0$
$t(t + 8) = 0$
Отсюда получаем два значения для $t$: $t_1 = 0$ и $t_2 = -8$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 0$.
$x^2 + 4x = 0$
$x(x + 4) = 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -4$.

Случай 2: $t = -8$.
$x^2 + 4x = -8$
$x^2 + 4x + 8 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16$.
Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Следовательно, у исходного уравнения два корня.

Ответ: $-4; 0$.

3) $\frac{x^4}{(x + 4)^2} + \frac{23x^2}{x + 4} - 50 = 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю.
$x + 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4$.

Перепишем уравнение в виде:
$(\frac{x^2}{x + 4})^2 + 23 \cdot \frac{x^2}{x + 4} - 50 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = \frac{x^2}{x + 4}$. Уравнение примет вид:

$t^2 + 23t - 50 = 0$

Решим это квадратное уравнение по формуле корней:
$D = b^2 - 4ac = 23^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 529 + 200 = 729 = 27^2$.
$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-23 \pm 27}{2}$.
$t_1 = \frac{-23 + 27}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$t_2 = \frac{-23 - 27}{2} = \frac{-50}{2} = -25$

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 2$.
$\frac{x^2}{x + 4} = 2$
$x^2 = 2(x + 4)$
$x^2 = 2x + 8$
$x^2 - 2x - 8 = 0$
По теореме Виета, $x_1 = 4$, $x_2 = -2$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Случай 2: $t = -25$.
$\frac{x^2}{x + 4} = -25$
$x^2 = -25(x + 4)$
$x^2 = -25x - 100$
$x^2 + 25x + 100 = 0$
Решим по формуле корней:
$D = 25^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 625 - 400 = 225 = 15^2$.
$x = \frac{-25 \pm 15}{2}$
$x_3 = \frac{-25 + 15}{2} = -5$
$x_4 = \frac{-25 - 15}{2} = -20$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-20; -5; -2; 4$.

4) $\frac{x + 3}{x - 2} - \frac{x - 2}{x + 3} = \frac{3}{2}$

ОДЗ: $x - 2 \neq 0$ и $x + 3 \neq 0$, то есть $x \neq 2$ и $x \neq -3$.

Заметим, что дроби в левой части являются взаимно обратными. Введем замену:
Пусть $t = \frac{x + 3}{x - 2}$. Тогда $\frac{x - 2}{x + 3} = \frac{1}{t}$. Уравнение примет вид:

$t - \frac{1}{t} = \frac{3}{2}$

Умножим обе части уравнения на $2t$ (при $t \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателей:
$2t^2 - 2 = 3t$
$2t^2 - 3t - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение для $t$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
$t = \frac{3 \pm 5}{4}$
$t_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2$
$t_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}$

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 2$.
$\frac{x + 3}{x - 2} = 2$
$x + 3 = 2(x - 2)$
$x + 3 = 2x - 4$
$x = 7$. Корень удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $t = -\frac{1}{2}$.
$\frac{x + 3}{x - 2} = -\frac{1}{2}$
$2(x + 3) = -1(x - 2)$
$2x + 6 = -x + 2$
$3x = -4$
$x = -\frac{4}{3}$. Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-\frac{4}{3}; 7$.