Номер 171, страница 226 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные уравнения. Системы алгебраических уравнений. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 171, страница 226.

171. Решите уравнение:

1) $x^2 - 2x + \frac{5}{x+8} = \frac{5}{x+8} + 80;$

2) $x^2 + 4(\sqrt{x})^2 - 21 = 0.$

1) $x^2 - 2x + \frac{5}{x+8} = \frac{5}{x+8} + 80$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:

$x + 8 \neq 0$

$x \neq -8$

Теперь приступим к решению уравнения. Заметим, что в левой и правой частях уравнения есть одинаковый член $\frac{5}{x+8}$. Вычтем его из обеих частей уравнения:

$x^2 - 2x + \frac{5}{x+8} - \frac{5}{x+8} = 80$

$x^2 - 2x = 80$

Перенесем 80 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 80 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 18}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 18}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq -8$).

Корень $x_1 = 10$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -8$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, $x = -8$ является посторонним корнем.

Ответ: $10$

2) $x^2 + 4(\sqrt{x})^2 - 21 = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$x \ge 0$

Упростим уравнение. По определению, для всех $x$ из ОДЗ выполняется равенство $(\sqrt{x})^2 = x$. Подставим это в уравнение:

$x^2 + 4x - 21 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет ОДЗ, так как $3 \ge 0$.

Корень $x_2 = -7$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-7 < 0$. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: $3$