Номер 178, страница 227 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные уравнения. Системы алгебраических уравнений. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 178, страница 227.

178. При каком значении $b$ корни уравнения $x^2 + bx - 7 = 0$ являются противоположными числами? Найдите эти корни.

Дано квадратное уравнение $x^2 + bx - 7 = 0$.

По условию, корни уравнения, которые мы обозначим как $x_1$ и $x_2$, являются противоположными числами. Это означает, что их сумма равна нулю:

$x_1 + x_2 = 0$

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ по теореме Виета сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком ($x_1 + x_2 = -p$), а произведение корней равно свободному члену ($x_1 \cdot x_2 = q$).

Применим теорему Виета к нашему уравнению $x^2 + bx - 7 = 0$:

$x_1 + x_2 = -b$

Так как мы знаем, что $x_1 + x_2 = 0$, мы можем составить равенство:

$-b = 0$

Отсюда следует, что искомое значение $b$ равно 0.

Теперь, когда значение $b$ найдено, мы можем найти сами корни. Подставим $b=0$ в исходное уравнение:

$x^2 + (0) \cdot x - 7 = 0$

$x^2 - 7 = 0$

Решим это неполное квадратное уравнение, перенеся 7 в правую часть:

$x^2 = 7$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два корня:

$x_1 = \sqrt{7}$ и $x_2 = -\sqrt{7}$

Эти корни действительно являются противоположными числами, так как $\sqrt{7} + (-\sqrt{7}) = 0$.

Ответ: Значение $b$ равно 0; корни уравнения: $\sqrt{7}$ и $-\sqrt{7}$.