Номер 179, страница 227 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные уравнения. Системы алгебраических уравнений. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 179, страница 227.

179. Один из корней уравнения $x^2 - 8x + c = 0$ на 6 меньше другого. Найдите значение c и корни уравнения.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма его корней ($x_1$ и $x_2$) равна коэффициенту $p$ с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену $q$:
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 - 8x + c = 0$ коэффициенты равны $p = -8$ и $q = c$. Следовательно, для его корней $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:
1) $x_1 + x_2 = -(-8) = 8$
2) $x_1 \cdot x_2 = c$

По условию задачи, один корень на 6 меньше другого. Пусть $x_1$ будет меньшим корнем, тогда $x_2 = x_1 + 6$.

Теперь мы можем составить систему уравнений для нахождения корней:
$\begin{cases} x_1 + x_2 = 8 \\ x_2 = x_1 + 6 \end{cases}$

Подставим выражение для $x_2$ из второго уравнения в первое, чтобы найти корни уравнения:
$x_1 + (x_1 + 6) = 8$
$2x_1 + 6 = 8$
$2x_1 = 8 - 6$
$2x_1 = 2$
$x_1 = 1$

Зная первый корень, находим второй:
$x_2 = x_1 + 6 = 1 + 6 = 7$
Таким образом, корни уравнения — 1 и 7.

Теперь, зная корни, мы можем найти значение c, используя второе соотношение из теоремы Виета:
$c = x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot 7 = 7$

Ответ: значение $c = 7$, корни уравнения: 1 и 7.