Номер 180, страница 227 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные уравнения. Системы алгебраических уравнений. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 180, страница 227.

180. Корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 - 5x + m = 0$ удовлетворяют условию $2x_1 - 3x_2 = 20$. Найдите корни уравнения и значение $m$.

Дано квадратное уравнение $x^2 - 5x + m = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Также известно, что корни удовлетворяют условию $2x_1 - 3x_2 = 20$. Необходимо найти корни уравнения и значение $m$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$.

Применительно к нашему уравнению $x^2 - 5x + m = 0$ получаем:
1) Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-5) = 5$
2) Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = m$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $x_1$ и $x_2$. Первое уравнение взято из теоремы Виета, а второе — из условия задачи:
$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 5 \\ 2x_1 - 3x_2 = 20 \end{cases} $

Решим эту систему. Выразим $x_1$ из первого уравнения: $x_1 = 5 - x_2$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$2(5 - x_2) - 3x_2 = 20$
$10 - 2x_2 - 3x_2 = 20$
$10 - 5x_2 = 20$
$-5x_2 = 20 - 10$
$-5x_2 = 10$
$x_2 = \frac{10}{-5} = -2$

Теперь, зная $x_2$, найдем $x_1$:
$x_1 = 5 - x_2 = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7$.
Таким образом, мы нашли корни уравнения: $x_1 = 7$ и $x_2 = -2$.

Наконец, найдем значение параметра $m$, используя второе соотношение из теоремы Виета: $m = x_1 \cdot x_2$.
Подставим найденные значения корней:
$m = 7 \cdot (-2) = -14$.

Ответ: Корни уравнения: $x_1 = 7$, $x_2 = -2$; значение $m = -14$.