Номер 187, страница 228 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные уравнения. Системы алгебраических уравнений. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 187, страница 228.

187. Решите уравнение:

1) $(x - y)^2 + (x - 9)^2 = 0;$

2) $(x - 3y + 1)^2 + x^2 - 8xy + 16y^2 = 0;$

3) $|x + 3y - 4| + (2x - 6y + 3)^2 = 0;$

4) $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 13 = 0.$

1) Исходное уравнение: $(x - y)^2 + (x - 9)^2 = 0$.

Это уравнение представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых, так как квадрат любого действительного числа больше или равен нулю: $(x - y)^2 \ge 0$ и $(x - 9)^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Таким образом, мы получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x - y = 0 \\ x - 9 = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения находим $x$:
$x - 9 = 0 \implies x = 9$.

Подставляем найденное значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$9 - y = 0 \implies y = 9$.

Таким образом, решение уравнения — пара чисел $(9, 9)$.

Ответ: $(9, 9)$.

---

2) Исходное уравнение: $(x - 3y + 1)^2 + x^2 - 8xy + 16y^2 = 0$.

Заметим, что выражение $x^2 - 8xy + 16y^2$ является полным квадратом разности. Используя формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=4y$, получаем:
$x^2 - 8xy + 16y^2 = (x - 4y)^2$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:
$(x - 3y + 1)^2 + (x - 4y)^2 = 0$.

Это снова сумма двух квадратов, которая равна нулю. Это возможно только если оба слагаемых равны нулю:

$\begin{cases} x - 3y + 1 = 0 \\ x - 4y = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$:
$x = 4y$.

Подставим это выражение в первое уравнение:
$(4y) - 3y + 1 = 0$
$y + 1 = 0$
$y = -1$.

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение $x=4y$:
$x = 4(-1) = -4$.

Решение уравнения — пара чисел $(-4, -1)$.

Ответ: $(-4, -1)$.

---

3) Исходное уравнение: $|x + 3y - 4| + (2x - 6y + 3)^2 = 0$.

Это уравнение представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых. Модуль любого действительного числа $|a|$ всегда неотрицателен ($|a| \ge 0$), и квадрат любого действительного числа $b^2$ также неотрицателен ($b^2 \ge 0$).

Сумма этих двух слагаемых равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю. Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x + 3y - 4 = 0 \\ 2x - 6y + 3 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 4 - 3y$.

Подставим это выражение во второе уравнение:
$2(4 - 3y) - 6y + 3 = 0$
$8 - 6y - 6y + 3 = 0$
$11 - 12y = 0$
$12y = 11$
$y = \frac{11}{12}$.

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение для $x$:
$x = 4 - 3y = 4 - 3 \cdot \frac{11}{12} = 4 - \frac{11}{4} = \frac{16}{4} - \frac{11}{4} = \frac{5}{4}$.

Решением является пара чисел $(\frac{5}{4}, \frac{11}{12})$.

Ответ: $(\frac{5}{4}, \frac{11}{12})$.

---

4) Исходное уравнение: $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 13 = 0$.

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и с переменной $y$ и выделим полные квадраты.

$(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) + 13 = 0$.

Для выделения полного квадрата для $x$ используем формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$x^2 - 4x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть $2^2 = 4$:
$(x^2 - 4x + 4) - 4 = (x - 2)^2 - 4$.

Для выделения полного квадрата для $y$ используем формулу $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$y^2 + 6y = y^2 + 2 \cdot y \cdot 3$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть $3^2 = 9$:
$(y^2 + 6y + 9) - 9 = (y + 3)^2 - 9$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$((x - 2)^2 - 4) + ((y + 3)^2 - 9) + 13 = 0$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 - 4 - 9 + 13 = 0$
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 - 13 + 13 = 0$
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 0$.

Мы получили сумму двух квадратов, равную нулю. Это возможно только тогда, когда оба слагаемых равны нулю:

$\begin{cases} x - 2 = 0 \\ y + 3 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения находим $x = 2$.
Из второго уравнения находим $y = -3$.

Решением уравнения является пара чисел $(2, -3)$.

Ответ: $(2, -3)$.