Номер 189, страница 228 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные уравнения. Системы алгебраических уравнений. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 189, страница 228.

189. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения:

1) прямой $y=2-5x$ и параболы $y=x^2+x-5$;

2) прямой $x-y+5=0$ и окружности $(x+3)^2+(y-1)^2=13$;

3) прямой $y=3x-10$ и окружности $x^2+y^2=10$;

4) парабол $y=4x^2+5x+2$ и $y=-2x^2-3x-2$.

1) прямой $y=2-5x$ и параболы $y=x^2+x-5$;

Чтобы найти координаты точек пересечения, необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений прямой и параболы:

$ \begin{cases} y = 2-5x \\ y = x^2+x-5 \end{cases} $

Поскольку левые части уравнений равны, приравняем их правые части:

$2-5x = x^2+x-5$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2+x-5-2+5x = 0$

$x^2+6x-7 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $-6$, а их произведение равно $-7$. Этим условиям удовлетворяют числа $1$ и $-7$.

$x_1 = 1$

$x_2 = -7$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого значения $x$, подставив их в уравнение прямой $y=2-5x$.

Для $x_1 = 1$:

$y_1 = 2-5(1) = 2-5 = -3$

Таким образом, первая точка пересечения имеет координаты $(1, -3)$.

Для $x_2 = -7$:

$y_2 = 2-5(-7) = 2+35 = 37$

Таким образом, вторая точка пересечения имеет координаты $(-7, 37)$.

Ответ: $(1, -3)$ и $(-7, 37)$.

2) прямой $x-y+5=0$ и окружности $(x+3)^2+(y-1)^2=13$;

Для нахождения точек пересечения решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x-y+5=0 \\ (x+3)^2+(y-1)^2=13 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = x+5$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$(x+3)^2+((x+5)-1)^2=13$

$(x+3)^2+(x+4)^2=13$

Раскроем скобки:

$(x^2+6x+9) + (x^2+8x+16) = 13$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2+14x+25=13$

$2x^2+14x+12=0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$x^2+7x+6=0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-7$, а произведение равно $6$. Корни уравнения:

$x_1 = -1$

$x_2 = -6$

Найдем соответствующие значения $y$, используя выражение $y = x+5$.

Для $x_1 = -1$:

$y_1 = -1+5 = 4$

Первая точка пересечения: $(-1, 4)$.

Для $x_2 = -6$:

$y_2 = -6+5 = -1$

Вторая точка пересечения: $(-6, -1)$.

Ответ: $(-1, 4)$ и $(-6, -1)$.

3) прямой $y=3x-10$ и окружности $x^2+y^2=10$;

Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} y=3x-10 \\ x^2+y^2=10 \end{cases} $

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$x^2+(3x-10)^2=10$

Раскроем скобки:

$x^2+(9x^2-60x+100)=10$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все в левую часть:

$10x^2-60x+100-10=0$

$10x^2-60x+90=0$

Разделим обе части уравнения на 10:

$x^2-6x+9=0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(x-3)^2=0$

Отсюда находим единственный корень:

$x=3$

Найдем соответствующее значение $y$:

$y = 3(3)-10 = 9-10 = -1$

Так как мы получили только одно решение, прямая является касательной к окружности, и у них одна точка пересечения (точка касания).

Ответ: $(3, -1)$.

4) парабол $y=4x^2+5x+2$ и $y=-2x^2-3x-2$.

Чтобы найти точки пересечения двух парабол, приравняем выражения для $y$:

$4x^2+5x+2 = -2x^2-3x-2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$4x^2+5x+2+2x^2+3x+2=0$

$6x^2+8x+4=0$

Разделим уравнение на 2:

$3x^2+4x+2=0$

Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант $D=b^2-4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16 - 24 = -8$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что графики парабол не пересекаются.

Ответ: точек пересечения нет.