Номер 182, страница 227 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные уравнения. Системы алгебраических уравнений. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 182, страница 227.

182. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 2 больше соответствующих корней уравнения $x^2 + 7x - 4 = 0$.

Для решения этой задачи воспользуемся методом подстановки. Пусть корни исходного уравнения $x^2 + 7x - 4 = 0$ — это $x_1$ и $x_2$. Пусть корни нового, искомого уравнения — это $y_1$ и $y_2$.

По условию, корни нового уравнения на 2 больше соответствующих корней исходного. Это означает, что для любого корня $x$ исходного уравнения соответствующий корень $y$ нового уравнения будет равен $y = x + 2$.

Из этого соотношения мы можем выразить $x$ через $y$: $x = y - 2$.

Поскольку $x$ является корнем уравнения $x^2 + 7x - 4 = 0$, мы можем подставить в него выражение $y - 2$ вместо $x$. Таким образом, мы получим уравнение, которому удовлетворяют новые корни $y$.

Подставляем $x = y - 2$ в исходное уравнение:
$(y - 2)^2 + 7(y - 2) - 4 = 0$

Теперь раскроем скобки и приведём подобные слагаемые, чтобы получить уравнение в стандартном виде $ay^2 + by + c = 0$.
$(y^2 - 4y + 4) + (7y - 14) - 4 = 0$

Убираем скобки и группируем слагаемые:
$y^2 - 4y + 4 + 7y - 14 - 4 = 0$
$y^2 + (-4y + 7y) + (4 - 14 - 4) = 0$

Выполняем вычисления:
$y^2 + 3y - 14 = 0$

Мы получили искомое квадратное уравнение. Традиционно его записывают с переменной $x$.

Ответ: $x^2 + 3x - 14 = 0$