Номер 175, страница 226 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Рациональные уравнения. Системы алгебраических уравнений - номер 175, страница 226.

Учебник.

175. Число 7 является корнем уравнения $x^2 + px - 28 = 0$. Найдите значение $p$ и второй корень уравнения.

Решение 2.

Так как число 7 является корнем уравнения, то при подстановке $x=7$ в уравнение $x^2 + px - 28 = 0$ мы получим верное равенство. Это позволяет нам найти значение коэффициента $p$.

Нахождение значения p

Подставим $x=7$ в исходное уравнение:

$7^2 + p \cdot 7 - 28 = 0$

Выполним вычисления:

$49 + 7p - 28 = 0$

$21 + 7p = 0$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $p$:

$7p = -21$

$p = \frac{-21}{7}$

$p = -3$

Нахождение второго корня уравнения

Подставим найденное значение $p = -3$ в уравнение, чтобы получить его полный вид:

$x^2 - 3x - 28 = 0$

Для нахождения второго корня воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

$x_1 + x_2 = -b$

$x_1 \cdot x_2 = c$

В нашем случае коэффициенты равны $b = -3$ и $c = -28$. Один из корней известен, $x_1 = 7$. Проще всего использовать формулу для произведения корней:

$7 \cdot x_2 = -28$

Отсюда находим второй корень $x_2$:

$x_2 = \frac{-28}{7}$

$x_2 = -4$

Для проверки можно использовать формулу для суммы корней: $x_1 + x_2 = 7 + (-4) = 3$. В нашем уравнении $-b = -(-3) = 3$. Так как $3=3$, второй корень найден верно.

Ответ: значение $p = -3$, второй корень уравнения равен $-4$.