Номер 174, страница 226 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные уравнения. Системы алгебраических уравнений. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 174, страница 226.

174. При каком значении b имеет один корень уравнение:

1) $bx^2+x+1=0$;

2) $(b+1)x^2+(b-1)x-2=0?$

1) Уравнение $bx^2 + x + 1 = 0$ будет иметь один корень в двух случаях.

Случай 1: Уравнение является квадратным.

Это происходит при условии, что коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $b \neq 0$. Квадратное уравнение имеет один корень, когда его дискриминант $D$ равен нулю. Для данного уравнения коэффициенты равны: $a=b$, $b=1$, $c=1$.

Вычислим дискриминант:

$D = 1^2 - 4 \cdot b \cdot 1 = 1 - 4b$

Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти значение $b$, при котором уравнение имеет один корень:

$1 - 4b = 0$

$4b = 1$

$b = \frac{1}{4}$

Это значение удовлетворяет условию $b \neq 0$, следовательно, является решением.

Случай 2: Уравнение вырождается в линейное.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $b = 0$.

Подставим $b = 0$ в исходное уравнение:

$0 \cdot x^2 + x + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Это линейное уравнение имеет один корень $x = -1$. Следовательно, $b = 0$ также является решением.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что уравнение имеет один корень при $b = 0$ и при $b = 1/4$.

Ответ: $b=0$ или $b=1/4$.

2) Уравнение $(b+1)x^2 + (b-1)x - 2 = 0$ будет иметь один корень в двух случаях.

Случай 1: Уравнение является квадратным.

Это происходит при условии, что коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $b+1 \neq 0$, или $b \neq -1$. Квадратное уравнение имеет один корень, когда его дискриминант $D$ равен нулю. Для данного уравнения коэффициенты равны: $a=b+1$, $b_{coeff}=b-1$, $c=-2$.

Вычислим дискриминант:

$D = (b-1)^2 - 4 \cdot (b+1) \cdot (-2) = (b^2 - 2b + 1) + 8(b+1) = b^2 - 2b + 1 + 8b + 8 = b^2 + 6b + 9$

Заметим, что полученное выражение является полным квадратом: $D = (b+3)^2$.

Приравняем дискриминант к нулю:

$(b+3)^2 = 0$

$b+3 = 0$

$b = -3$

Это значение удовлетворяет условию $b \neq -1$, следовательно, является решением.

Случай 2: Уравнение вырождается в линейное.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $b+1 = 0$, или $b = -1$.

Подставим $b = -1$ в исходное уравнение:

$(-1+1)x^2 + (-1-1)x - 2 = 0$

$0 \cdot x^2 - 2x - 2 = 0$

$-2x - 2 = 0$

Это линейное уравнение имеет один корень $x = -1$. Следовательно, $b = -1$ также является решением.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что уравнение имеет один корень при $b = -3$ и при $b = -1$.

Ответ: $b=-3$ или $b=-1$.