Номер 169, страница 226 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные уравнения. Системы алгебраических уравнений. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 169, страница 226.

169. Решите уравнение:

1) $x^4 - 10x^2 + 24 = 0;$

2) $x^4 + 2x^2 - 24 = 0;$

3) $x^4 - 3x^2 - 70 = 0;$

4) $4x^4 - 5x^2 + 1 = 0.$

1) $x^4 - 10x^2 + 24 = 0$

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то должно выполняться условие $t \ge 0$.

Подставив $t$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение:

$t^2 - 10t + 24 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 10, а их произведение равно 24. Легко подобрать корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = 6$.

Либо найдем корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4 = 2^2$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 2}{2} = 6$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 2}{2} = 4$

Оба найденных значения $t$ удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену:

1. При $t = 6$, имеем $x^2 = 6$, откуда $x = \pm\sqrt{6}$.

2. При $t = 4$, имеем $x^2 = 4$, откуда $x = \pm\sqrt{4} = \pm2$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-\sqrt{6}; -2; 2; \sqrt{6}$.

2) $x^4 + 2x^2 - 24 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:

$t^2 + 2t - 24 = 0$

Найдем его корни. По теореме Виета: сумма корней равна -2, а произведение -24. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -6$.

Или через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 = 10^2$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 10}{2} = 4$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 10}{2} = -6$

Проверим условие $t \ge 0$. Корень $t_1 = 4$ подходит. Корень $t_2 = -6$ не подходит, так как $x^2$ не может быть отрицательным числом в поле действительных чисел.

Выполним обратную замену для подходящего корня:

$x^2 = 4$, откуда $x = \pm\sqrt{4} = \pm2$.

Ответ: $-2; 2$.

3) $x^4 - 3x^2 - 70 = 0$

Введем замену $t = x^2$, при условии $t \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$t^2 - 3t - 70 = 0$

Найдем корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 9 + 280 = 289 = 17^2$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 17}{2} = 10$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 17}{2} = -7$

Корень $t_1 = 10$ удовлетворяет условию $t \ge 0$. Корень $t_2 = -7$ не удовлетворяет этому условию, поэтому отбрасываем его.

Выполним обратную замену:

$x^2 = 10$, откуда $x = \pm\sqrt{10}$.

Ответ: $-\sqrt{10}; \sqrt{10}$.

4) $4x^4 - 5x^2 + 1 = 0$

Снова используем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$4t^2 - 5t + 1 = 0$

Найдем корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9 = 3^2$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Оба корня, $t_1 = 1$ и $t_2 = \frac{1}{4}$, являются неотрицательными и подходят для дальнейшего решения.

Выполним обратную замену:

1. При $t = 1$, имеем $x^2 = 1$, откуда $x = \pm\sqrt{1} = \pm1$.

2. При $t = \frac{1}{4}$, имеем $x^2 = \frac{1}{4}$, откуда $x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$.

Уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-1; -\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; 1$.