Номер 165, страница 226 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные уравнения. Системы алгебраических уравнений. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 165, страница 226.

165. Решите уравнение:

1) $ \frac{2x - 1}{2x + 1} - \frac{2x + 1}{2x - 1} = \frac{4}{1 - 4x^2} $

2) $ \frac{x^2 + 8x}{x + 10} = \frac{20}{x + 10} $

3) $ \frac{x^2 - 4}{x + 1} = \frac{3x}{x + 1} $

4) $ \frac{x + 1}{x - 2} + \frac{x}{x + 2} = \frac{8}{x^2 - 4} $

5) $ \frac{x + 1}{x + 3} + \frac{x - 1}{x - 3} = \frac{2x + 18}{x^2 - 9} $

6) $ \frac{10}{x^2 - 5x} - \frac{x - 3}{x - 5} = \frac{1}{x} $

7) $ \frac{4x}{x^2 - 4x + 4} - \frac{x + 2}{x^2 - 2x} = \frac{1}{x} $

8) $ \frac{4}{x^2 - 49} - \frac{2}{x^2 - 7x} + \frac{x - 4}{x^2 + 7x} = 0 $

1) $\frac{2x-1}{2x+1} - \frac{2x+1}{2x-1} = \frac{4}{1-4x^2}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:

$2x+1 \neq 0 \implies x \neq -0.5$

$2x-1 \neq 0 \implies x \neq 0.5$

$1-4x^2 \neq 0 \implies (1-2x)(1+2x) \neq 0 \implies x \neq \pm 0.5$

ОДЗ: $x \neq \pm 0.5$.

Преобразуем правую часть уравнения: $\frac{4}{1-4x^2} = \frac{4}{-(4x^2-1)} = -\frac{4}{(2x-1)(2x+1)}$.

Приведем левую часть к общему знаменателю $(2x+1)(2x-1)$:

$\frac{(2x-1)(2x-1)}{(2x+1)(2x-1)} - \frac{(2x+1)(2x+1)}{(2x-1)(2x+1)} = -\frac{4}{(2x-1)(2x+1)}$

$\frac{(2x-1)^2 - (2x+1)^2}{(2x+1)(2x-1)} = -\frac{4}{(2x-1)(2x+1)}$

Умножим обе части на общий знаменатель $(2x-1)(2x+1)$, учитывая ОДЗ:

$(2x-1)^2 - (2x+1)^2 = -4$

Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$((2x-1)-(2x+1))((2x-1)+(2x+1)) = -4$

$(2x-1-2x-1)(2x-1+2x+1) = -4$

$(-2)(4x) = -4$

$-8x = -4$

$x = \frac{-4}{-8} = 0.5$

Проверим корень по ОДЗ. Мы получили $x=0.5$, но $x \neq 0.5$. Следовательно, у уравнения нет корней.

Ответ: корней нет.

2) $\frac{x^2+8x}{x+10} = \frac{20}{x+10}$

ОДЗ: $x+10 \neq 0 \implies x \neq -10$.

Так как знаменатели дробей равны, то равны и их числители (при условии соблюдения ОДЗ):

$x^2+8x = 20$

$x^2+8x-20 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета:

$x_1 + x_2 = -8$

$x_1 \cdot x_2 = -20$

Подбором находим корни: $x_1 = -10$, $x_2 = 2$.

Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_1 = -10$ не удовлетворяет условию $x \neq -10$, поэтому он является посторонним. Корень $x_2 = 2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 2.

3) $\frac{x^2-4}{x+1} = \frac{3x}{x+1}$

ОДЗ: $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$.

Приравняем числители, так как знаменатели равны:

$x^2-4 = 3x$

$x^2-3x-4 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета:

$x_1 + x_2 = 3$

$x_1 \cdot x_2 = -4$

Подбором находим корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -1$.

Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $x \neq -1$, поэтому он является посторонним. Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 4.

4) $\frac{x+1}{x-2} + \frac{x}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}$

ОДЗ: $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$; $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$. Таким образом, $x^2-4 \neq 0$, ОДЗ: $x \neq \pm 2$.

Общий знаменатель: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$. Умножим обе части уравнения на него:

$(x+1)(x+2) + x(x-2) = 8$

$(x^2+2x+x+2) + (x^2-2x) = 8$

$x^2+3x+2 + x^2-2x = 8$

$2x^2+x-6 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 7}{4}$

$x_1 = \frac{-1+7}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$

$x_2 = \frac{-1-7}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $x \neq -2$. Корень $x_1 = 1.5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 1,5.

5) $\frac{x+1}{x+3} + \frac{x-1}{x-3} = \frac{2x+18}{x^2-9}$

ОДЗ: $x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$; $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$. ОДЗ: $x \neq \pm 3$.

Общий знаменатель: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$. Умножим обе части уравнения на него:

$(x+1)(x-3) + (x-1)(x+3) = 2x+18$

$(x^2-3x+x-3) + (x^2+3x-x-3) = 2x+18$

$(x^2-2x-3) + (x^2+2x-3) = 2x+18$

$2x^2-6 = 2x+18$

$2x^2-2x-24 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2-x-12 = 0$

По теореме Виета: $x_1+x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -12$. Корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -3$.

Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию $x \neq -3$. Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 4.

6) $\frac{10}{x^2-5x} - \frac{x-3}{x-5} = \frac{1}{x}$

Разложим знаменатели на множители: $\frac{10}{x(x-5)} - \frac{x-3}{x-5} = \frac{1}{x}$.

ОДЗ: $x \neq 0$, $x-5 \neq 0 \implies x \neq 5$.

Общий знаменатель: $x(x-5)$. Умножим обе части уравнения на него:

$10 - x(x-3) = 1(x-5)$

$10 - x^2+3x = x-5$

$-x^2+2x+15 = 0$

Умножим на -1: $x^2-2x-15 = 0$.

По теореме Виета: $x_1+x_2 = 2$, $x_1 \cdot x_2 = -15$. Корни: $x_1 = 5$, $x_2 = -3$.

Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_1 = 5$ не удовлетворяет условию $x \neq 5$. Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -3.

7) $\frac{4x}{x^2-4x+4} - \frac{x+2}{x^2-2x} = \frac{1}{x}$

Разложим знаменатели на множители: $\frac{4x}{(x-2)^2} - \frac{x+2}{x(x-2)} = \frac{1}{x}$.

ОДЗ: $x \neq 0$, $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$.

Общий знаменатель: $x(x-2)^2$. Умножим обе части уравнения на него:

$4x \cdot x - (x+2)(x-2) = 1 \cdot (x-2)^2$

$4x^2 - (x^2-4) = x^2-4x+4$

$4x^2 - x^2+4 = x^2-4x+4$

$3x^2+4 = x^2-4x+4$

$2x^2+4x = 0$

$2x(x+2) = 0$

Отсюда $2x=0$ или $x+2=0$.

$x_1 = 0$, $x_2 = -2$.

Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \neq 0$. Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -2.

8) $\frac{4}{x^2-49} - \frac{2}{x^2-7x} + \frac{x-4}{x^2+7x} = 0$

Разложим знаменатели на множители: $\frac{4}{(x-7)(x+7)} - \frac{2}{x(x-7)} + \frac{x-4}{x(x+7)} = 0$.

ОДЗ: $x \neq 0$, $x-7 \neq 0 \implies x \neq 7$, $x+7 \neq 0 \implies x \neq -7$. ОДЗ: $x \neq 0, \pm 7$.

Общий знаменатель: $x(x-7)(x+7)$. Умножим обе части уравнения на него:

$4x - 2(x+7) + (x-4)(x-7) = 0$

$4x - 2x - 14 + x^2 - 7x - 4x + 28 = 0$

$x^2 - 9x + 14 = 0$

По теореме Виета: $x_1+x_2 = 9$, $x_1 \cdot x_2 = 14$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 7$.

Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_2 = 7$ не удовлетворяет условию $x \neq 7$. Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 2.