Номер 164, страница 225 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные уравнения. Системы алгебраических уравнений. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 164, страница 225.

164. Решите уравнение:

1) $ \frac{x+2}{x^2-4}=0 $;

2) $ \frac{x^2-4}{x+2}=0 $;

3) $ \frac{x+2}{x+2}=1 $;

4) $ \frac{x^2-9}{x^2-6x+9}=0 $;

5) $ \frac{x^2-6x+9}{x^2-9}=0 $;

6) $ \frac{10-4x}{x+9}+\frac{6x+8}{x+9}=0 $.

1) Решим уравнение $\frac{x+2}{x^2-4} = 0$.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Приравняем числитель к нулю:
$x + 2 = 0$
$x = -2$
Теперь найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:
$x^2 - 4 \neq 0$
$(x-2)(x+2) \neq 0$
Это означает, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$.
Полученный корень $x = -2$ не входит в область допустимых значений, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, у уравнения нет решений.
Ответ: корней нет.

2) Решим уравнение $\frac{x^2-4}{x+2} = 0$.
Приравняем числитель к нулю:
$x^2 - 4 = 0$
$(x-2)(x+2) = 0$
Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Найдем ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$x+2 \neq 0$
$x \neq -2$
Сравниваем корни с ОДЗ. Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корень $x_1 = 2$ входит в ОДЗ.
Ответ: $2$.

3) Решим уравнение $\frac{x+2}{x+2} = 1$.
Найдем ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$x+2 \neq 0$
$x \neq -2$
Для любого значения $x$, удовлетворяющего ОДЗ, выражение в левой части уравнения равно 1. Таким образом, равенство $1=1$ верно для всех допустимых значений $x$.
Следовательно, решением уравнения являются все действительные числа, кроме $x = -2$.
Ответ: $x$ - любое число, кроме $-2$.

4) Решим уравнение $\frac{x^2-9}{x^2-6x+9} = 0$.
Приравняем числитель к нулю:
$x^2 - 9 = 0$
$(x-3)(x+3) = 0$
Возможные корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Найдем ОДЗ, приравняв знаменатель к нулю и исключив эти значения:
$x^2 - 6x + 9 \neq 0$
Воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-3)^2 \neq 0$.
$x-3 \neq 0$
$x \neq 3$
Корень $x_1 = 3$ не входит в ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-3$.

5) Решим уравнение $\frac{x^2-6x+9}{x^2-9} = 0$.
Приравняем числитель к нулю:
$x^2 - 6x + 9 = 0$
$(x-3)^2 = 0$
$x-3 = 0$
$x = 3$
Найдем ОДЗ:
$x^2 - 9 \neq 0$
$(x-3)(x+3) \neq 0$
$x \neq 3$ и $x \neq -3$.
Полученный корень $x=3$ не входит в ОДЗ, следовательно, у уравнения нет решений.
Ответ: корней нет.

6) Решим уравнение $\frac{10-4x}{x+9} + \frac{6x+8}{x+9} = 0$.
Так как у дробей одинаковый знаменатель, сложим их числители:
$\frac{(10-4x) + (6x+8)}{x+9} = 0$
$\frac{10-4x+6x+8}{x+9} = 0$
$\frac{2x+18}{x+9} = 0$
Приравняем числитель к нулю:
$2x + 18 = 0$
$2x = -18$
$x = -9$
Найдем ОДЗ:
$x+9 \neq 0$
$x \neq -9$
Полученный корень $x=-9$ не удовлетворяет ОДЗ. Значит, у уравнения нет решений.
Ответ: корней нет.