Номер 157, страница 225 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Рациональные выражения - номер 157, страница 225.

Учебник.

157. Известно, что $x - \frac{1}{x} = 6$. Найдите значение выражения $x^2 + \frac{1}{x^2}$.

Решение 2.

Для того чтобы найти значение выражения $x^2 + \frac{1}{x^2}$, воспользуемся данным нам равенством $x - \frac{1}{x} = 6$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат. Для левой части применим формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = x$ и $b = \frac{1}{x}$.

$(x - \frac{1}{x})^2 = 6^2$

Раскроем скобки в левой части:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = 36$

Упростим средний член в левой части выражения:

$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 36$

Теперь, чтобы найти значение искомого выражения $x^2 + \frac{1}{x^2}$, перенесем $-2$ из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 36 + 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 38$

Ответ: 38