Номер 150, страница 223 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные выражения. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 150, страница 223.

150. Найдите все натуральные значения n, при которых является целым числом значение выражения:

1) $\frac{5n^2 + 3n + 10}{n}$;

2) $\frac{n^3 - 6n^2 + 32}{n^2}$;

3) $\frac{12n + 11}{3n - 2}$.

1) Чтобы значение выражения $\frac{5n^2 + 3n + 10}{n}$ было целым числом, преобразуем его, разделив каждый член числителя на знаменатель: $\frac{5n^2}{n} + \frac{3n}{n} + \frac{10}{n} = 5n + 3 + \frac{10}{n}$. Поскольку $n$ — натуральное число, то выражение $5n + 3$ всегда является целым. Следовательно, для того чтобы всё выражение было целым, необходимо, чтобы дробь $\frac{10}{n}$ также была целым числом. Это возможно только в том случае, если $n$ является натуральным делителем числа 10. Натуральные делители числа 10: 1, 2, 5, 10. Все эти значения являются натуральными числами и подходят.
Ответ: 1, 2, 5, 10.

2) Преобразуем выражение, разделив числитель на знаменатель: $\frac{n^3 - 6n^2 + 32}{n^2} = \frac{n^3}{n^2} - \frac{6n^2}{n^2} + \frac{32}{n^2} = n - 6 + \frac{32}{n^2}$. Так как $n$ — натуральное число, то $n - 6$ является целым числом. Значит, для целочисленности всего выражения необходимо, чтобы $\frac{32}{n^2}$ было целым числом. Это означает, что $n^2$ должен быть натуральным делителем числа 32. Делители числа 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32. Из этих делителей нужно выбрать те, которые являются полными квадратами натуральных чисел. Это $1=1^2$, $4=2^2$ и $16=4^2$. Отсюда получаем возможные значения для $n$: 1, 2, 4.
Ответ: 1, 2, 4.

3) Для того чтобы найти целые значения выражения $\frac{12n + 11}{3n - 2}$, выделим в нем целую часть. Для этого преобразуем числитель так, чтобы он содержал знаменатель: $12n + 11 = 4(3n) + 11 = 4(3n - 2) + 8 + 11 = 4(3n - 2) + 19$. Теперь подставим это в дробь: $\frac{4(3n - 2) + 19}{3n - 2} = \frac{4(3n - 2)}{3n - 2} + \frac{19}{3n - 2} = 4 + \frac{19}{3n - 2}$. Выражение будет целым, если дробь $\frac{19}{3n - 2}$ является целым числом. Это произойдет, если знаменатель $3n - 2$ является делителем числа 19. Так как 19 — простое число, его делители: 1, -1, 19, -19. Рассмотрим каждый случай:
1. $3n - 2 = 1 \implies 3n = 3 \implies n = 1$. Это натуральное число.
2. $3n - 2 = -1 \implies 3n = 1 \implies n = \frac{1}{3}$. Не является натуральным числом.
3. $3n - 2 = 19 \implies 3n = 21 \implies n = 7$. Это натуральное число.
4. $3n - 2 = -19 \implies 3n = -17 \implies n = -\frac{17}{3}$. Не является натуральным числом.Таким образом, подходят только два натуральных значения $n$.
Ответ: 1, 7.