Номер 156, страница 224 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные выражения. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 156, страница 224.

156. Упростите выражение:

1) $\frac{4x + 4y}{x^6} \cdot \frac{x^3}{x + y}$;

2) $\frac{24b}{b^2 - 16} \cdot \frac{b - 4}{3b}$;

3) $\frac{8}{m^2 - 25n^2} \cdot (m - 5n)$;

4) $\frac{3c + 6}{9c^2 - 6c + 1} \cdot \frac{3c - 1}{c + 2}$;

5) $\frac{a^2 - 4a + 4}{a + 2} : (a - 2)$;

6) $(p^2 - 36k^2) : \frac{p + 6k}{p}$;

7) $\frac{a^3 - b^3}{a^3 + b^3} \cdot \frac{b + a}{b - a}$;

8) $\frac{a^4 - 16}{a^3 - 4a} \cdot \frac{a}{4 + a^2}$;

9) $\frac{a^2 - 7ab}{8b} : \frac{7b^2 - ab}{32a}$.

1) $\frac{4x + 4y}{x^6} \cdot \frac{x^3}{x + y}$

Вынесем общий множитель 4 в числителе первой дроби: $4x + 4y = 4(x + y)$.

Подставим полученное выражение в исходное:

$\frac{4(x + y)}{x^6} \cdot \frac{x^3}{x + y}$

Теперь выполним умножение дробей:

$\frac{4(x + y) \cdot x^3}{x^6 \cdot (x + y)}$

Сократим общие множители $(x + y)$ в числителе и знаменателе. Также сократим $x^3$ и $x^6$:

$\frac{4}{x^{6-3}} = \frac{4}{x^3}$

Ответ: $\frac{4}{x^3}$

2) $\frac{24b}{b^2 - 16} \cdot \frac{b - 4}{3b}$

Разложим знаменатель первой дроби на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$b^2 - 16 = (b - 4)(b + 4)$

Подставим это в выражение:

$\frac{24b}{(b - 4)(b + 4)} \cdot \frac{b - 4}{3b}$

Перемножим дроби:

$\frac{24b \cdot (b - 4)}{(b - 4)(b + 4) \cdot 3b}$

Сократим общие множители $(b - 4)$ и $3b$. Учтем, что $\frac{24b}{3b} = 8$.

$\frac{8}{b + 4}$

Ответ: $\frac{8}{b + 4}$

3) $\frac{8}{m^2 - 25n^2} \cdot (m - 5n)$

Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов:

$m^2 - 25n^2 = (m - 5n)(m + 5n)$

Представим выражение $(m - 5n)$ в виде дроби $\frac{m - 5n}{1}$ и подставим в исходное выражение:

$\frac{8}{(m - 5n)(m + 5n)} \cdot \frac{m - 5n}{1}$

Умножим дроби:

$\frac{8 \cdot (m - 5n)}{(m - 5n)(m + 5n)}$

Сократим общий множитель $(m - 5n)$:

$\frac{8}{m + 5n}$

Ответ: $\frac{8}{m + 5n}$

4) $\frac{3c + 6}{9c^2 - 6c + 1} \cdot \frac{3c - 1}{c + 2}$

Разложим на множители числитель первой дроби, вынеся 3 за скобки: $3c + 6 = 3(c + 2)$.

Разложим на множители знаменатель первой дроби по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$9c^2 - 6c + 1 = (3c - 1)^2$

Подставим разложенные выражения:

$\frac{3(c + 2)}{(3c - 1)^2} \cdot \frac{3c - 1}{c + 2}$

Перемножим дроби и сократим общие множители $(c + 2)$ и $(3c - 1)$:

$\frac{3(c + 2)(3c - 1)}{(3c - 1)^2(c + 2)} = \frac{3}{3c - 1}$

Ответ: $\frac{3}{3c - 1}$

5) $\frac{a^2 - 4a + 4}{a + 2} : (a - 2)$

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$\frac{a^2 - 4a + 4}{a + 2} \cdot \frac{1}{a - 2}$

Разложим числитель первой дроби по формуле квадрата разности:

$a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$

Подставим в выражение:

$\frac{(a - 2)^2}{a + 2} \cdot \frac{1}{a - 2}$

Перемножим дроби и сократим общий множитель $(a - 2)$:

$\frac{(a - 2)^2}{(a + 2)(a - 2)} = \frac{a - 2}{a + 2}$

Ответ: $\frac{a - 2}{a + 2}$

6) $(p^2 - 36k^2) : \frac{p + 6k}{p}$

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$(p^2 - 36k^2) \cdot \frac{p}{p + 6k}$

Разложим выражение в скобках по формуле разности квадратов:

$p^2 - 36k^2 = (p - 6k)(p + 6k)$

Подставим в выражение:

$\frac{(p - 6k)(p + 6k)}{1} \cdot \frac{p}{p + 6k}$

Сократим общий множитель $(p + 6k)$:

$(p - 6k) \cdot p = p(p - 6k) = p^2 - 6pk$

Ответ: $p(p - 6k)$

7) $\frac{a^3 - b^3}{a^3 + b^3} \cdot \frac{b + a}{b - a}$

Разложим числитель и знаменатель первой дроби по формулам разности и суммы кубов:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Во второй дроби вынесем -1 из знаменателя: $b - a = -(a - b)$. Также учтем, что $b + a = a + b$.

Подставим все в исходное выражение:

$\frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{(a + b)(a^2 - ab + b^2)} \cdot \frac{a + b}{-(a - b)}$

Перемножим дроби и сократим общие множители $(a - b)$ и $(a + b)$:

$\frac{(a^2 + ab + b^2)}{ (a^2 - ab + b^2)} \cdot \frac{1}{-1} = -\frac{a^2 + ab + b^2}{a^2 - ab + b^2}$

Ответ: $-\frac{a^2 + ab + b^2}{a^2 - ab + b^2}$

8) $\frac{a^4 - 16}{a^3 - 4a} \cdot \frac{a}{4 + a^2}$

Разложим на множители числитель первой дроби как разность квадратов:

$a^4 - 16 = (a^2 - 4)(a^2 + 4) = (a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)$

Разложим на множители знаменатель первой дроби, вынеся $a$ за скобки и применив формулу разности квадратов:

$a^3 - 4a = a(a^2 - 4) = a(a - 2)(a + 2)$

Подставим в выражение, учитывая, что $4 + a^2 = a^2 + 4$:

$\frac{(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)}{a(a - 2)(a + 2)} \cdot \frac{a}{a^2 + 4}$

Сократим все общие множители: $(a - 2)$, $(a + 2)$, $(a^2 + 4)$ и $a$:

$\frac{\cancel{(a - 2)}\cancel{(a + 2)}\cancel{(a^2 + 4)}}{\cancel{a}\cancel{(a - 2)}\cancel{(a + 2)}} \cdot \frac{\cancel{a}}{\cancel{a^2 + 4}} = 1$

Ответ: $1$

9) $\frac{a^2 - 7ab}{8b} : \frac{7b^2 - ab}{32a}$

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$\frac{a^2 - 7ab}{8b} \cdot \frac{32a}{7b^2 - ab}$

Вынесем общие множители в числителе первой дроби и знаменателе второй:

$a^2 - 7ab = a(a - 7b)$

$7b^2 - ab = b(7b - a)$

Подставим в выражение. Заметим, что $a - 7b = -(7b - a)$.

$\frac{a(a - 7b)}{8b} \cdot \frac{32a}{b(7b - a)} = \frac{a(-(7b - a))}{8b} \cdot \frac{32a}{b(7b - a)}$

Перемножим дроби:

$\frac{-a(7b - a) \cdot 32a}{8b \cdot b(7b - a)}$

Сократим общий множитель $(7b - a)$ и числовые коэффициенты $\frac{32}{8}=4$:

$\frac{-a \cdot 4a}{b \cdot b} = -\frac{4a^2}{b^2}$

Ответ: $-\frac{4a^2}{b^2}$