Номер 158, страница 225 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные выражения. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 158, страница 225.

158. Известно, что $3x + \frac{1}{x} = -3$. Найдите значение выражения $9x^2 + \frac{1}{x^2}$.

Для того чтобы найти значение выражения $9x^2 + \frac{1}{x^2}$, воспользуемся известным равенством $3x + \frac{1}{x} = -3$.

Заметим, что искомое выражение можно получить, возведя в квадрат данное выражение. Применим формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Возведем обе части исходного равенства в квадрат:

$(3x + \frac{1}{x})^2 = (-3)^2$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$(3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot (\frac{1}{x}) + (\frac{1}{x})^2 = 9$

Упростим полученное выражение. Средний член $2 \cdot 3x \cdot \frac{1}{x}$ равен $6$, так как $x$ и $\frac{1}{x}$ сокращаются.

$9x^2 + 6 + \frac{1}{x^2} = 9$

Теперь, чтобы найти значение выражения $9x^2 + \frac{1}{x^2}$, перенесем 6 из левой части уравнения в правую с противоположным знаком:

$9x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 6$

$9x^2 + \frac{1}{x^2} = 3$

Ответ: 3