Номер 160, страница 225 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Рациональные выражения. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 160, страница 225.

160. Дано: $x^2 + \frac{1}{x^2} = 3$. Найдите значение выражения $x - \frac{1}{x}$.

160.

Для того чтобы найти значение выражения $x - \frac{1}{x}$, имея известное значение для $x^2 + \frac{1}{x^2}$, мы можем возвести искомое выражение в квадрат. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Применим эту формулу к нашему выражению:

$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \left(\frac{1}{x}\right)^2$

Упростим средний член выражения:

$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$

Теперь сгруппируем слагаемые так, чтобы использовать данное нам в условии равенство:

$(x - \frac{1}{x})^2 = \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 2$

По условию задачи $x^2 + \frac{1}{x^2} = 3$. Подставим это значение в наше уравнение:

$(x - \frac{1}{x})^2 = 3 - 2 = 1$

Мы нашли, что квадрат искомого выражения равен 1. Чтобы найти значение самого выражения $x - \frac{1}{x}$, необходимо извлечь квадратный корень из 1. Уравнение вида $A^2 = 1$ имеет два корня: $A=1$ и $A=-1$.

Следовательно, выражение $x - \frac{1}{x}$ может принимать два значения.

Ответ: $1; -1$.