Номер 167, страница 226 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Рациональные уравнения. Системы алгебраических уравнений - номер 167, страница 226.

Учебник.

167. При каких значениях a уравнение $ \frac{x+a}{x^2-1} = 0 $ не имеет корней?

Решение 2.

Данное уравнение является дробно-рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это условие можно записать в виде системы:

$$ \begin{cases} x + a = 0 \\ x^2 - 1 \neq 0 \end{cases} $$

Из первого уравнения системы находим потенциальный корень:

$x + a = 0 \implies x = -a$

Из второго условия (неравенства) находим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

Следовательно, условие $x^2 - 1 \neq 0$ означает, что $(x - 1)(x + 1) \neq 0$, откуда получаем:

$x \neq 1$ и $x \neq -1$

Уравнение не имеет корней в том случае, если его единственный потенциальный корень $x = -a$ совпадает с одним из недопустимых значений $x$, то есть попадает в точку, где знаменатель обращается в ноль.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Потенциальный корень $x = -a$ совпадает со значением $x=1$:

$-a = 1 \implies a = -1$

Если $a = -1$, то потенциальный корень $x=1$ не входит в ОДЗ, а значит, исходное уравнение не имеет решений.

2. Потенциальный корень $x = -a$ совпадает со значением $x=-1$:

$-a = -1 \implies a = 1$

Если $a = 1$, то потенциальный корень $x=-1$ не входит в ОДЗ, а значит, и в этом случае исходное уравнение не имеет решений.

Таким образом, уравнение не имеет корней при $a=1$ и $a=-1$.

Ответ: $a=1$ и $a=-1$.