Номер 168, страница 226 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Рациональные уравнения. Системы алгебраических уравнений. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 168, страница 226.
№168 (с. 226)
Учебник. №168 (с. 226)
скриншот условия

168. При каких значениях $a$ уравнение $\frac{(x - a)(x - 4a)}{x + 12} = 0$ имеет единственный корень?
Решение 2. №168 (с. 226)
Данное уравнение представляет собой дробь, которая равна нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен быть равен нулю:
$x + 12 \ne 0$
$x \ne -12$
Теперь приравняем числитель к нулю:
$(x - a)(x - 4a) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два потенциальных корня:
1) $x - a = 0 \implies x_1 = a$
2) $x - 4a = 0 \implies x_2 = 4a$
Уравнение будет иметь единственный корень в двух ситуациях:
1. Корни числителя совпадают, и этот корень удовлетворяет ОДЗ.
Это происходит, когда $x_1 = x_2$.
$a = 4a$
$3a = 0$
$a = 0$
При $a = 0$ оба потенциальных корня равны $x = 0$. Проверим этот корень на соответствие ОДЗ: $0 \ne -12$. Условие выполняется. Следовательно, при $a=0$ уравнение имеет один корень $x=0$.
2. Корни числителя различны, но один из них не удовлетворяет ОДЗ (т.е. равен -12), а второй удовлетворяет.
Это означает, что $a \ne 4a$, то есть $a \ne 0$.
а) Первый корень $x_1 = a$ не удовлетворяет ОДЗ, а второй $x_2 = 4a$ удовлетворяет.
$x_1 = a = -12$
При $a = -12$ второй корень равен $x_2 = 4a = 4 \cdot (-12) = -48$.
Проверим второй корень на соответствие ОДЗ: $-48 \ne -12$. Условие выполняется.
Таким образом, при $a=-12$ один корень ($x=-12$) отбрасывается, а второй ($x=-48$) остается, и уравнение имеет единственное решение.
б) Второй корень $x_2 = 4a$ не удовлетворяет ОДЗ, а первый $x_1 = a$ удовлетворяет.
$x_2 = 4a = -12$
$a = -3$
При $a = -3$ первый корень равен $x_1 = a = -3$.
Проверим первый корень на соответствие ОДЗ: $-3 \ne -12$. Условие выполняется.
Таким образом, при $a=-3$ один корень ($x=-12$) отбрасывается, а второй ($x=-3$) остается, и уравнение имеет единственное решение.
Собрав все найденные значения, получаем, что уравнение имеет единственный корень при $a=0$, $a=-3$ и $a=-12$.
Ответ: $a \in \{-12, -3, 0\}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 168 расположенного на странице 226 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №168 (с. 226), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.