Номер 168, страница 226 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Рациональные уравнения. Системы алгебраических уравнений - номер 168, страница 226.

Учебник.

168. При каких значениях $a$ уравнение $\frac{(x - a)(x - 4a)}{x + 12} = 0$ имеет единственный корень?

Решение 2.

Данное уравнение представляет собой дробь, которая равна нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен быть равен нулю:
$x + 12 \ne 0$
$x \ne -12$

Теперь приравняем числитель к нулю:
$(x - a)(x - 4a) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два потенциальных корня:
1) $x - a = 0 \implies x_1 = a$
2) $x - 4a = 0 \implies x_2 = 4a$

Уравнение будет иметь единственный корень в двух ситуациях:

1. Корни числителя совпадают, и этот корень удовлетворяет ОДЗ.
Это происходит, когда $x_1 = x_2$.
$a = 4a$
$3a = 0$
$a = 0$
При $a = 0$ оба потенциальных корня равны $x = 0$. Проверим этот корень на соответствие ОДЗ: $0 \ne -12$. Условие выполняется. Следовательно, при $a=0$ уравнение имеет один корень $x=0$.

2. Корни числителя различны, но один из них не удовлетворяет ОДЗ (т.е. равен -12), а второй удовлетворяет.
Это означает, что $a \ne 4a$, то есть $a \ne 0$.

а) Первый корень $x_1 = a$ не удовлетворяет ОДЗ, а второй $x_2 = 4a$ удовлетворяет.
$x_1 = a = -12$
При $a = -12$ второй корень равен $x_2 = 4a = 4 \cdot (-12) = -48$.
Проверим второй корень на соответствие ОДЗ: $-48 \ne -12$. Условие выполняется.
Таким образом, при $a=-12$ один корень ($x=-12$) отбрасывается, а второй ($x=-48$) остается, и уравнение имеет единственное решение.

б) Второй корень $x_2 = 4a$ не удовлетворяет ОДЗ, а первый $x_1 = a$ удовлетворяет.
$x_2 = 4a = -12$
$a = -3$
При $a = -3$ первый корень равен $x_1 = a = -3$.
Проверим первый корень на соответствие ОДЗ: $-3 \ne -12$. Условие выполняется.
Таким образом, при $a=-3$ один корень ($x=-12$) отбрасывается, а второй ($x=-3$) остается, и уравнение имеет единственное решение.

Собрав все найденные значения, получаем, что уравнение имеет единственный корень при $a=0$, $a=-3$ и $a=-12$.

Ответ: $a \in \{-12, -3, 0\}$.