Страница 226 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

165. Решите уравнение:

1) $ \frac{2x - 1}{2x + 1} - \frac{2x + 1}{2x - 1} = \frac{4}{1 - 4x^2} $

2) $ \frac{x^2 + 8x}{x + 10} = \frac{20}{x + 10} $

3) $ \frac{x^2 - 4}{x + 1} = \frac{3x}{x + 1} $

4) $ \frac{x + 1}{x - 2} + \frac{x}{x + 2} = \frac{8}{x^2 - 4} $

5) $ \frac{x + 1}{x + 3} + \frac{x - 1}{x - 3} = \frac{2x + 18}{x^2 - 9} $

6) $ \frac{10}{x^2 - 5x} - \frac{x - 3}{x - 5} = \frac{1}{x} $

7) $ \frac{4x}{x^2 - 4x + 4} - \frac{x + 2}{x^2 - 2x} = \frac{1}{x} $

8) $ \frac{4}{x^2 - 49} - \frac{2}{x^2 - 7x} + \frac{x - 4}{x^2 + 7x} = 0 $

1) $\frac{2x-1}{2x+1} - \frac{2x+1}{2x-1} = \frac{4}{1-4x^2}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:

$2x+1 \neq 0 \implies x \neq -0.5$

$2x-1 \neq 0 \implies x \neq 0.5$

$1-4x^2 \neq 0 \implies (1-2x)(1+2x) \neq 0 \implies x \neq \pm 0.5$

ОДЗ: $x \neq \pm 0.5$.

Преобразуем правую часть уравнения: $\frac{4}{1-4x^2} = \frac{4}{-(4x^2-1)} = -\frac{4}{(2x-1)(2x+1)}$.

Приведем левую часть к общему знаменателю $(2x+1)(2x-1)$:

$\frac{(2x-1)(2x-1)}{(2x+1)(2x-1)} - \frac{(2x+1)(2x+1)}{(2x-1)(2x+1)} = -\frac{4}{(2x-1)(2x+1)}$

$\frac{(2x-1)^2 - (2x+1)^2}{(2x+1)(2x-1)} = -\frac{4}{(2x-1)(2x+1)}$

Умножим обе части на общий знаменатель $(2x-1)(2x+1)$, учитывая ОДЗ:

$(2x-1)^2 - (2x+1)^2 = -4$

Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$((2x-1)-(2x+1))((2x-1)+(2x+1)) = -4$

$(2x-1-2x-1)(2x-1+2x+1) = -4$

$(-2)(4x) = -4$

$-8x = -4$

$x = \frac{-4}{-8} = 0.5$

Проверим корень по ОДЗ. Мы получили $x=0.5$, но $x \neq 0.5$. Следовательно, у уравнения нет корней.

Ответ: корней нет.

2) $\frac{x^2+8x}{x+10} = \frac{20}{x+10}$

ОДЗ: $x+10 \neq 0 \implies x \neq -10$.

Так как знаменатели дробей равны, то равны и их числители (при условии соблюдения ОДЗ):

$x^2+8x = 20$

$x^2+8x-20 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета:

$x_1 + x_2 = -8$

$x_1 \cdot x_2 = -20$

Подбором находим корни: $x_1 = -10$, $x_2 = 2$.

Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_1 = -10$ не удовлетворяет условию $x \neq -10$, поэтому он является посторонним. Корень $x_2 = 2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 2.

3) $\frac{x^2-4}{x+1} = \frac{3x}{x+1}$

ОДЗ: $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$.

Приравняем числители, так как знаменатели равны:

$x^2-4 = 3x$

$x^2-3x-4 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета:

$x_1 + x_2 = 3$

$x_1 \cdot x_2 = -4$

Подбором находим корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -1$.

Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $x \neq -1$, поэтому он является посторонним. Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 4.

4) $\frac{x+1}{x-2} + \frac{x}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}$

ОДЗ: $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$; $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$. Таким образом, $x^2-4 \neq 0$, ОДЗ: $x \neq \pm 2$.

Общий знаменатель: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$. Умножим обе части уравнения на него:

$(x+1)(x+2) + x(x-2) = 8$

$(x^2+2x+x+2) + (x^2-2x) = 8$

$x^2+3x+2 + x^2-2x = 8$

$2x^2+x-6 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 7}{4}$

$x_1 = \frac{-1+7}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$

$x_2 = \frac{-1-7}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $x \neq -2$. Корень $x_1 = 1.5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 1,5.

5) $\frac{x+1}{x+3} + \frac{x-1}{x-3} = \frac{2x+18}{x^2-9}$

ОДЗ: $x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$; $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$. ОДЗ: $x \neq \pm 3$.

Общий знаменатель: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$. Умножим обе части уравнения на него:

$(x+1)(x-3) + (x-1)(x+3) = 2x+18$

$(x^2-3x+x-3) + (x^2+3x-x-3) = 2x+18$

$(x^2-2x-3) + (x^2+2x-3) = 2x+18$

$2x^2-6 = 2x+18$

$2x^2-2x-24 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2-x-12 = 0$

По теореме Виета: $x_1+x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -12$. Корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -3$.

Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию $x \neq -3$. Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 4.

6) $\frac{10}{x^2-5x} - \frac{x-3}{x-5} = \frac{1}{x}$

Разложим знаменатели на множители: $\frac{10}{x(x-5)} - \frac{x-3}{x-5} = \frac{1}{x}$.

ОДЗ: $x \neq 0$, $x-5 \neq 0 \implies x \neq 5$.

Общий знаменатель: $x(x-5)$. Умножим обе части уравнения на него:

$10 - x(x-3) = 1(x-5)$

$10 - x^2+3x = x-5$

$-x^2+2x+15 = 0$

Умножим на -1: $x^2-2x-15 = 0$.

По теореме Виета: $x_1+x_2 = 2$, $x_1 \cdot x_2 = -15$. Корни: $x_1 = 5$, $x_2 = -3$.

Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_1 = 5$ не удовлетворяет условию $x \neq 5$. Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -3.

7) $\frac{4x}{x^2-4x+4} - \frac{x+2}{x^2-2x} = \frac{1}{x}$

Разложим знаменатели на множители: $\frac{4x}{(x-2)^2} - \frac{x+2}{x(x-2)} = \frac{1}{x}$.

ОДЗ: $x \neq 0$, $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$.

Общий знаменатель: $x(x-2)^2$. Умножим обе части уравнения на него:

$4x \cdot x - (x+2)(x-2) = 1 \cdot (x-2)^2$

$4x^2 - (x^2-4) = x^2-4x+4$

$4x^2 - x^2+4 = x^2-4x+4$

$3x^2+4 = x^2-4x+4$

$2x^2+4x = 0$

$2x(x+2) = 0$

Отсюда $2x=0$ или $x+2=0$.

$x_1 = 0$, $x_2 = -2$.

Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \neq 0$. Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -2.

8) $\frac{4}{x^2-49} - \frac{2}{x^2-7x} + \frac{x-4}{x^2+7x} = 0$

Разложим знаменатели на множители: $\frac{4}{(x-7)(x+7)} - \frac{2}{x(x-7)} + \frac{x-4}{x(x+7)} = 0$.

ОДЗ: $x \neq 0$, $x-7 \neq 0 \implies x \neq 7$, $x+7 \neq 0 \implies x \neq -7$. ОДЗ: $x \neq 0, \pm 7$.

Общий знаменатель: $x(x-7)(x+7)$. Умножим обе части уравнения на него:

$4x - 2(x+7) + (x-4)(x-7) = 0$

$4x - 2x - 14 + x^2 - 7x - 4x + 28 = 0$

$x^2 - 9x + 14 = 0$

По теореме Виета: $x_1+x_2 = 9$, $x_1 \cdot x_2 = 14$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 7$.

Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_2 = 7$ не удовлетворяет условию $x \neq 7$. Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 2.

166. Для каждого значения $a$ решите уравнение:

1) $\frac{x-4}{x-a}=0;$

2) $\frac{x-a}{x+3}=0;$

3) $\frac{(a-4)(x-a)}{x-3}=0;$

4) $\frac{(x-a)(x+5)}{x-8}=0;$

5) $\frac{(x+4)(x-2)}{x-a}=0;$

6) $\frac{x-a}{(x+4)(x-2)}=0.$

1) Для уравнения $\frac{x-4}{x-a}=0$ дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе условий: $\begin{cases} x - 4 = 0, \\ x - a \neq 0. \end{cases}$
Из первого уравнения находим единственный возможный корень: $x=4$.
Теперь необходимо проверить, при каких значениях параметра $a$ этот корень удовлетворяет второму условию, то есть не обращает знаменатель в ноль. Подставим $x=4$ в условие $x \neq a$:
$4 \neq a$.
Таким образом, мы имеем два случая:
1. Если $a = 4$, то корень $x=4$ не удовлетворяет условию $x \neq a$, так как знаменатель становится $4-4=0$. В этом случае уравнение не имеет решений.
2. Если $a \neq 4$, то корень $x=4$ удовлетворяет условию $x \neq a$, и он является единственным решением уравнения.
Ответ: если $a=4$, то корней нет; если $a \neq 4$, то $x=4$.

2) Уравнение $\frac{x-a}{x+3}=0$ равносильно системе: $\begin{cases} x - a = 0, \\ x + 3 \neq 0. \end{cases}$
Из первого уравнения получаем $x=a$.
Этот корень будет решением исходного уравнения, если он удовлетворяет условию $x \neq -3$. Подставляем $x=a$ в это условие и получаем $a \neq -3$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $a = -3$, то корень $x=a=-3$ обращает знаменатель в ноль и не является решением. В этом случае у уравнения нет корней.
2. Если $a \neq -3$, то корень $x=a$ является решением уравнения.
Ответ: если $a=-3$, то корней нет; если $a \neq -3$, то $x=a$.

3) Уравнение $\frac{(a-4)(x-a)}{x-3}=0$ равносильно системе: $\begin{cases} (a-4)(x-a) = 0, \\ x - 3 \neq 0. \end{cases}$
Равенство нулю числителя $(a-4)(x-a)=0$ возможно в двух случаях: $a-4=0$ или $x-a=0$. Рассмотрим каждый из них.
Случай 1: $a-4=0$, то есть $a=4$.
Уравнение принимает вид $\frac{0 \cdot (x-4)}{x-3}=0$, что равносильно $0=0$ при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $x-3 \neq 0$, откуда $x \neq 3$. Таким образом, при $a=4$ решением является любое действительное число, кроме $x=3$.
Случай 2: $a \neq 4$.
В этом случае множитель $a-4$ не равен нулю, и равенство числителя нулю достигается только при $x-a=0$, то есть $x=a$. Этот корень должен удовлетворять условию $x \neq 3$, то есть $a \neq 3$.
- Если $a \neq 4$ и $a \neq 3$, то уравнение имеет единственный корень $x=a$.
- Если $a=3$ (при этом $a \neq 4$), то корень $x=a=3$ не удовлетворяет условию $x \neq 3$, поэтому уравнение не имеет решений.
Ответ: если $a=4$, то $x$ - любое число, кроме 3; если $a=3$, то корней нет; если $a \neq 4$ и $a \neq 3$, то $x=a$.

4) Уравнение $\frac{(x-a)(x+5)}{x-8}=0$ равносильно системе: $\begin{cases} (x-a)(x+5) = 0, \\ x - 8 \neq 0. \end{cases}$
Из первого уравнения получаем совокупность потенциальных корней: $x=a$ или $x=-5$.
Область допустимых значений определяется условием $x \neq 8$.
Проверим каждый корень:
- Корень $x=-5$ всегда является решением, так как $-5 \neq 8$.
- Корень $x=a$ является решением только в том случае, если $a \neq 8$.
Рассмотрим особые значения параметра $a$:
- Если $a=8$, то корень $x=a=8$ не входит в область допустимых значений и отбрасывается. Единственным решением остается $x=-5$.
- Если $a=-5$, то оба потенциальных корня совпадают ($x=a=-5$ и $x=-5$). Этот корень является решением, так как $-5 \neq 8$. Уравнение имеет одно решение $x=-5$.
- Если $a \neq 8$ и $a \neq -5$, то оба корня $x=a$ и $x=-5$ различны и оба удовлетворяют условию $x \neq 8$. В этом случае уравнение имеет два корня.
Эти случаи можно объединить в более краткой форме.
Ответ: если $a=8$, то $x=-5$; если $a \neq 8$, то $x=a$ и $x=-5$.

5) Уравнение $\frac{(x+4)(x-2)}{x-a}=0$ равносильно системе: $\begin{cases} (x+4)(x-2) = 0, \\ x - a \neq 0. \end{cases}$
Из первого уравнения получаем два потенциальных корня: $x=-4$ и $x=2$.
Эти корни будут решениями, если они удовлетворяют условию $x \neq a$.
- Корень $x=-4$ является решением, если $-4 \neq a$.
- Корень $x=2$ является решением, если $2 \neq a$.
Рассмотрим особые значения параметра $a$:
1. Если $a=-4$, то корень $x=-4$ не является решением (знаменатель равен нулю). Корень $x=2$ является решением, так как $2 \neq -4$. В этом случае единственное решение $x=2$.
2. Если $a=2$, то корень $x=2$ не является решением. Корень $x=-4$ является решением, так как $-4 \neq 2$. В этом случае единственное решение $x=-4$.
3. Если $a \neq -4$ и $a \neq 2$, то оба корня, $x=-4$ и $x=2$, удовлетворяют условию $x \neq a$ и являются решениями уравнения.
Ответ: если $a=-4$, то $x=2$; если $a=2$, то $x=-4$; если $a \neq -4$ и $a \neq 2$, то $x=-4$ и $x=2$.

6) Уравнение $\frac{x-a}{(x+4)(x-2)}=0$ равносильно системе: $\begin{cases} x - a = 0, \\ (x+4)(x-2) \neq 0. \end{cases}$
Из первого уравнения получаем единственный потенциальный корень $x=a$.
Второе условие задает область допустимых значений: $x+4 \neq 0$ и $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq -4$ и $x \neq 2$.
Корень $x=a$ будет решением уравнения, если он принадлежит области допустимых значений, то есть если $a \neq -4$ и $a \neq 2$.
Рассмотрим случаи:
1. Если $a=-4$ или $a=2$, то значение $x=a$ обращает знаменатель в ноль. Следовательно, в этих случаях уравнение не имеет решений.
2. Если $a \neq -4$ и $a \neq 2$, то корень $x=a$ является решением уравнения.
Ответ: если $a=-4$ или $a=2$, то корней нет; если $a \neq -4$ и $a \neq 2$, то $x=a$.

167. При каких значениях a уравнение $ \frac{x+a}{x^2-1} = 0 $ не имеет корней?

Данное уравнение является дробно-рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это условие можно записать в виде системы:

$$ \begin{cases} x + a = 0 \\ x^2 - 1 \neq 0 \end{cases} $$

Из первого уравнения системы находим потенциальный корень:

$x + a = 0 \implies x = -a$

Из второго условия (неравенства) находим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

Следовательно, условие $x^2 - 1 \neq 0$ означает, что $(x - 1)(x + 1) \neq 0$, откуда получаем:

$x \neq 1$ и $x \neq -1$

Уравнение не имеет корней в том случае, если его единственный потенциальный корень $x = -a$ совпадает с одним из недопустимых значений $x$, то есть попадает в точку, где знаменатель обращается в ноль.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Потенциальный корень $x = -a$ совпадает со значением $x=1$:

$-a = 1 \implies a = -1$

Если $a = -1$, то потенциальный корень $x=1$ не входит в ОДЗ, а значит, исходное уравнение не имеет решений.

2. Потенциальный корень $x = -a$ совпадает со значением $x=-1$:

$-a = -1 \implies a = 1$

Если $a = 1$, то потенциальный корень $x=-1$ не входит в ОДЗ, а значит, и в этом случае исходное уравнение не имеет решений.

Таким образом, уравнение не имеет корней при $a=1$ и $a=-1$.

Ответ: $a=1$ и $a=-1$.

168. При каких значениях $a$ уравнение $\frac{(x - a)(x - 4a)}{x + 12} = 0$ имеет единственный корень?

Данное уравнение представляет собой дробь, которая равна нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен быть равен нулю:
$x + 12 \ne 0$
$x \ne -12$

Теперь приравняем числитель к нулю:
$(x - a)(x - 4a) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два потенциальных корня:
1) $x - a = 0 \implies x_1 = a$
2) $x - 4a = 0 \implies x_2 = 4a$

Уравнение будет иметь единственный корень в двух ситуациях:

1. Корни числителя совпадают, и этот корень удовлетворяет ОДЗ.
Это происходит, когда $x_1 = x_2$.
$a = 4a$
$3a = 0$
$a = 0$
При $a = 0$ оба потенциальных корня равны $x = 0$. Проверим этот корень на соответствие ОДЗ: $0 \ne -12$. Условие выполняется. Следовательно, при $a=0$ уравнение имеет один корень $x=0$.

2. Корни числителя различны, но один из них не удовлетворяет ОДЗ (т.е. равен -12), а второй удовлетворяет.
Это означает, что $a \ne 4a$, то есть $a \ne 0$.

а) Первый корень $x_1 = a$ не удовлетворяет ОДЗ, а второй $x_2 = 4a$ удовлетворяет.
$x_1 = a = -12$
При $a = -12$ второй корень равен $x_2 = 4a = 4 \cdot (-12) = -48$.
Проверим второй корень на соответствие ОДЗ: $-48 \ne -12$. Условие выполняется.
Таким образом, при $a=-12$ один корень ($x=-12$) отбрасывается, а второй ($x=-48$) остается, и уравнение имеет единственное решение.

б) Второй корень $x_2 = 4a$ не удовлетворяет ОДЗ, а первый $x_1 = a$ удовлетворяет.
$x_2 = 4a = -12$
$a = -3$
При $a = -3$ первый корень равен $x_1 = a = -3$.
Проверим первый корень на соответствие ОДЗ: $-3 \ne -12$. Условие выполняется.
Таким образом, при $a=-3$ один корень ($x=-12$) отбрасывается, а второй ($x=-3$) остается, и уравнение имеет единственное решение.

Собрав все найденные значения, получаем, что уравнение имеет единственный корень при $a=0$, $a=-3$ и $a=-12$.

Ответ: $a \in \{-12, -3, 0\}$.

169. Решите уравнение:

1) $x^4 - 10x^2 + 24 = 0;$

2) $x^4 + 2x^2 - 24 = 0;$

3) $x^4 - 3x^2 - 70 = 0;$

4) $4x^4 - 5x^2 + 1 = 0.$

1) $x^4 - 10x^2 + 24 = 0$

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то должно выполняться условие $t \ge 0$.

Подставив $t$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение:

$t^2 - 10t + 24 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 10, а их произведение равно 24. Легко подобрать корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = 6$.

Либо найдем корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4 = 2^2$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 2}{2} = 6$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 2}{2} = 4$

Оба найденных значения $t$ удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену:

1. При $t = 6$, имеем $x^2 = 6$, откуда $x = \pm\sqrt{6}$.

2. При $t = 4$, имеем $x^2 = 4$, откуда $x = \pm\sqrt{4} = \pm2$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-\sqrt{6}; -2; 2; \sqrt{6}$.

2) $x^4 + 2x^2 - 24 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:

$t^2 + 2t - 24 = 0$

Найдем его корни. По теореме Виета: сумма корней равна -2, а произведение -24. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -6$.

Или через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 = 10^2$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 10}{2} = 4$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 10}{2} = -6$

Проверим условие $t \ge 0$. Корень $t_1 = 4$ подходит. Корень $t_2 = -6$ не подходит, так как $x^2$ не может быть отрицательным числом в поле действительных чисел.

Выполним обратную замену для подходящего корня:

$x^2 = 4$, откуда $x = \pm\sqrt{4} = \pm2$.

Ответ: $-2; 2$.

3) $x^4 - 3x^2 - 70 = 0$

Введем замену $t = x^2$, при условии $t \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$t^2 - 3t - 70 = 0$

Найдем корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 9 + 280 = 289 = 17^2$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 17}{2} = 10$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 17}{2} = -7$

Корень $t_1 = 10$ удовлетворяет условию $t \ge 0$. Корень $t_2 = -7$ не удовлетворяет этому условию, поэтому отбрасываем его.

Выполним обратную замену:

$x^2 = 10$, откуда $x = \pm\sqrt{10}$.

Ответ: $-\sqrt{10}; \sqrt{10}$.

4) $4x^4 - 5x^2 + 1 = 0$

Снова используем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$4t^2 - 5t + 1 = 0$

Найдем корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9 = 3^2$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Оба корня, $t_1 = 1$ и $t_2 = \frac{1}{4}$, являются неотрицательными и подходят для дальнейшего решения.

Выполним обратную замену:

1. При $t = 1$, имеем $x^2 = 1$, откуда $x = \pm\sqrt{1} = \pm1$.

2. При $t = \frac{1}{4}$, имеем $x^2 = \frac{1}{4}$, откуда $x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$.

Уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-1; -\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; 1$.

170. Решите уравнение:

1) $(x^2 + 6x)^2 + (x^2 + 6x) - 56 = 0;$

2) $(x^2 + 4x + 3)(x^2 + 4x + 5) = 15;$

3) $\frac{x^4}{(x+4)^2} + \frac{23x^2}{x+4} - 50 = 0;$

4) $\frac{x+3}{x-2} - \frac{x-2}{x+3} = \frac{3}{2}.$

1) $(x^2 + 6x)^2 + (x^2 + 6x) - 56 = 0$

Это биквадратное уравнение относительно выражения $x^2 + 6x$. Введем замену переменной.
Пусть $t = x^2 + 6x$. Тогда уравнение примет вид:

$t^2 + t - 56 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Решим его с помощью теоремы Виета.
Произведение корней равно $-56$, а их сумма равна $-1$. Подбираем корни: $t_1 = 7$ и $t_2 = -8$.
Проверка: $7 \cdot (-8) = -56$, $7 + (-8) = -1$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $t = 7$.
$x^2 + 6x = 7$
$x^2 + 6x - 7 = 0$
По теореме Виета, произведение корней равно $-7$, сумма корней равна $-6$.
Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -7$.

Случай 2: $t = -8$.
$x^2 + 6x = -8$
$x^2 + 6x + 8 = 0$
По теореме Виета, произведение корней равно $8$, сумма корней равна $-6$.
Корни: $x_3 = -2$, $x_4 = -4$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-7; -4; -2; 1$.

2) $(x^2 + 4x + 3)(x^2 + 4x + 5) = 15$

В этом уравнении также можно использовать замену переменной.
Пусть $t = x^2 + 4x$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$(t + 3)(t + 5) = 15$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $t$.
$t^2 + 5t + 3t + 15 = 15$
$t^2 + 8t + 15 - 15 = 0$
$t^2 + 8t = 0$
$t(t + 8) = 0$
Отсюда получаем два значения для $t$: $t_1 = 0$ и $t_2 = -8$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 0$.
$x^2 + 4x = 0$
$x(x + 4) = 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -4$.

Случай 2: $t = -8$.
$x^2 + 4x = -8$
$x^2 + 4x + 8 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16$.
Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Следовательно, у исходного уравнения два корня.

Ответ: $-4; 0$.

3) $\frac{x^4}{(x + 4)^2} + \frac{23x^2}{x + 4} - 50 = 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю.
$x + 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4$.

Перепишем уравнение в виде:
$(\frac{x^2}{x + 4})^2 + 23 \cdot \frac{x^2}{x + 4} - 50 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = \frac{x^2}{x + 4}$. Уравнение примет вид:

$t^2 + 23t - 50 = 0$

Решим это квадратное уравнение по формуле корней:
$D = b^2 - 4ac = 23^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 529 + 200 = 729 = 27^2$.
$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-23 \pm 27}{2}$.
$t_1 = \frac{-23 + 27}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$t_2 = \frac{-23 - 27}{2} = \frac{-50}{2} = -25$

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 2$.
$\frac{x^2}{x + 4} = 2$
$x^2 = 2(x + 4)$
$x^2 = 2x + 8$
$x^2 - 2x - 8 = 0$
По теореме Виета, $x_1 = 4$, $x_2 = -2$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Случай 2: $t = -25$.
$\frac{x^2}{x + 4} = -25$
$x^2 = -25(x + 4)$
$x^2 = -25x - 100$
$x^2 + 25x + 100 = 0$
Решим по формуле корней:
$D = 25^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 625 - 400 = 225 = 15^2$.
$x = \frac{-25 \pm 15}{2}$
$x_3 = \frac{-25 + 15}{2} = -5$
$x_4 = \frac{-25 - 15}{2} = -20$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-20; -5; -2; 4$.

4) $\frac{x + 3}{x - 2} - \frac{x - 2}{x + 3} = \frac{3}{2}$

ОДЗ: $x - 2 \neq 0$ и $x + 3 \neq 0$, то есть $x \neq 2$ и $x \neq -3$.

Заметим, что дроби в левой части являются взаимно обратными. Введем замену:
Пусть $t = \frac{x + 3}{x - 2}$. Тогда $\frac{x - 2}{x + 3} = \frac{1}{t}$. Уравнение примет вид:

$t - \frac{1}{t} = \frac{3}{2}$

Умножим обе части уравнения на $2t$ (при $t \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателей:
$2t^2 - 2 = 3t$
$2t^2 - 3t - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение для $t$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
$t = \frac{3 \pm 5}{4}$
$t_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2$
$t_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}$

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 2$.
$\frac{x + 3}{x - 2} = 2$
$x + 3 = 2(x - 2)$
$x + 3 = 2x - 4$
$x = 7$. Корень удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $t = -\frac{1}{2}$.
$\frac{x + 3}{x - 2} = -\frac{1}{2}$
$2(x + 3) = -1(x - 2)$
$2x + 6 = -x + 2$
$3x = -4$
$x = -\frac{4}{3}$. Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-\frac{4}{3}; 7$.

171. Решите уравнение:

1) $x^2 - 2x + \frac{5}{x+8} = \frac{5}{x+8} + 80;$

2) $x^2 + 4(\sqrt{x})^2 - 21 = 0.$

1) $x^2 - 2x + \frac{5}{x+8} = \frac{5}{x+8} + 80$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:

$x + 8 \neq 0$

$x \neq -8$

Теперь приступим к решению уравнения. Заметим, что в левой и правой частях уравнения есть одинаковый член $\frac{5}{x+8}$. Вычтем его из обеих частей уравнения:

$x^2 - 2x + \frac{5}{x+8} - \frac{5}{x+8} = 80$

$x^2 - 2x = 80$

Перенесем 80 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 80 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 18}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 18}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq -8$).

Корень $x_1 = 10$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -8$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, $x = -8$ является посторонним корнем.

Ответ: $10$

2) $x^2 + 4(\sqrt{x})^2 - 21 = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$x \ge 0$

Упростим уравнение. По определению, для всех $x$ из ОДЗ выполняется равенство $(\sqrt{x})^2 = x$. Подставим это в уравнение:

$x^2 + 4x - 21 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет ОДЗ, так как $3 \ge 0$.

Корень $x_2 = -7$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-7 < 0$. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: $3$

172. При каком значении b имеет один корень уравнение:

1) $2x^2 + 8x - b = 0;$

2) $5x^2 - bx + 20 = 0?$

Квадратное уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня) в том случае, когда его дискриминант ($D$) равен нулю. Дискриминант для уравнения общего вида $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

1) $2x^2 + 8x - b = 0$

В данном уравнении коэффициенты равны: $a = 2$, коэффициент при $x$ равен $8$, а свободный член $c = -b$.

Вычислим дискриминант: $D = 8^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-b) = 64 + 8b$.

Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти значение параметра $b$, при котором уравнение имеет один корень: $64 + 8b = 0$ $8b = -64$ $b = -8$

Ответ: $b = -8$.

2) $5x^2 - bx + 20 = 0$

В данном уравнении коэффициенты равны: $a = 5$, коэффициент при $x$ равен $-b$, а свободный член $c = 20$.

Вычислим дискриминант: $D = (-b)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 20 = b^2 - 400$.

Приравняем дискриминант к нулю: $b^2 - 400 = 0$ $b^2 = 400$ $b = \pm\sqrt{400}$ $b = 20$ или $b = -20$.

Ответ: $b = \pm 20$.

173. Докажите, что при любом значении $p$ имеет два корня уравнение:

1) $2x^2 - px - 1 = 0;$

2) $x^2 + px + p - 3 = 0.$

1)

Чтобы доказать, что уравнение $2x^2 - px - 1 = 0$ имеет два корня при любом значении $p$, необходимо показать, что его дискриминант всегда положителен.
Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных действительных корня, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ строго больше нуля ($D > 0$).
Для данного уравнения коэффициенты равны:
$a = 2$
$b = -p$
$c = -1$
Вычислим дискриминант:
$D = (-p)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = p^2 + 8$.
Теперь проанализируем выражение для дискриминанта $D = p^2 + 8$.
Квадрат любого действительного числа $p$ является неотрицательным, то есть $p^2 \ge 0$.
Прибавляя к неотрицательному значению $p^2$ положительное число 8, мы всегда получаем строго положительный результат: $p^2 + 8 \ge 0 + 8 = 8$.
Так как $8 > 0$, то и дискриминант $D = p^2 + 8$ всегда больше нуля при любом значении $p$.
Следовательно, уравнение $2x^2 - px - 1 = 0$ всегда имеет два различных корня.

Ответ: Доказано.

2)

Аналогично докажем, что уравнение $x^2 + px + p - 3 = 0$ имеет два корня при любом значении $p$, показав, что его дискриминант всегда положителен.
Для данного уравнения коэффициенты равны:
$a = 1$
$b = p$
$c = p - 3$
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot (p - 3) = p^2 - 4p + 12$.
Чтобы доказать, что выражение $p^2 - 4p + 12$ всегда положительно, преобразуем его, выделив полный квадрат:
$D = p^2 - 4p + 12 = (p^2 - 4p + 4) - 4 + 12 = (p - 2)^2 + 8$.
Проанализируем полученное выражение $D = (p - 2)^2 + 8$.
Выражение $(p - 2)^2$ как квадрат действительного числа всегда неотрицательно: $(p - 2)^2 \ge 0$.
Сумма неотрицательного числа $(p - 2)^2$ и положительного числа 8 всегда будет строго положительной: $(p - 2)^2 + 8 \ge 0 + 8 = 8$.
Так как $8 > 0$, то и дискриминант $D = (p - 2)^2 + 8$ всегда больше нуля при любом значении $p$.
Следовательно, уравнение $x^2 + px + p - 3 = 0$ всегда имеет два различных корня.

Ответ: Доказано.

174. При каком значении b имеет один корень уравнение:

1) $bx^2+x+1=0$;

2) $(b+1)x^2+(b-1)x-2=0?$

1) Уравнение $bx^2 + x + 1 = 0$ будет иметь один корень в двух случаях.

Случай 1: Уравнение является квадратным.

Это происходит при условии, что коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $b \neq 0$. Квадратное уравнение имеет один корень, когда его дискриминант $D$ равен нулю. Для данного уравнения коэффициенты равны: $a=b$, $b=1$, $c=1$.

Вычислим дискриминант:

$D = 1^2 - 4 \cdot b \cdot 1 = 1 - 4b$

Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти значение $b$, при котором уравнение имеет один корень:

$1 - 4b = 0$

$4b = 1$

$b = \frac{1}{4}$

Это значение удовлетворяет условию $b \neq 0$, следовательно, является решением.

Случай 2: Уравнение вырождается в линейное.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $b = 0$.

Подставим $b = 0$ в исходное уравнение:

$0 \cdot x^2 + x + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Это линейное уравнение имеет один корень $x = -1$. Следовательно, $b = 0$ также является решением.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что уравнение имеет один корень при $b = 0$ и при $b = 1/4$.

Ответ: $b=0$ или $b=1/4$.

2) Уравнение $(b+1)x^2 + (b-1)x - 2 = 0$ будет иметь один корень в двух случаях.

Случай 1: Уравнение является квадратным.

Это происходит при условии, что коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $b+1 \neq 0$, или $b \neq -1$. Квадратное уравнение имеет один корень, когда его дискриминант $D$ равен нулю. Для данного уравнения коэффициенты равны: $a=b+1$, $b_{coeff}=b-1$, $c=-2$.

Вычислим дискриминант:

$D = (b-1)^2 - 4 \cdot (b+1) \cdot (-2) = (b^2 - 2b + 1) + 8(b+1) = b^2 - 2b + 1 + 8b + 8 = b^2 + 6b + 9$

Заметим, что полученное выражение является полным квадратом: $D = (b+3)^2$.

Приравняем дискриминант к нулю:

$(b+3)^2 = 0$

$b+3 = 0$

$b = -3$

Это значение удовлетворяет условию $b \neq -1$, следовательно, является решением.

Случай 2: Уравнение вырождается в линейное.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $b+1 = 0$, или $b = -1$.

Подставим $b = -1$ в исходное уравнение:

$(-1+1)x^2 + (-1-1)x - 2 = 0$

$0 \cdot x^2 - 2x - 2 = 0$

$-2x - 2 = 0$

Это линейное уравнение имеет один корень $x = -1$. Следовательно, $b = -1$ также является решением.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что уравнение имеет один корень при $b = -3$ и при $b = -1$.

Ответ: $b=-3$ или $b=-1$.

175. Число 7 является корнем уравнения $x^2 + px - 28 = 0$. Найдите значение $p$ и второй корень уравнения.

Так как число 7 является корнем уравнения, то при подстановке $x=7$ в уравнение $x^2 + px - 28 = 0$ мы получим верное равенство. Это позволяет нам найти значение коэффициента $p$.

Нахождение значения p

Подставим $x=7$ в исходное уравнение:

$7^2 + p \cdot 7 - 28 = 0$

Выполним вычисления:

$49 + 7p - 28 = 0$

$21 + 7p = 0$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $p$:

$7p = -21$

$p = \frac{-21}{7}$

$p = -3$

Нахождение второго корня уравнения

Подставим найденное значение $p = -3$ в уравнение, чтобы получить его полный вид:

$x^2 - 3x - 28 = 0$

Для нахождения второго корня воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

$x_1 + x_2 = -b$

$x_1 \cdot x_2 = c$

В нашем случае коэффициенты равны $b = -3$ и $c = -28$. Один из корней известен, $x_1 = 7$. Проще всего использовать формулу для произведения корней:

$7 \cdot x_2 = -28$

Отсюда находим второй корень $x_2$:

$x_2 = \frac{-28}{7}$

$x_2 = -4$

Для проверки можно использовать формулу для суммы корней: $x_1 + x_2 = 7 + (-4) = 3$. В нашем уравнении $-b = -(-3) = 3$. Так как $3=3$, второй корень найден верно.

Ответ: значение $p = -3$, второй корень уравнения равен $-4$.

176. Число $\frac{1}{3}$ является корнем уравнения $3x^2 - bx + 2 = 0$. Найдите значение $b$ и второй корень уравнения.

Найдите значение b

Поскольку число $\frac{1}{3}$ является корнем уравнения $3x^2 - bx + 2 = 0$, то при подстановке этого значения вместо $x$ уравнение обращается в верное числовое равенство.

Подставим $x = \frac{1}{3}$ в уравнение:

$3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 - b \cdot \frac{1}{3} + 2 = 0$

Выполним вычисления:

$3 \cdot \frac{1}{9} - \frac{b}{3} + 2 = 0$

$\frac{3}{9} - \frac{b}{3} + 2 = 0$

$\frac{1}{3} - \frac{b}{3} + 2 = 0$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателей:

$3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right) - 3 \cdot \left(\frac{b}{3}\right) + 3 \cdot 2 = 3 \cdot 0$

$1 - b + 6 = 0$

$7 - b = 0$

$b = 7$

Ответ: $b = 7$.

Найдите второй корень уравнения

Теперь, когда известно значение $b=7$, мы можем записать уравнение в полном виде:

$3x^2 - 7x + 2 = 0$

Для нахождения второго корня воспользуемся теоремой Виета для полного квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Согласно теореме, произведение корней $x_1$ и $x_2$ равно $\frac{c}{a}$.

В нашем уравнении коэффициенты равны $a=3$, $b=-7$, $c=2$. Один корень нам известен: $x_1 = \frac{1}{3}$.

Запишем формулу для произведения корней и подставим известные значения:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

$\frac{1}{3} \cdot x_2 = \frac{2}{3}$

Чтобы найти $x_2$, умножим обе части равенства на 3:

$x_2 = \frac{2}{3} \cdot 3$

$x_2 = 2$

Ответ: второй корень уравнения равен 2.