Страница 230 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

202. Оцените периметр и площадь квадрата со стороной $x$ см, если

$10 < x < 13$.

Оценка периметра

Периметр квадрата $(P)$ вычисляется по формуле $P = 4x$, где $x$ – длина его стороны. По условию задачи дано двойное неравенство для стороны квадрата: $10 < x < 13$. Чтобы найти диапазон значений для периметра, умножим все части этого неравенства на 4. Так как 4 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:
$10 \cdot 4 < x \cdot 4 < 13 \cdot 4$
$40 < 4x < 52$
Поскольку $P = 4x$, то получаем оценку для периметра: $40 < P < 52$.

Ответ: $40 < P < 52$ см.

Оценка площади

Площадь квадрата $(S)$ вычисляется по формуле $S = x^2$, где $x$ – длина его стороны. Используем исходное неравенство: $10 < x < 13$. Так как длина стороны $x$ является положительной величиной, мы можем возвести все части неравенства в квадрат. Для положительных чисел знак неравенства при этом не изменится:
$10^2 < x^2 < 13^2$
$100 < x^2 < 169$
Поскольку $S = x^2$, то получаем оценку для площади: $100 < S < 169$.

Ответ: $100 < S < 169$ см².

203. Каково множество решений неравенства:

1) $(x+2)^2 \ge 0;$

2) $(x+2)^2 \le 0;$

3) $(x+2)^2 > 0;$

4) $(x+2)^2 < 0;$

5) $0x < -5;$

6) $0x \ge -5;$

7) $0x < 5;$

8) $0x \ge 5?$

1) Рассматриваем неравенство $(x+2)^2 \ge 0$. Выражение в левой части представляет собой квадрат действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Следовательно, данное неравенство выполняется для любого действительного значения $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$ (все действительные числа).

2) Рассматриваем неравенство $(x+2)^2 \le 0$. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Он может быть только больше или равен нулю. Единственный случай, когда это неравенство может выполняться, — это когда $(x+2)^2 = 0$. Это уравнение равносильно $x+2=0$, откуда $x=-2$.
Ответ: $x = -2$.

3) Рассматриваем неравенство $(x+2)^2 > 0$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Он равен нулю только в том случае, когда само число равно нулю. Таким образом, неравенство будет верным для всех $x$, кроме того значения, при котором $(x+2)^2=0$, то есть $x=-2$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$ (все действительные числа, кроме -2).

4) Рассматриваем неравенство $(x+2)^2 < 0$. Квадрат любого действительного числа никогда не бывает отрицательным. Следовательно, не существует таких значений $x$, при которых это неравенство было бы верным.
Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

5) Рассматриваем неравенство $0x < -5$. При умножении любого числа $x$ на 0, результат всегда будет 0. Таким образом, неравенство принимает вид $0 < -5$. Это утверждение является ложным. Следовательно, неравенство не имеет решений.
Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

6) Рассматриваем неравенство $0x \ge -5$. Левая часть неравенства $0 \cdot x$ всегда равна 0. Неравенство принимает вид $0 \ge -5$. Это утверждение является истинным. Поскольку оно истинно независимо от значения $x$, решением является любое действительное число.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$ (все действительные числа).

7) Рассматриваем неравенство $0x < 5$. Левая часть $0 \cdot x$ всегда равна 0. Неравенство сводится к $0 < 5$. Это утверждение является истинным для любого значения $x$. Следовательно, множество решений — все действительные числа.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$ (все действительные числа).

8) Рассматриваем неравенство $0x \ge 5$. Левая часть $0 \cdot x$ равна 0. Неравенство принимает вид $0 \ge 5$. Это утверждение является ложным. Следовательно, не существует таких значений $x$, которые удовлетворяли бы данному неравенству.
Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

204. Решите неравенство:

1) $\frac{x-4}{x-4} > 0$;

2) $\frac{x-4}{x-4} \ge 0$;

3) $\frac{x-4}{x-4} > \frac{1}{4}$;

4) $\frac{x-4}{x-4} \le 1$;

5) $\left(\frac{x+3}{x-4}\right)^2 \ge 0$;

6) $\left(\frac{x+3}{x-4}\right)^2 > 0$.

1) Рассмотрим неравенство $\frac{x-4}{x-4} > 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного выражения определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x-4 \neq 0$, следовательно, $x \neq 4$.

При всех значениях $x$ из ОДЗ (то есть при $x \neq 4$), выражение $\frac{x-4}{x-4}$ равно 1. Таким образом, неравенство сводится к верному числовому неравенству $1 > 0$.

Это означает, что исходное неравенство справедливо для всех $x$ из области допустимых значений.

Ответ: $x \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

2) Рассмотрим неравенство $\frac{x-4}{x-4} \ge 0$.

ОДЗ: $x-4 \neq 0$, то есть $x \neq 4$.

При всех $x \neq 4$ левая часть неравенства равна 1. Неравенство принимает вид $1 \ge 0$, что является верным.

Следовательно, решение неравенства совпадает с его областью допустимых значений.

Ответ: $x \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

3) Рассмотрим неравенство $\frac{x-4}{x-4} > \frac{1}{4}$.

ОДЗ: $x-4 \neq 0$, то есть $x \neq 4$.

На ОДЗ выражение $\frac{x-4}{x-4}$ равно 1. Неравенство сводится к $1 > \frac{1}{4}$.

Это верное числовое неравенство, значит, исходное неравенство выполняется для всех допустимых значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

4) Рассмотрим неравенство $\frac{x-4}{x-4} \le 1$.

ОДЗ: $x-4 \neq 0$, то есть $x \neq 4$.

На ОДЗ левая часть неравенства равна 1. Неравенство принимает вид $1 \le 1$.

Это верное числовое неравенство. Следовательно, решением является вся область допустимых значений.

Ответ: $x \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

5) Рассмотрим неравенство $(\frac{x+3}{x-4})^2 \ge 0$.

ОДЗ: знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то есть $x-4 \neq 0 \implies x \neq 4$.

Выражение в левой части представляет собой квадрат действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю.

Таким образом, неравенство выполняется для всех значений $x$, для которых выражение в левой части определено, то есть для всех $x$ из ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

6) Рассмотрим неравенство $(\frac{x+3}{x-4})^2 > 0$.

ОДЗ: $x-4 \neq 0 \implies x \neq 4$.

Квадрат действительного числа строго больше нуля тогда и только тогда, когда само это число не равно нулю. Значит, нам нужно, чтобы основание степени не равнялось нулю:

$\frac{x+3}{x-4} \neq 0$

Дробь не равна нулю, когда ее числитель не равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Условие на знаменатель ($x \neq 4$) уже учтено в ОДЗ. Остается потребовать, чтобы числитель не был равен нулю:

$x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$.

Таким образом, решение неравенства — это все действительные числа, за исключением тех, что обращают в ноль знаменатель ($x=4$) или числитель ($x=-3$).

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 4) \cup (4; +\infty)$.

205. Решите неравенство:

1) $8x + 4 \le 30 - 5x;$

2) $9 - 4x < 6x - 25;$

3) $\frac{4}{9}x + 3 < \frac{1}{3}x - 2;$

4) $0,3(8 - 3y) \le 3,2 - 0,8(y - 7);$

5) $\frac{x + 4}{3} - \frac{x + 2}{6} \le 4;$

6) $\frac{2 - 5x}{4} - \frac{x - 3}{5} < \frac{x - 1}{10}.$

1) $8x + 4 \le 30 - 5x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть неравенства, а свободные члены - в правую, изменяя знаки на противоположные:

$8x + 5x \le 30 - 4$

Приведем подобные слагаемые:

$13x \le 26$

Разделим обе части неравенства на 13. Так как 13 - положительное число, знак неравенства не меняется:

$x \le \frac{26}{13}$

$x \le 2$

Решением является числовой промежуток $(-\infty; 2]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2]$.

2) $9 - 4x < 6x - 25$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены - в левую, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:

$9 + 25 < 6x + 4x$

Приведем подобные слагаемые:

$34 < 10x$

Разделим обе части неравенства на 10:

$3,4 < x$

Это эквивалентно записи:

$x > 3,4$

Решением является числовой промежуток $(3,4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (3,4; +\infty)$.

3) $\frac{4}{9}x + 3 < \frac{1}{3}x - 2$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены - в правую:

$\frac{4}{9}x - \frac{1}{3}x < -2 - 3$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 9, домножив вторую дробь на 3:

$\frac{4}{9}x - \frac{3}{9}x < -5$

$\frac{1}{9}x < -5$

Умножим обе части неравенства на 9. Знак неравенства не меняется:

$x < -5 \cdot 9$

$x < -45$

Решением является числовой промежуток $(-\infty; -45)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -45)$.

4) $0,3(8 - 3y) \le 3,2 - 0,8(y - 7)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$0,3 \cdot 8 - 0,3 \cdot 3y \le 3,2 - 0,8 \cdot y - 0,8 \cdot (-7)$

$2,4 - 0,9y \le 3,2 - 0,8y + 5,6$

Сгруппируем свободные члены в правой части:

$2,4 - 0,9y \le 8,8 - 0,8y$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в правую часть, а свободные члены - в левую:

$2,4 - 8,8 \le -0,8y + 0,9y$

Приведем подобные слагаемые:

$-6,4 \le 0,1y$

Разделим обе части на 0,1 (что эквивалентно умножению на 10):

$-64 \le y$

Или $y \ge -64$

Решением является числовой промежуток $[-64; +\infty)$.

Ответ: $y \in [-64; +\infty)$.

5) $\frac{x + 4}{3} - \frac{x + 2}{6} \le 4$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей 3 и 6, который равен 6:

$6 \cdot \frac{x + 4}{3} - 6 \cdot \frac{x + 2}{6} \le 6 \cdot 4$

$2(x + 4) - 1(x + 2) \le 24$

Раскроем скобки:

$2x + 8 - x - 2 \le 24$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x + 6 \le 24$

Вычтем 6 из обеих частей:

$x \le 24 - 6$

$x \le 18$

Решением является числовой промежуток $(-\infty; 18]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 18]$.

6) $\frac{2 - 5x}{4} - \frac{x - 3}{5} < \frac{x - 1}{10}$

Найдем наименьший общий знаменатель для 4, 5 и 10. НОК(4, 5, 10) = 20.

Умножим обе части неравенства на 20:

$20 \cdot \frac{2 - 5x}{4} - 20 \cdot \frac{x - 3}{5} < 20 \cdot \frac{x - 1}{10}$

$5(2 - 5x) - 4(x - 3) < 2(x - 1)$

Раскроем скобки:

$10 - 25x - 4x + 12 < 2x - 2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$22 - 29x < 2x - 2$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены - в левую:

$22 + 2 < 2x + 29x$

$24 < 31x$

Разделим обе части на 31:

$\frac{24}{31} < x$

Или $x > \frac{24}{31}$

Решением является числовой промежуток $(\frac{24}{31}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{24}{31}; +\infty)$.

206. Найдите наибольшее целое решение неравенства:

1) $3x + 9 > 5x - 7;$

2) $14x^2 - (2x - 3)(7x + 4) \le 14.$

1) Решим линейное неравенство $3x + 9 > 5x - 7$.

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну часть неравенства, а свободные члены — в другую. Чтобы сохранить знак неравенства, удобнее перенести $x$ вправо, а числа влево.

$9 + 7 > 5x - 3x$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$16 > 2x$

Разделим обе части неравенства на 2. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства не меняется:

$8 > x$

Это неравенство можно записать как $x < 8$. Множество решений неравенства — это все числа, которые строго меньше 8. Нам нужно найти наибольшее целое решение. Наибольшим целым числом, которое меньше 8, является 7.

Ответ: 7

2) Решим неравенство $14x^2 - (2x - 3)(7x + 4) \le 14$.

Сначала раскроем скобки, перемножив двучлены $(2x - 3)$ и $(7x + 4)$:

$(2x - 3)(7x + 4) = 2x \cdot 7x + 2x \cdot 4 - 3 \cdot 7x - 3 \cdot 4 = 14x^2 + 8x - 21x - 12 = 14x^2 - 13x - 12$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное неравенство:

$14x^2 - (14x^2 - 13x - 12) \le 14$

Раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус. Для этого изменим знаки всех слагаемых внутри скобок на противоположные:

$14x^2 - 14x^2 + 13x + 12 \le 14$

Приведем подобные слагаемые. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются:

$13x + 12 \le 14$

Получилось линейное неравенство. Перенесем свободный член 12 в правую часть, изменив его знак:

$13x \le 14 - 12$

$13x \le 2$

Разделим обе части неравенства на 13:

$x \le \frac{2}{13}$

Множество решений неравенства — это все числа, которые меньше или равны $\frac{2}{13}$. Нам нужно найти наибольшее целое решение. Дробь $\frac{2}{13}$ является положительным числом, меньшим 1 (примерно 0,15). Целые числа, которые удовлетворяют условию $x \le \frac{2}{13}$, это $0, -1, -2, \ldots$. Наибольшим из этих целых чисел является 0.

Ответ: 0

207. Найдите наименьшее целое решение неравенства:

1) $x-5<3x+8;$

2) $18x^2-(3x-2)(6x+5) \le 20.$

1) Решим линейное неравенство $x - 5 < 3x + 8$.
Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а свободные члены — в правой:
$x - 3x < 8 + 5$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства:
$-2x < 13$
Разделим обе части на $-2$. Важно помнить, что при делении или умножении неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:
$x > \frac{13}{-2}$
$x > -6.5$
Требуется найти наименьшее целое решение. Первое целое число, которое больше $-6.5$, это $-6$.
Ответ: -6.

2) Решим неравенство $18x^2 - (3x - 2)(6x + 5) \le 20$.
Для начала, раскроем скобки, перемножив два двучлена:
$(3x - 2)(6x + 5) = 3x \cdot 6x + 3x \cdot 5 - 2 \cdot 6x - 2 \cdot 5 = 18x^2 + 15x - 12x - 10 = 18x^2 + 3x - 10$.
Теперь подставим полученное выражение в исходное неравенство:
$18x^2 - (18x^2 + 3x - 10) \le 20$
Раскроем скобки, поменяв знаки у слагаемых внутри них:
$18x^2 - 18x^2 - 3x + 10 \le 20$
Слагаемые $18x^2$ и $-18x^2$ взаимно уничтожаются:
$-3x + 10 \le 20$
Перенесем свободный член в правую часть:
$-3x \le 20 - 10$
$-3x \le 10$
Разделим обе части на $-3$, изменив знак неравенства на противоположный:
$x \ge \frac{10}{-3}$
$x \ge -3\frac{1}{3}$
Требуется найти наименьшее целое решение. Первое целое число, которое больше или равно $-3\frac{1}{3}$, это $-3$.
Ответ: -3.

208. Сколько целых отрицательных решений имеет неравенство

$x - \frac{x+7}{4} - \frac{5x+40}{12} < \frac{4x-5}{3}$?

Чтобы решить неравенство $x - \frac{x+7}{4} - \frac{5x+40}{12} < \frac{4x-5}{3}$, первым шагом избавимся от знаменателей. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 4, 12 и 3. НОК(4, 12, 3) = 12.

Умножим обе части неравенства на 12. Поскольку 12 — положительное число, знак неравенства сохранится:
$12 \cdot x - 12 \cdot \frac{x+7}{4} - 12 \cdot \frac{5x+40}{12} < 12 \cdot \frac{4x-5}{3}$

Выполним умножение и сократим дроби:
$12x - 3(x+7) - (5x+40) < 4(4x-5)$

Теперь раскроем скобки. Важно обратить внимание на знак минус перед скобками:
$12x - 3x - 21 - 5x - 40 < 16x - 20$

Приведем подобные слагаемые в левой части неравенства:
$(12x - 3x - 5x) + (-21 - 40) < 16x - 20$
$4x - 61 < 16x - 20$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части, а свободные члены — в другой. Перенесем $4x$ вправо, а $-20$ влево:
$-61 + 20 < 16x - 4x$
$-41 < 12x$

Разделим обе части на 12, чтобы выразить $x$:
$x > -\frac{41}{12}$

Для удобства представим неправильную дробь в виде смешанного числа:
$-\frac{41}{12} = -3\frac{5}{12}$
Следовательно, решение неравенства: $x > -3\frac{5}{12}$.

В задаче требуется найти количество целых отрицательных решений. Это целые числа $x$, которые одновременно удовлетворяют двум условиям: $x > -3\frac{5}{12}$ и $x < 0$.
Найдем все целые числа, которые больше $-3\frac{5}{12}$: это -3, -2, -1, 0, 1, 2, ...
Из этого списка выберем только отрицательные числа: -3, -2, -1.
Таким образом, неравенство имеет три целых отрицательных решения.

Ответ: 3

209. Сколько натуральных решений имеет неравенство $\frac{1-3x}{4} \ge \frac{1}{5} - \frac{5x+4}{8}$?

Для решения данного неравенства необходимо избавиться от дробей. Для этого найдем наименьший общий знаменатель для чисел 4, 5 и 8.

Наименьшее общее кратное для знаменателей 4, 5 и 8 равно 40.

Умножим обе части неравенства на 40. Так как 40 — положительное число, знак неравенства не изменится: $$ 40 \cdot \frac{1-3x}{4} \ge 40 \cdot \left(\frac{1}{5} - \frac{5x+4}{8}\right) $$

Выполним сокращение и раскроем скобки: $$ 10 \cdot (1-3x) \ge 40 \cdot \frac{1}{5} - 40 \cdot \frac{5x+4}{8} $$ $$ 10 - 30x \ge 8 - 5 \cdot (5x+4) $$ $$ 10 - 30x \ge 8 - 25x - 20 $$

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а свободные члены — в правой: $$ -30x + 25x \ge 8 - 20 - 10 $$ $$ -5x \ge -22 $$

Разделим обе части неравенства на -5. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $$ x \le \frac{-22}{-5} $$ $$ x \le \frac{22}{5} $$

Преобразуем полученную дробь в десятичную для удобства: $$ x \le 4.4 $$

По условию задачи, нам нужно найти количество натуральных решений. Натуральные числа — это целые положительные числа. Найдём все натуральные числа, удовлетворяющие условию $x \le 4.4$:

Это числа 1, 2, 3 и 4.

Таким образом, неравенство имеет 4 натуральных решения.

Ответ: 4

210. Решите неравенство:

1) $(x + 5)(x - 1) \leq 1 + (x + 2)^2$;

2) $\frac{x + 1}{2} - \frac{x + 12}{6} > \frac{x - 3}{3}$;

3) $(6x - 1)^2 - 12x(3x - 1) \geq 1$;

4) $(y + 4)(y - 6) - (y - 1)^2 > -25$.

1) $(x + 5)(x - 1) \le 1 + (x + 2)^2$
Сначала раскроем скобки в обеих частях неравенства.
В левой части: $(x + 5)(x - 1) = x^2 - x + 5x - 5 = x^2 + 4x - 5$.
В правой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$1 + (x + 2)^2 = 1 + (x^2 + 4x + 4) = x^2 + 4x + 5$.
Теперь неравенство имеет вид:
$x^2 + 4x - 5 \le x^2 + 4x + 5$.
Перенесем все члены, содержащие $x$, в левую часть, а числовые члены - в правую:
$x^2 + 4x - x^2 - 4x \le 5 + 5$.
Приведем подобные слагаемые:
$0 \le 10$.
Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство выполняется при любом значении $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2) $\frac{x + 1}{2} - \frac{x + 12}{6} > \frac{x - 3}{3}$
Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 2, 6 и 3, которое равно 6.
$6 \cdot \left(\frac{x + 1}{2} - \frac{x + 12}{6}\right) > 6 \cdot \frac{x - 3}{3}$
$3(x + 1) - (x + 12) > 2(x - 3)$.
Раскроем скобки:
$3x + 3 - x - 12 > 2x - 6$.
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$2x - 9 > 2x - 6$.
Перенесем члены с $x$ в левую часть, а числа - в правую:
$2x - 2x > -6 + 9$.
$0 > 3$.
Мы получили неверное числовое неравенство. Это означает, что исходное неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет.

3) $(6x - 1)^2 - 12x(3x - 1) \ge 1$
Раскроем скобки в левой части неравенства. Для первого слагаемого используем формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:
$(6x)^2 - 2 \cdot 6x \cdot 1 + 1^2 - 12x \cdot 3x - 12x \cdot (-1) \ge 1$.
$36x^2 - 12x + 1 - 36x^2 + 12x \ge 1$.
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(36x^2 - 36x^2) + (-12x + 12x) + 1 \ge 1$.
$1 \ge 1$.
Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство выполняется при любом значении $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

4) $(y + 4)(y - 6) - (y - 1)^2 > -25$
Раскроем скобки в левой части неравенства.
$(y^2 - 6y + 4y - 24) - (y^2 - 2y + 1) > -25$.
$y^2 - 2y - 24 - y^2 + 2y - 1 > -25$.
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(y^2 - y^2) + (-2y + 2y) + (-24 - 1) > -25$.
$-25 > -25$.
Мы получили неверное числовое неравенство. Это означает, что исходное неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет.

211. При каких значениях $a$ уравнение:

1) $x^2 + x - a = 0$ не имеет корней;

2) $2x^2 - 16x + 5a = 0$ имеет хотя бы один действительный корень?

1) Данное уравнение является квадратным уравнением вида $Ax^2+Bx+C=0$. Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ является отрицательным числом, то есть $D<0$.
Для уравнения $x^2+x-a=0$ определим коэффициенты: $A=1$, $B=1$, $C=-a$.
Теперь вычислим дискриминант по формуле $D = B^2 - 4AC$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 1 + 4a$.
Чтобы уравнение не имело корней, должно выполняться неравенство $D < 0$:
$1 + 4a < 0$
$4a < -1$
$a < -\frac{1}{4}$
Следовательно, уравнение не имеет корней при всех значениях $a$, меньших $-\frac{1}{4}$.
Ответ: $a \in (-\infty; -1/4)$.

2) Уравнение $2x^2-16x+5a=0$ является квадратным. Оно будет иметь хотя бы один действительный корень в том случае, если его дискриминант $D$ будет неотрицательным, то есть $D \ge 0$. Если $D>0$, уравнение имеет два различных действительных корня, а если $D=0$ — один действительный корень (или два совпадающих).
Для данного уравнения коэффициенты равны: $A=2$, $B=-16$, $C=5a$.
Вычислим дискриминант:
$D = B^2 - 4AC = (-16)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (5a) = 256 - 40a$.
Теперь решим неравенство $D \ge 0$, чтобы найти значения $a$, при которых есть хотя бы один корень:
$256 - 40a \ge 0$
$256 \ge 40a$
$a \le \frac{256}{40}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 8:
$a \le \frac{32}{5}$
$a \le 6.4$
Следовательно, уравнение имеет хотя бы один действительный корень при всех значениях $a$, не превышающих 6.4.
Ответ: $a \in (-\infty; 6.4]$.

212. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} 7x - 1 \ge 5x - 3 \\ 3x + 6 \ge 8x - 14 \end{cases}$

2) $\begin{cases} 0,6(x - 6) \le x + 2 \\ 4x + 7 > 2(x + 6,5) \end{cases}$

3) $\begin{cases} 3x(x - 3) - x(2 + 3x) < 4 \\ 6x^2 - (2x - 3)(3x + 4) < 17 \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{5x - 10}{6} > \frac{2x + 1}{3} , \\ \frac{3x + 1}{2} - 4x > 5 - \frac{3x - 2}{4} \end{cases}$

5) $\begin{cases} 3x - 4 > 3(x + 1) - 10 \\ 0,2(5 - x) \le 1,5(x + 1,4) + 0,6 \end{cases}$

6) $\begin{cases} 1 - \frac{3x - 8}{7} > 3x \\ x(x - 4) - (x + 1)(x - 5) < 2 \end{cases}$

1)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 7x - 1 \ge 5x - 3 \\ 3x + 6 \ge 8x - 14 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$7x - 1 \ge 5x - 3$

$7x - 5x \ge -3 + 1$

$2x \ge -2$

$x \ge -1$

Решим второе неравенство:

$3x + 6 \ge 8x - 14$

$6 + 14 \ge 8x - 3x$

$20 \ge 5x$

$4 \ge x$, что равносильно $x \le 4$.

Найдем пересечение решений: $x \ge -1$ и $x \le 4$.

Общим решением является промежуток $[-1, 4]$.

Ответ: $[-1, 4]$.

2)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 0,6(x - 6) \le x + 2 \\ 4x + 7 > 2(x + 6,5) \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$0,6(x - 6) \le x + 2$

$0,6x - 3,6 \le x + 2$

$-3,6 - 2 \le x - 0,6x$

$-5,6 \le 0,4x$

$x \ge \frac{-5,6}{0,4}$

$x \ge -14$

Решим второе неравенство:

$4x + 7 > 2(x + 6,5)$

$4x + 7 > 2x + 13$

$4x - 2x > 13 - 7$

$2x > 6$

$x > 3$

Найдем пересечение решений: $x \ge -14$ и $x > 3$.

Общим решением является промежуток $(3, +\infty)$.

Ответ: $(3, +\infty)$.

3)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 3x(x - 3) - x(2 + 3x) < 4 \\ 6x^2 - (2x - 3)(3x + 4) < 17 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$3x(x - 3) - x(2 + 3x) < 4$

$3x^2 - 9x - 2x - 3x^2 < 4$

$-11x < 4$

$x > -\frac{4}{11}$ (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется)

Решим второе неравенство:

$6x^2 - (2x - 3)(3x + 4) < 17$

$6x^2 - (6x^2 + 8x - 9x - 12) < 17$

$6x^2 - (6x^2 - x - 12) < 17$

$6x^2 - 6x^2 + x + 12 < 17$

$x + 12 < 17$

$x < 17 - 12$

$x < 5$

Найдем пересечение решений: $x > -\frac{4}{11}$ и $x < 5$.

Общим решением является промежуток $(-\frac{4}{11}, 5)$.

Ответ: $(-\frac{4}{11}, 5)$.

4)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} \frac{5x - 10}{6} > \frac{2x + 1}{3} \\ \frac{3x + 1}{2} - 4x > 5 - \frac{3x - 2}{4} \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$\frac{5x - 10}{6} > \frac{2x + 1}{3}$

Умножим обе части на 6:

$5x - 10 > 2(2x + 1)$

$5x - 10 > 4x + 2$

$5x - 4x > 2 + 10$

$x > 12$

Решим второе неравенство:

$\frac{3x + 1}{2} - 4x > 5 - \frac{3x - 2}{4}$

Умножим обе части на 4:

$2(3x + 1) - 4 \cdot 4x > 4 \cdot 5 - (3x - 2)$

$6x + 2 - 16x > 20 - 3x + 2$

$-10x + 2 > 22 - 3x$

$2 - 22 > -3x + 10x$

$-20 > 7x$

$x < -\frac{20}{7}$

Найдем пересечение решений: $x > 12$ и $x < -\frac{20}{7}$.

Нет таких значений $x$, которые одновременно больше 12 и меньше $-\frac{20}{7}$. Пересечение множеств пусто.

Ответ: нет решений.

5)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 3x - 4 > 3(x + 1) - 10 \\ 0,2(5 - x) \le 1,5(x + 1,4) + 0,6 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$3x - 4 > 3(x + 1) - 10$

$3x - 4 > 3x + 3 - 10$

$3x - 4 > 3x - 7$

$-4 > -7$

Это верное числовое неравенство, значит, оно выполняется при любом значении $x$. Решение: $x \in (-\infty, +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$0,2(5 - x) \le 1,5(x + 1,4) + 0,6$

Умножим обе части на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$2(5 - x) \le 15(x + 1,4) + 6$

$10 - 2x \le 15x + 21 + 6$

$10 - 2x \le 15x + 27$

$10 - 27 \le 15x + 2x$

$-17 \le 17x$

$-1 \le x$ или $x \ge -1$

Найдем пересечение решений: $x \in (-\infty, +\infty)$ и $x \ge -1$.

Общим решением является промежуток $[-1, +\infty)$.

Ответ: $[-1, +\infty)$.

6)

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 1 - \frac{3x - 8}{7} > 3x \\ x(x - 4) - (x + 1)(x - 5) < 2 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$1 - \frac{3x - 8}{7} > 3x$

Умножим обе части на 7:

$7 \cdot 1 - (3x - 8) > 7 \cdot 3x$

$7 - 3x + 8 > 21x$

$15 > 21x + 3x$

$15 > 24x$

$x < \frac{15}{24}$

$x < \frac{5}{8}$

Решим второе неравенство:

$x(x - 4) - (x + 1)(x - 5) < 2$

$x^2 - 4x - (x^2 - 5x + x - 5) < 2$

$x^2 - 4x - (x^2 - 4x - 5) < 2$

$x^2 - 4x - x^2 + 4x + 5 < 2$

$5 < 2$

Это неверное числовое неравенство, значит, оно не имеет решений.

Поскольку второе неравенство системы не имеет решений, то и вся система не имеет решений.

Ответ: нет решений.