Страница 232 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

225. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} 6x^2 - 13x + 5 \ge 0, \\ 8 - 2x > 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - 6x - 27 < 0, \\ 2x - x^2 \le 0. \end{cases}$

1)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 6x^2-13x+5 \ge 0, \\ 8-2x > 0. \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство: $6x^2 - 13x + 5 \ge 0$.

Это квадратное неравенство. Для его решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $6x^2 - 13x + 5 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 5 = 169 - 120 = 49 = 7^2$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 7}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$

Графиком функции $y = 6x^2 - 13x + 5$ является парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($6 > 0$). Следовательно, выражение $6x^2 - 13x + 5$ принимает неотрицательные значения при $x$, находящихся левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; \frac{1}{2}] \cup [\frac{5}{3}; +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство: $8 - 2x > 0$.

Это линейное неравенство.

$-2x > -8$

$x < 4$ (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется).

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 4)$.

Для нахождения решения системы найдем пересечение множеств решений обоих неравенств: $((-\infty; \frac{1}{2}] \cup [\frac{5}{3}; +\infty)) \cap (-\infty; 4)$.

На числовой оси это будет пересечение двух областей. Это приводит к объединению двух интервалов: $(-\infty; \frac{1}{2}]$ и $[\frac{5}{3}; 4)$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{2}] \cup [\frac{5}{3}; 4)$.

2)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2-6x-27 < 0, \\ 2x-x^2 \le 0. \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 6x - 27 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x - 27 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 = 12^2$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{6 - 12}{2} = -3$

$x_2 = \frac{6 + 12}{2} = 9$

Парабола $y = x^2 - 6x - 27$ имеет ветви, направленные вверх ($1 > 0$). Неравенство выполняется, когда парабола находится ниже оси $x$, то есть между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-3; 9)$.

Решим второе неравенство: $2x - x^2 \le 0$.

Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный: $x^2 - 2x \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x = 0$:

$x(x - 2) = 0$

Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 - 2x$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $x^2 - 2x \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями, включая сами корни.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-3; 9) \cap ((-\infty; 0] \cup [2; +\infty))$.

Пересечение интервала $(-3; 9)$ с множеством $(-\infty; 0]$ дает интервал $(-3; 0]$.

Пересечение интервала $(-3; 9)$ с множеством $[2; +\infty)$ дает интервал $[2; 9)$.

Объединяя эти два результата, получаем общее решение системы.

Ответ: $x \in (-3; 0] \cup [2; 9)$.

226. Найдите множество решений неравенства:

1) $x^2 - 7|x| - 30 < 0;$

2) $6x^2 + 5|x| - 1 \ge 0.$

1) $x^2 - 7|x| - 30 < 0$

Поскольку $x^2 = |x|^2$, мы можем переписать данное неравенство в виде $|x|^2 - 7|x| - 30 < 0$.

Это квадратное неравенство относительно $|x|$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x|$. Так как модуль любого числа является неотрицательной величиной, то должно выполняться условие $t \ge 0$.

Подставив $t$ в неравенство, получим:

$t^2 - 7t - 30 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - 7t - 30 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-(-7) - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 13}{2} = -3$

$t_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 13}{2} = 10$

Графиком функции $y = t^2 - 7t - 30$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции меньше нуля при $t$, находящихся между корнями: $-3 < t < 10$.

Теперь необходимо учесть условие $t \ge 0$. Составим систему:

$\begin{cases} -3 < t < 10 \\ t \ge 0 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $0 \le t < 10$.

Выполним обратную замену, подставив $t = |x|$:

$0 \le |x| < 10$

Неравенство $|x| \ge 0$ выполняется для любого действительного числа $x$. Таким образом, остается решить неравенство $|x| < 10$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству $-10 < x < 10$.

Ответ: $x \in (-10, 10)$.

2) $6x^2 + 5|x| - 1 \ge 0$

Так как $x^2 = |x|^2$, перепишем неравенство: $6|x|^2 + 5|x| - 1 \ge 0$.

Введем замену переменной $t = |x|$, где $t \ge 0$.

Получим квадратное неравенство относительно $t$:

$6t^2 + 5t - 1 \ge 0$

Найдем корни уравнения $6t^2 + 5t - 1 = 0$.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 6} = \frac{-12}{12} = -1$

$t_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

Графиком функции $y = 6t^2 + 5t - 1$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции больше или равны нулю, когда $t$ находится за пределами корней (включая сами корни): $t \le -1$ или $t \ge \frac{1}{6}$.

Учтем ограничение $t \ge 0$:

$\begin{cases} t \le -1 \text{ или } t \ge \frac{1}{6} \\ t \ge 0 \end{cases}$

Система $t \le -1$ и $t \ge 0$ не имеет решений. Система $t \ge \frac{1}{6}$ и $t \ge 0$ дает решение $t \ge \frac{1}{6}$.

Следовательно, решением для $t$ является $t \ge \frac{1}{6}$.

Вернемся к переменной $x$ через обратную замену $t = |x|$:

$|x| \ge \frac{1}{6}$

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$x \ge \frac{1}{6}$ или $x \le -\frac{1}{6}$.

Множество решений — это объединение двух лучей.

Ответ: $x \in (-\infty, -1/6] \cup [1/6, \infty)$.

227. Решите неравенство:

1) $(x+8)(x-6)(x-12) < 0;$

2) $(2x+5)(4x-3)(x-7) \ge 0;$

3) $(6+x)(x+1)(2-x) < 0;$

4) $(x+8,6)(3-x)(4-x) \ge 0;$

5) $\frac{x-3}{x-8} \ge 0;$

6) $\frac{6-x}{x-4} \ge 0;$

7) $\frac{(x+9)(x+2)}{x-9} \ge 0;$

8) $\frac{x-5}{(x+6)(x-12)} \le 0.$

Для решения данных неравенств используется метод интервалов.

Дано неравенство $(x+8)(x-6)(x-12) < 0$.

1. Находим нули функции $f(x) = (x+8)(x-6)(x-12)$. Для этого решаем уравнение $(x+8)(x-6)(x-12) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = -8$, $x_2 = 6$, $x_3 = 12$.

2. Отмечаем эти точки на числовой оси. Так как неравенство строгое ($< 0$), точки будут выколотыми.

Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -8)$, $(-8; 6)$, $(6; 12)$ и $(12; +\infty)$.

3. Определяем знак выражения в каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например, $x = 13$:

$(13+8)(13-6)(13-12) = 21 \cdot 7 \cdot 1 > 0$. Значит, на интервале $(12; +\infty)$ выражение положительно.

4. Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в интервалах чередуются: $(+)$, $(-)$, $(+)$, $(-)$.

Расставим знаки на интервалах: $(-\infty; -8) \rightarrow -$, $(-8; 6) \rightarrow +$, $(6; 12) \rightarrow -$, $(12; +\infty) \rightarrow +$.

5. Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля ($< 0$). Это интервалы $(-\infty; -8)$ и $(6; 12)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (6; 12)$.

Дано неравенство $(2x+5)(4x-3)(x-7) \ge 0$.

1. Находим нули функции: $2x+5=0 \implies x_1 = -2.5$; $4x-3=0 \implies x_2 = 0.75$; $x-7=0 \implies x_3 = 7$.

2. Отмечаем точки на числовой оси. Неравенство нестрогое ($\ge 0$), поэтому точки будут закрашенными.

Интервалы: $(-\infty; -2.5]$, $[-2.5; 0.75]$, $[0.75; 7]$ и $[7; +\infty)$.

3. Определяем знак в крайнем правом интервале, взяв $x=8$: $(2 \cdot 8+5)(4 \cdot 8-3)(8-7) > 0$.

4. Знаки чередуются: $(+)$, $(-)$, $(+)$, $(-)$.

Расставим знаки: $(-\infty; -2.5] \rightarrow -$, $[-2.5; 0.75] \rightarrow +$, $[0.75; 7] \rightarrow -$, $[7; +\infty) \rightarrow +$.

5. Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю ($\ge 0$). Это $[-2.5; 0.75]$ и $[7; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-2.5; 0.75] \cup [7; +\infty)$.

Дано неравенство $(6+x)(x+1)(2-x) < 0$.

1. Преобразуем множитель $(2-x)$ к стандартному виду: $(2-x) = -(x-2)$.

Неравенство принимает вид: $(x+6)(x+1)(-(x-2)) < 0$.

$-(x+6)(x+1)(x-2) < 0$.

Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный: $(x+6)(x+1)(x-2) > 0$.

2. Нули: $x_1 = -6$, $x_2 = -1$, $x_3 = 2$. Точки выколотые, так как неравенство строгое.

3. Интервалы: $(-\infty; -6)$, $(-6; -1)$, $(-1; 2)$, $(2; +\infty)$.

4. Знак в $(2; +\infty)$ (берем $x=3$): $(3+6)(3+1)(3-2) > 0$.

5. Знаки чередуются: $(+)$, $(-)$, $(+)$, $(-)$.

6. Ищем интервалы, где выражение больше нуля ($> 0$). Это $(-6; -1)$ и $(2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-6; -1) \cup (2; +\infty)$.

Дано неравенство $(x+8.6)(3-x)(4-x) \ge 0$.

1. Преобразуем множители: $(3-x) = -(x-3)$ и $(4-x) = -(x-4)$.

Неравенство: $(x+8.6)(-(x-3))(-(x-4)) \ge 0$.

$(x+8.6)(x-3)(x-4) \ge 0$. Знак не изменился, так как мы умножили на $(-1) \cdot (-1) = 1$.

2. Нули: $x_1 = -8.6$, $x_2 = 3$, $x_3 = 4$. Точки закрашенные, так как неравенство нестрогое.

3. Интервалы: $(-\infty; -8.6]$, $[-8.6; 3]$, $[3; 4]$, $[4; +\infty)$.

4. Знак в $[4; +\infty)$ (берем $x=5$): $(5+8.6)(5-3)(5-4) > 0$.

5. Знаки чередуются: $(+)$, $(-)$, $(+)$, $(-)$.

6. Ищем интервалы, где выражение больше или равно нулю ($\ge 0$). Это $[-8.6; 3]$ и $[4; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-8.6; 3] \cup [4; +\infty)$.

Дано неравенство $\frac{x-3}{x-8} \ge 0$.

1. Находим нули числителя и знаменателя. Нуль числителя: $x-3=0 \implies x=3$. Нуль знаменателя: $x-8=0 \implies x=8$.

2. Отмечаем точки на числовой оси. Точка $x=3$ закрашенная (неравенство нестрогое), точка $x=8$ выколотая (на ноль делить нельзя).

3. Интервалы: $(-\infty; 3]$, $[3; 8)$, $(8; +\infty)$.

4. Определяем знак в крайнем правом интервале, взяв $x=9$: $\frac{9-3}{9-8} = 6 > 0$.

5. Знаки чередуются: $(+)$, $(-)$, $(+)$.

6. Ищем интервалы, где выражение больше или равно нулю ($\ge 0$). Это $(-\infty; 3]$ и $(8; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 3] \cup (8; +\infty)$.

Дано неравенство $\frac{6-x}{x-4} \ge 0$.

1. Преобразуем числитель: $6-x = -(x-6)$. Неравенство: $\frac{-(x-6)}{x-4} \ge 0$.

Умножим на $-1$ и сменим знак: $\frac{x-6}{x-4} \le 0$.

2. Нуль числителя: $x=6$. Нуль знаменателя: $x=4$.

3. Точка $x=6$ закрашенная, точка $x=4$ выколотая.

4. Интервалы: $(-\infty; 4)$, $(4; 6]$, $[6; +\infty)$.

5. Знак в $(4; 6]$ (берем $x=5$): $\frac{5-6}{5-4} = -1 < 0$.

6. Знаки для $\frac{x-6}{x-4}$: $(+)$, $(-)$, $(+)$.

7. Нам нужно, чтобы $\frac{x-6}{x-4} \le 0$. Это интервал $(4; 6]$.

Ответ: $x \in (4; 6]$.

Дано неравенство $\frac{(x+9)(x+2)}{x-9} \ge 0$.

1. Нули числителя: $x=-9$, $x=-2$. Нуль знаменателя: $x=9$.

2. Точки $x=-9$ и $x=-2$ закрашенные. Точка $x=9$ выколотая.

3. Интервалы: $(-\infty; -9]$, $[-9; -2]$, $[-2; 9)$, $(9; +\infty)$.

4. Знак в $(9; +\infty)$ (берем $x=10$): $\frac{(10+9)(10+2)}{10-9} > 0$.

5. Знаки чередуются: $(+)$, $(-)$, $(+)$, $(-)$.

6. Ищем интервалы, где выражение больше или равно нулю ($\ge 0$). Это $[-9; -2]$ и $(9; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-9; -2] \cup (9; +\infty)$.

Дано неравенство $\frac{x-5}{(x+6)(x-12)} \le 0$.

1. Нуль числителя: $x=5$. Нули знаменателя: $x=-6$, $x=12$.

2. Точка $x=5$ закрашенная. Точки $x=-6$ и $x=12$ выколотые.

3. Интервалы: $(-\infty; -6)$, $(-6; 5]$, $[5; 12)$, $(12; +\infty)$.

4. Знак в $(12; +\infty)$ (берем $x=13$): $\frac{13-5}{(13+6)(13-12)} > 0$.

5. Знаки чередуются: $(+)$, $(-)$, $(+)$, $(-)$.

6. Ищем интервалы, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это $(-\infty; -6)$ и $[5; 12)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup [5; 12)$.

228. Найдите множество решений неравенства:

1) $(x^2 + 6x)(x^2 - 16) \le 0;$

2) $(x^2 - 6x + 5)(x^2 + 3x) > 0;$

3) $\frac{x^2 - 10x + 9}{x^2 + 4x + 3} > 0;$

4) $\frac{x^2 - x - 12}{x^2 - 81} \le 0.$

1) Решим неравенство $(x^2 + 6x)(x^2 - 16) \le 0$.

Сначала разложим на множители левую часть неравенства.

Первый множитель: $x^2 + 6x = x(x+6)$.

Второй множитель (разность квадратов): $x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4)$.

Неравенство принимает вид: $x(x+6)(x-4)(x+4) \le 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни левой части, приравняв ее к нулю:

$x(x+6)(x-4)(x+4) = 0$

Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -6$, $x_3 = 4$, $x_4 = -4$.

Отметим эти корни на числовой оси в порядке возрастания: -6, -4, 0, 4. Эти точки разбивают ось на пять интервалов. Так как неравенство нестрогое ($\le$), все точки будут закрашенными.

Определим знак выражения на каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $x=5$:

$5(5+6)(5-4)(5+4) = 5 \cdot 11 \cdot 1 \cdot 9 > 0$.

Так как все корни имеют кратность 1 (нечетную), знаки в интервалах будут чередоваться.

Расставим знаки на числовой оси: $(-\infty; -6): +$; $[-6; -4]: -$; $[-4; 0]: +$; $[0; 4]: -$; $[4; +\infty): +$.

Нам нужно найти множество решений, где выражение меньше или равно нулю. Это объединение интервалов со знаком "минус", включая их границы.

Ответ: $[-6, -4] \cup [0, 4]$.

2) Решим неравенство $(x^2 - 6x + 5)(x^2 + 3x) > 0$.

Разложим на множители левую часть.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$. Таким образом, $x^2 - 6x + 5 = (x-1)(x-5)$.

Второй множитель: $x^2 + 3x = x(x+3)$.

Неравенство принимает вид: $(x-1)(x-5)x(x+3) > 0$.

Найдем корни левой части: $x_1=1$, $x_2=5$, $x_3=0$, $x_4=-3$.

Отметим эти корни на числовой оси в порядке возрастания: -3, 0, 1, 5. Так как неравенство строгое ($>$), все точки будут выколотыми.

Определим знаки методом интервалов. Возьмем пробную точку $x=6$:

$(6-1)(6-5) \cdot 6 \cdot (6+3) > 0$.

Знаки в интервалах чередуются.

Расставим знаки на числовой оси: $(-\infty; -3): +$; $(-3; 0): -$; $(0; 1): +$; $(1; 5): -$; $(5; +\infty): +$.

Нам нужно найти множество решений, где выражение строго больше нуля. Это объединение интервалов со знаком "плюс".

Ответ: $(-\infty, -3) \cup (0, 1) \cup (5, \infty)$.

3) Решим неравенство $\frac{x^2 - 10x + 9}{x^2 + 4x + 3} > 0$.

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

Числитель: $x^2 - 10x + 9 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 9$. Значит, $x^2 - 10x + 9 = (x-1)(x-9)$.

Знаменатель: $x^2 + 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$. Значит, $x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x-1)(x-9)}{(x+1)(x+3)} > 0$.

Применим метод интервалов. Найдем нули числителя ($x=1, x=9$) и нули знаменателя ($x=-1, x=-3$).

Отметим эти точки на числовой оси. Нули знаменателя всегда выколотые, так как на ноль делить нельзя. Нули числителя также выколотые, так как неравенство строгое.

Точки в порядке возрастания: -3, -1, 1, 9.

Определим знак дроби в крайнем правом интервале, взяв $x=10$:

$\frac{(10-1)(10-9)}{(10+1)(10+3)} > 0$.

Все корни имеют нечетную кратность, поэтому знаки чередуются.

Расставим знаки: $(-\infty; -3): +$; $(-3; -1): -$; $(-1; 1): +$; $(1; 9): -$; $(9; +\infty): +$.

Нам нужны интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $(-\infty, -3) \cup (-1, 1) \cup (9, \infty)$.

4) Решим неравенство $\frac{x^2 - x - 12}{x^2 - 81} \le 0$.

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель: $x^2 - x - 12 = 0$. Найдем корни через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$. Корни $x_{1,2} = \frac{1 \pm 7}{2}$, то есть $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$. Таким образом, $x^2 - x - 12 = (x-4)(x+3)$.

Знаменатель (разность квадратов): $x^2 - 81 = (x-9)(x+9)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x-4)(x+3)}{(x-9)(x+9)} \le 0$.

Применим метод интервалов. Нули числителя: $x=4, x=-3$. Нули знаменателя: $x=9, x=-9$.

Отметим точки на числовой оси. Нули числителя ($x=-3, x=4$) будут закрашенными, так как неравенство нестрогое. Нули знаменателя ($x=-9, x=9$) всегда выколотые.

Точки в порядке возрастания: -9, -3, 4, 9.

Определим знак дроби в крайнем правом интервале, взяв $x=10$:

$\frac{(10-4)(10+3)}{(10-9)(10+9)} > 0$.

Знаки чередуются.

Расставим знаки: $(-\infty; -9): +$; $(-9; -3]: -$; $[-3; 4]: +$; $[4; 9): -$; $(9; +\infty): +$.

Нам нужны интервалы со знаком "минус", включая нули числителя.

Ответ: $(-9, -3] \cup [4, 9)$.

229. Решите неравенство:

1) $(x - 4)^2(x^2 - 8x + 12) < 0;$

2) $(x - 1)^2(x^2 - x - 6) \le 0;$

3) $(x + 2)^2(x^2 + x - 20) \ge 0;$

4) $(x + 5)^2(x^2 + 2x - 3) > 0;$

5) $(x - 5)^2(x^2 - x - 6) \ge 0;$

6) $(x - 6)^2(x^2 - 2x - 15) \le 0;$

7) $(x - 2)^2(x - 3)^4(x - 4)^3 \ge 0;$

8) $(x - 2)^2(x - 3)^3(x - 4)^4(x - 5)^5 \le 0;$

9) $\frac{x^2 - x - 12}{x^2 + 4x + 4} < 0;$

10) $\frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 3x - 10} \ge 0.$

1) $(x - 4)^2(x^2 - 8x + 12) < 0$

Сначала разложим квадратный трехчлен $x^2 - 8x + 12$ на множители. Найдем его корни через дискриминант или по теореме Виета. Корни уравнения $x^2 - 8x + 12 = 0$ равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$.
Таким образом, $x^2 - 8x + 12 = (x - 2)(x - 6)$.
Неравенство принимает вид:
$(x - 4)^2(x - 2)(x - 6) < 0$
Множитель $(x - 4)^2$ всегда неотрицателен (то есть $\ge 0$). Так как неравенство строгое ($< 0$), то $(x - 4)^2$ должен быть строго больше нуля, что означает $x \ne 4$.
При условии $x \ne 4$, множитель $(x - 4)^2$ положителен, и мы можем разделить на него обе части неравенства, не меняя знака:
$(x - 2)(x - 6) < 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Корни: $x = 2$ и $x = 6$. Эти точки делят числовую прямую на три интервала. График функции $y = (x - 2)(x - 6)$ — это парабола с ветвями вверх, она принимает отрицательные значения между корнями.
Следовательно, решение неравенства $(x - 2)(x - 6) < 0$ есть интервал $(2, 6)$.
Учитывая ограничение $x \ne 4$, получаем решение исходного неравенства.
Ответ: $x \in (2, 4) \cup (4, 6)$.

2) $(x - 1)^2(x^2 - x - 6) \le 0$

Разложим на множители $x^2 - x - 6$. Корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.
Следовательно, $x^2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3)$.
Неравенство принимает вид:
$(x - 1)^2(x + 2)(x - 3) \le 0$
Множитель $(x - 1)^2$ всегда неотрицателен. Неравенство будет выполняться в двух случаях:
1. Когда выражение равно нулю. Это происходит при $x - 1 = 0$, $x + 2 = 0$ или $x - 3 = 0$, то есть при $x = 1, x = -2, x = 3$.
2. Когда выражение строго меньше нуля. Для этого множитель $(x + 2)(x - 3)$ должен быть отрицательным, а $(x - 1)^2$ — положительным (т.е. $x \ne 1$).
Решаем $(x + 2)(x - 3) < 0$. Корни -2 и 3, парабола ветвями вверх, значит решение — интервал $(-2, 3)$.
Объединяя решения из пунктов 1 и 2, получаем: интервал $(-2, 3)$ и точки $x = -2, x = 1, x = 3$. Точки $x=-2$ и $x=3$ делают интервал отрезком, а точка $x=1$ уже лежит внутри этого отрезка.
Ответ: $x \in [-2, 3]$.

3) $(x + 2)^2(x^2 + x - 20) \ge 0$

Разложим на множители $x^2 + x - 20$. Корни уравнения $x^2 + x - 20 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = -5$ и $x_2 = 4$.
Следовательно, $x^2 + x - 20 = (x + 5)(x - 4)$.
Неравенство принимает вид:
$(x + 2)^2(x + 5)(x - 4) \ge 0$
Множитель $(x + 2)^2 \ge 0$ при любых $x$.
Неравенство выполняется, если:
1. Выражение равно нулю. Это происходит при $x = -2, x = -5, x = 4$.
2. Выражение строго больше нуля. Для этого $(x + 5)(x - 4) > 0$ и $(x + 2)^2 > 0$ (т.е. $x \ne -2$).
Решаем $(x + 5)(x - 4) > 0$. Корни -5 и 4, парабола ветвями вверх, значит решение — объединение интервалов $(-\infty, -5) \cup (4, \infty)$.
Объединяя решения из пунктов 1 и 2, получаем: $(-\infty, -5] \cup [4, \infty)$ и отдельную точку $x = -2$.
Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup [4, \infty) \cup \{-2\}$.

4) $(x + 5)^2(x^2 + 2x - 3) > 0$

Разложим на множители $x^2 + 2x - 3$. Корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.
Следовательно, $x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)$.
Неравенство принимает вид:
$(x + 5)^2(x + 3)(x - 1) > 0$
Множитель $(x + 5)^2 \ge 0$. Так как неравенство строгое, то $x \ne -5$.
При $x \ne -5$, множитель $(x + 5)^2$ положителен. Разделим на него неравенство:
$(x + 3)(x - 1) > 0$
Корни -3 и 1, парабола ветвями вверх, решение: $(-\infty, -3) \cup (1, \infty)$.
Необходимо учесть условие $x \ne -5$. Точка -5 принадлежит интервалу $(-\infty, -3)$, поэтому ее нужно исключить.
Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup (-5, -3) \cup (1, \infty)$.

5) $(x - 5)^2(x^2 - x - 6) \ge 0$

Разложим на множители $x^2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3)$ (см. задачу 2).
Неравенство принимает вид:
$(x - 5)^2(x + 2)(x - 3) \ge 0$
Множитель $(x - 5)^2 \ge 0$. Неравенство выполняется, если:
1. Выражение равно нулю: при $x = 5, x = -2, x = 3$.
2. Выражение больше нуля: $(x + 2)(x - 3) > 0$ при $x \ne 5$.
Решение $(x + 2)(x - 3) > 0$ есть $(-\infty, -2) \cup (3, \infty)$.
Объединяя результаты: к множеству $(-\infty, -2) \cup (3, \infty)$ добавляем точки $x=-2, x=3, x=5$.
Это дает $(-\infty, -2] \cup [3, \infty)$. Точка $x=5$ уже входит в этот промежуток.
Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [3, \infty)$.

6) $(x - 6)^2(x^2 - 2x - 15) \le 0$

Разложим на множители $x^2 - 2x - 15$. Корни уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 5$.
Следовательно, $x^2 - 2x - 15 = (x + 3)(x - 5)$.
Неравенство принимает вид:
$(x - 6)^2(x + 3)(x - 5) \le 0$
Множитель $(x - 6)^2 \ge 0$. Неравенство выполняется, если:
1. Выражение равно нулю: при $x = 6, x = -3, x = 5$.
2. Выражение меньше нуля: $(x + 3)(x - 5) < 0$ при $x \ne 6$.
Решение $(x + 3)(x - 5) < 0$ есть интервал $(-3, 5)$.
Объединяя результаты: к интервалу $(-3, 5)$ добавляем точки $x = -3, x = 5, x = 6$.
Получаем отрезок $[-3, 5]$ и изолированную точку $x=6$.
Ответ: $x \in [-3, 5] \cup \{6\}$.

7) $(x - 2)^2(x - 3)^4(x - 4)^3 \ge 0$

Множители $(x - 2)^2$ и $(x - 3)^4$ всегда неотрицательны, так как они в четной степени.
Неравенство выполняется, если:
1. Выражение равно нулю. Это происходит, когда любой из множителей равен нулю: $x = 2, x = 3, x = 4$.
2. Выражение строго больше нуля. Для этого все множители должны быть не равны нулю, и произведение должно быть положительным. Так как $(x - 2)^2 > 0$ и $(x - 3)^4 > 0$ при $x \ne 2$ и $x \ne 3$, то знак всего выражения определяется знаком множителя $(x - 4)^3$.
Нужно, чтобы $(x - 4)^3 > 0$, что эквивалентно $x - 4 > 0$, то есть $x > 4$.
Объединяя результаты: интервал $(4, \infty)$ и точки $x=2, x=3, x=4$. Это дает $[4, \infty)$ и изолированные точки $x=2, x=3$.
Ответ: $x \in [4, \infty) \cup \{2, 3\}$.

8) $(x - 2)^2(x - 3)^3(x - 4)^4(x - 5)^5 \le 0$

Множители в четной степени $(x - 2)^2$ и $(x - 4)^4$ всегда неотрицательны.
Множители в нечетной степени $(x - 3)^3$ и $(x - 5)^5$ имеют тот же знак, что и их основания $(x - 3)$ и $(x - 5)$.
Неравенство выполняется, если:
1. Выражение равно нулю. Это происходит при $x = 2, x = 3, x = 4, x = 5$.
2. Выражение строго меньше нуля. Для этого произведение $(x - 3)^3(x - 5)^5$ должно быть отрицательным, а множители $(x - 2)^2$ и $(x - 4)^4$ положительными (т.е. $x \ne 2$ и $x \ne 4$).
Решаем $(x - 3)^3(x - 5)^5 < 0$, что эквивалентно $(x - 3)(x - 5) < 0$. Решением является интервал $(3, 5)$.
Объединяя результаты: интервал $(3, 5)$ и точки $x=2, 3, 4, 5$.
Это дает отрезок $[3, 5]$ и изолированную точку $x=2$. Точка $x=4$ уже входит в отрезок $[3, 5]$.
Ответ: $x \in [3, 5] \cup \{2\}$.

9) $\frac{x^2 - x - 12}{x^2 + 4x + 4} < 0$

Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель: $x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)$.
Знаменатель: $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{(x - 4)(x + 3)}{(x + 2)^2} < 0$
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю, т.е. $(x + 2)^2 \ne 0 \implies x \ne -2$.
На ОДЗ знаменатель $(x + 2)^2$ всегда положителен. Поэтому мы можем умножить обе части неравенства на $(x + 2)^2$, не меняя знака:
$(x - 4)(x + 3) < 0$
Решением этого неравенства является интервал $(-3, 4)$.
Учитывая ОДЗ ($x \ne -2$), исключаем эту точку из полученного интервала.
Ответ: $x \in (-3, -2) \cup (-2, 4)$.

10) $\frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 3x - 10} \ge 0$

Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$.
Знаменатель: $x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2)$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{(x - 3)^2}{(x - 5)(x + 2)} \ge 0$
ОДЗ: $(x - 5)(x + 2) \ne 0 \implies x \ne 5$ и $x \ne -2$.
Неравенство выполняется в двух случаях:
1. Дробь равна нулю. Это происходит, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен. $(x-3)^2 = 0 \implies x=3$. Эта точка удовлетворяет ОДЗ.
2. Дробь строго больше нуля. Так как числитель $(x - 3)^2$ всегда положителен при $x \ne 3$, необходимо, чтобы знаменатель также был положителен: $(x - 5)(x + 2) > 0$.
Решением этого неравенства является объединение интервалов $(-\infty, -2) \cup (5, \infty)$.
Объединяя результаты из пунктов 1 и 2, получаем: $(-\infty, -2) \cup (5, \infty)$ и изолированную точку $x=3$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (5, \infty) \cup \{3\}$.

230. Решите неравенство:

1) $\frac{1}{x+3} < \frac{2}{x-4}$;

2) $\frac{x+1}{x} - \frac{x-1}{x+1} < 2$;

3) $\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2} \ge \frac{3}{x}$;

4) $\frac{7}{x^2-9} - \frac{12}{x^2-4} \ge 0$.

1) $\frac{1}{x+3} < \frac{2}{x-4}$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{1}{x+3} - \frac{2}{x-4} < 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x+3)(x-4)$:

$\frac{(x-4) - 2(x+3)}{(x+3)(x-4)} < 0$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{x-4-2x-6}{(x+3)(x-4)} < 0$

$\frac{-x-10}{(x+3)(x-4)} < 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{x+10}{(x+3)(x-4)} > 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

$x+10=0 \Rightarrow x=-10$

$x+3=0 \Rightarrow x=-3$

$x-4=0 \Rightarrow x=4$

Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -10)$, $(-10; -3)$, $(-3; 4)$, $(4; +\infty)$. Определим знак выражения в каждом интервале:

• При $x>4$ (например, $x=5$): $\frac{5+10}{(5+3)(5-4)} = \frac{15}{8} > 0$
• При $-3 < x < 4$ (например, $x=0$): $\frac{0+10}{(0+3)(0-4)} = \frac{10}{-12} < 0$
• При $-10 < x < -3$ (например, $x=-5$): $\frac{-5+10}{(-5+3)(-5-4)} = \frac{5}{18} > 0$
• При $x<-10$ (например, $x=-11$): $\frac{-11+10}{(-11+3)(-11-4)} = \frac{-1}{120} < 0$

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля.

Ответ: $x \in (-10; -3) \cup (4; +\infty)$

2) $\frac{x+1}{x} - \frac{x-1}{x+1} < 2$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$ и $x \neq -1$.

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{x+1}{x} - \frac{x-1}{x+1} - 2 < 0$

Приведем к общему знаменателю $x(x+1)$:

$\frac{(x+1)^2 - x(x-1) - 2x(x+1)}{x(x+1)} < 0$

Упростим числитель:

$\frac{(x^2+2x+1) - (x^2-x) - (2x^2+2x)}{x(x+1)} < 0$

$\frac{x^2+2x+1-x^2+x-2x^2-2x}{x(x+1)} < 0$

$\frac{-2x^2+x+1}{x(x+1)} < 0$

Умножим на $-1$ и сменим знак неравенства:

$\frac{2x^2-x-1}{x(x+1)} > 0$

Найдем корни числителя $2x^2-x-1=0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 9$. Корни $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4}$, то есть $x_1 = 1$ и $x_2 = -1/2$.

Разложим числитель на множители: $2(x-1)(x+1/2)$. Неравенство примет вид:

$\frac{2(x-1)(x+1/2)}{x(x+1)} > 0$

Решим методом интервалов. Корни: $-1, -1/2, 0, 1$. Они разбивают числовую ось на интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; -1/2)$, $(-1/2; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.

• При $x>1$ (например, $x=2$): $\frac{+}{+} > 0$
• При $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$): $\frac{-}{+} < 0$
• При $-1/2 < x < 0$ (например, $x=-0.25$): $\frac{+}{+} > 0$
• При $-1 < x < -1/2$ (например, $x=-0.75$): $\frac{-}{+} < 0$
• При $x<-1$ (например, $x=-2$): $\frac{+}{+} > 0$

Выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1/2; 0) \cup (1; +\infty)$

3) $\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2} \ge \frac{3}{x}$

ОДЗ: $x \neq -2, x \neq 0, x \neq 2$.

Перенесем все в левую часть:

$\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2} - \frac{3}{x} \ge 0$

Общий знаменатель $x(x-2)(x+2) = x(x^2-4)$:

$\frac{x(x+2) + x(x-2) - 3(x^2-4)}{x(x-2)(x+2)} \ge 0$

Упростим числитель:

$\frac{x^2+2x+x^2-2x-3x^2+12}{x(x^2-4)} \ge 0$

$\frac{-x^2+12}{x(x^2-4)} \ge 0$

Умножим на $-1$ и сменим знак:

$\frac{x^2-12}{x(x^2-4)} \le 0$

Разложим на множители:

$\frac{(x-\sqrt{12})(x+\sqrt{12})}{x(x-2)(x+2)} \le 0$

$\frac{(x-2\sqrt{3})(x+2\sqrt{3})}{x(x-2)(x+2)} \le 0$

Решим методом интервалов. Корни числителя (включаются в решение): $x=\pm 2\sqrt{3}$. Корни знаменателя (не включаются): $x=0, x=\pm 2$.

Расположим корни на числовой оси: $-2\sqrt{3}, -2, 0, 2, 2\sqrt{3}$ (где $2\sqrt{3} \approx 3.46$).

Определим знаки на интервалах. Для $x > 2\sqrt{3}$ (например, $x=4$) выражение положительно. Далее знаки чередуются.

$(-\infty; -2\sqrt{3}]$: знак "-". Подходит.

$[-2\sqrt{3}; -2)$: знак "+". Не подходит.

$(-2; 0)$: знак "-". Подходит.

$(0; 2)$: знак "+". Не подходит.

$(2; 2\sqrt{3}]$: знак "-". Подходит.

$[2\sqrt{3}; +\infty)$: знак "+". Не подходит.

Объединяем подходящие интервалы.

Ответ: $x \in (-\infty; -2\sqrt{3}] \cup (-2; 0) \cup (2; 2\sqrt{3}]$

4) $\frac{7}{x^2-9} - \frac{12}{x^2-4} \ge 0$

ОДЗ: $x^2-9 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 3$; $x^2-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2$.

Приведем к общему знаменателю $(x^2-9)(x^2-4)$:

$\frac{7(x^2-4) - 12(x^2-9)}{(x^2-9)(x^2-4)} \ge 0$

Упростим числитель:

$\frac{7x^2-28-12x^2+108}{(x^2-9)(x^2-4)} \ge 0$

$\frac{-5x^2+80}{(x^2-9)(x^2-4)} \ge 0$

Разделим на $-5$ и сменим знак неравенства:

$\frac{x^2-16}{(x^2-9)(x^2-4)} \le 0$

Разложим все на множители:

$\frac{(x-4)(x+4)}{(x-3)(x+3)(x-2)(x+2)} \le 0$

Решим методом интервалов. Корни числителя (включаются): $x=\pm 4$. Корни знаменателя (не включаются): $x=\pm 3, x=\pm 2$.

Расположим корни на числовой оси: $-4, -3, -2, 2, 3, 4$.

Определим знаки на интервалах. Для $x > 4$ (например, $x=5$) все множители положительны, значит выражение > 0. Далее знаки чередуются, так как все корни имеют кратность 1.

$(-\infty; -4]$: знак "+". Не подходит.

$[-4; -3)$: знак "-". Подходит.

$(-3; -2)$: знак "+". Не подходит.

$(-2; 2)$: знак "-". Подходит.

$(2; 3)$: знак "+". Не подходит.

$(3; 4]$: знак "-". Подходит.

$[4; +\infty)$: знак "+". Не подходит.

Объединяем подходящие интервалы.

Ответ: $x \in [-4; -3) \cup (-2; 2) \cup (3; 4]$

231. Чему равно значение выражения:

1) $5^{-2} + 5^{-1}$;

2) $6^{-2} - 12^{-1}$;

3) $0,08^{0} + 0,9^{0}$;

4) $(4 \cdot 2^{-3} - 10^{-1})^{-1}$?

1) Для вычисления значения выражения $5^{-2} + 5^{-1}$ воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Применяя это свойство, получаем:
$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$
$5^{-1} = \frac{1}{5^1} = \frac{1}{5}$
Теперь сложим полученные дроби. Для этого приведем их к общему знаменателю, который равен 25.
$\frac{1}{25} + \frac{1}{5} = \frac{1}{25} + \frac{1 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{1}{25} + \frac{5}{25} = \frac{1+5}{25} = \frac{6}{25}$.
Ответ можно также представить в виде десятичной дроби: $6 \div 25 = 0,24$.
Ответ: $\frac{6}{25}$.

2) Для вычисления значения выражения $6^{-2} - 12^{-1}$ также используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$6^{-2} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}$
$12^{-1} = \frac{1}{12^1} = \frac{1}{12}$
Выполним вычитание, приведя дроби к общему знаменателю 36.
$\frac{1}{36} - \frac{1}{12} = \frac{1}{36} - \frac{1 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{1}{36} - \frac{3}{36} = \frac{1-3}{36} = -\frac{2}{36}$.
Сократим полученную дробь:
$-\frac{2}{36} = -\frac{1}{18}$.
Ответ: $-\frac{1}{18}$.

3) Для вычисления значения выражения $0,08^0 + 0,9^0$ воспользуемся свойством нулевой степени: любое число (кроме нуля), возведенное в нулевую степень, равно единице ($a^0 = 1$ при $a \neq 0$).
$0,08^0 = 1$
$0,9^0 = 1$
Следовательно:
$1 + 1 = 2$.
Ответ: 2.

4) Для вычисления значения выражения $(4 \cdot 2^{-3} - 10^{-1})^{-1}$ сначала выполним действия в скобках.
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
$10^{-1} = \frac{1}{10}$
Подставим эти значения в выражение в скобках:
$4 \cdot \frac{1}{8} - \frac{1}{10} = \frac{4}{8} - \frac{1}{10} = \frac{1}{2} - \frac{1}{10}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 10:
$\frac{1}{2} - \frac{1}{10} = \frac{5}{10} - \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
Теперь возведем полученный результат в степень -1, используя свойство $(\frac{a}{b})^{-1} = \frac{b}{a}$:
$(\frac{2}{5})^{-1} = \frac{5}{2} = 2,5$.
Ответ: 2,5.

232. Расположите в порядке возрастания:

1) $11^{-2}$, $11^{2}$, $11^{-1}$, $11^{0}$;

2) $\left(\frac{1}{7}\right)^{2}$, $\left(\frac{1}{7}\right)^{-3}$, $\left(\frac{1}{7}\right)^{0}$, $\left(\frac{1}{7}\right)^{-1}$.

1)

Для того чтобы расположить числа $11^{-2}$, $11^2$, $11^{-1}$, $11^0$ в порядке возрастания, необходимо сравнить их значения. Все числа представляют собой степени с одинаковым основанием $11$.

Поскольку основание степени $11 > 1$, степенная функция с таким основанием является возрастающей. Это означает, что чем больше показатель степени, тем больше значение самой степени. Сравним показатели степеней: $-2$, $2$, $-1$, $0$.

Расположим показатели в порядке возрастания: $-2 < -1 < 0 < 2$.

Соответственно, сами степени в порядке возрастания будут расположены в том же порядке:

$11^{-2}$, $11^{-1}$, $11^0$, $11^2$.

Для проверки можно вычислить конкретные значения:
$11^{-2} = \frac{1}{11^2} = \frac{1}{121}$
$11^{-1} = \frac{1}{11}$
$11^0 = 1$
$11^2 = 121$

Располагая полученные значения $\frac{1}{121}$, $\frac{1}{11}$, $1$, $121$ в порядке возрастания, мы получаем тот же самый ряд.

Ответ: $11^{-2}$, $11^{-1}$, $11^0$, $11^2$.

2)

Рассмотрим числа $(\frac{1}{7})^2$, $(\frac{1}{7})^{-3}$, $(\frac{1}{7})^0$, $(\frac{1}{7})^{-1}$. Все они являются степенями с одинаковым основанием $\frac{1}{7}$.

Поскольку основание степени $0 < \frac{1}{7} < 1$, степенная функция с таким основанием является убывающей. Это означает, что чем больше показатель степени, тем меньше значение самой степени. Следовательно, чтобы расположить числа в порядке возрастания, необходимо расположить их показатели ($2$, $-3$, $0$, $-1$) в порядке убывания.

Расположим показатели в порядке убывания: $2 > 0 > -1 > -3$.

Соответственно, сами степени в порядке возрастания будут расположены в следующем порядке:

$(\frac{1}{7})^2$, $(\frac{1}{7})^0$, $(\frac{1}{7})^{-1}$, $(\frac{1}{7})^{-3}$.

Для проверки можно вычислить конкретные значения, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$(\frac{1}{7})^2 = \frac{1}{49}$
$(\frac{1}{7})^{-3} = 7^3 = 343$
$(\frac{1}{7})^0 = 1$
$(\frac{1}{7})^{-1} = 7^1 = 7$

Располагая полученные значения $\frac{1}{49}$, $343$, $1$, $7$ в порядке возрастания, получаем ряд $\frac{1}{49}$, $1$, $7$, $343$, что соответствует найденному выше порядку степеней.

Ответ: $(\frac{1}{7})^2$, $(\frac{1}{7})^0$, $(\frac{1}{7})^{-1}$, $(\frac{1}{7})^{-3}$.