Страница 238 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

270. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \frac{1}{\sqrt[4]{6-x}}$;

2) $f(x) = \frac{1}{x^2-2}$;

3) $f(x) = \frac{7x+14}{x^2-7x}$;

4) $f(x) = \frac{x}{|x|-1}$;

5) $f(x) = \sqrt[6]{x+6} + \sqrt[8]{4-x}$;

6) $f(x) = \sqrt{x-7} + \frac{x+2}{x-8}$;

7) $f(x) = \sqrt{x-5} + \sqrt{5-x}$;

8) $f(x) = \sqrt{x-4} + \frac{6}{\sqrt{2-x}}$;

9) $f(x) = \sqrt{x^2+4x-21} - \frac{6}{x^2-49}$;

10) $f(x) = \sqrt[7]{\frac{x-3}{x+4}}$;

11) $f(x) = \sqrt{\frac{(x+3)(x-2)}{x}}$;

12) $f(x) = \sqrt{\frac{x^2-6x+9}{x^2-5x+4}}$

1) Функция $f(x) = \frac{1}{\sqrt[4]{6-x}}$ определена, если выполнены два условия:

• Подкоренное выражение корня четной степени (четвертой) должно быть неотрицательным: $6-x \ge 0$.
• Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $\sqrt[4]{6-x} \ne 0$, что равносильно $6-x \ne 0$.

Объединяя эти два условия, получаем одно строгое неравенство:
$6-x > 0$
$6 > x$, или $x < 6$.
Таким образом, область определения функции — это все числа, меньшие 6.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 6)$.

2) Функция $f(x) = \frac{1}{x^2 - 2}$ определена, если ее знаменатель не равен нулю.
$x^2 - 2 \ne 0$
$x^2 \ne 2$
$x \ne \sqrt{2}$ и $x \ne -\sqrt{2}$.
Область определения — все действительные числа, кроме $-\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (-\sqrt{2}; \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$.

3) Функция $f(x) = \frac{7x+14}{x^2-7x}$ определена, если ее знаменатель не равен нулю.
$x^2 - 7x \ne 0$
$x(x - 7) \ne 0$
Это произведение не равно нулю, если ни один из множителей не равен нулю, то есть:
$x \ne 0$ и $x - 7 \ne 0$
$x \ne 0$ и $x \ne 7$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 7) \cup (7; +\infty)$.

4) Функция $f(x) = \frac{x}{|x|-1}$ определена, если ее знаменатель не равен нулю.
$|x| - 1 \ne 0$
$|x| \ne 1$
Это означает, что $x \ne 1$ и $x \ne -1$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

5) Функция $f(x) = \sqrt[6]{x+6} + \sqrt[8]{4-x}$ является суммой двух корней четной степени. Она определена, если оба подкоренных выражения неотрицательны. Составим систему неравенств:
$\begin{cases} x+6 \ge 0 \\ 4-x \ge 0 \end{cases}$
Решаем каждое неравенство:
$\begin{cases} x \ge -6 \\ x \le 4 \end{cases}$
Решением системы является пересечение этих двух условий, то есть отрезок от -6 до 4 включительно.

Ответ: $D(f) = [-6; 4]$.

6) Функция $f(x) = \sqrt{x-7} + \frac{x+2}{x-8}$ определена, если выполнены два условия:

• Подкоренное выражение неотрицательно: $x-7 \ge 0 \implies x \ge 7$.
• Знаменатель дроби не равен нулю: $x-8 \ne 0 \implies x \ne 8$.

Необходимо найти все числа, которые больше или равны 7, за исключением числа 8.

Ответ: $D(f) = [7; 8) \cup (8; +\infty)$.

7) Функция $f(x) = \sqrt{x-5} + \sqrt{5-x}$ определена, если оба подкоренных выражения неотрицательны. Составим систему неравенств:
$\begin{cases} x-5 \ge 0 \\ 5-x \ge 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge 5 \\ x \le 5 \end{cases}$
Единственное число, которое одновременно больше или равно 5 и меньше или равно 5, это само число 5.

Ответ: $D(f) = \{5\}$.

8) Функция $f(x) = \sqrt{x-4} + \frac{6}{\sqrt{2-x}}$ определена, если выполнены два условия:

• Подкоренное выражение первого слагаемого неотрицательно: $x-4 \ge 0 \implies x \ge 4$.
• Подкоренное выражение в знаменателе второго слагаемого строго положительно: $2-x > 0 \implies x < 2$.

Нужно найти значения $x$, удовлетворяющие обоим условиям одновременно: $x \ge 4$ и $x < 2$. Таких значений $x$ не существует, так как эти два множества не пересекаются.

Ответ: $D(f) = \varnothing$.

9) Функция $f(x) = \sqrt{x^2+4x-21} - \frac{6}{x^2-49}$ определена, если:

• Подкоренное выражение неотрицательно: $x^2+4x-21 \ge 0$.
• Знаменатель дроби не равен нулю: $x^2-49 \ne 0$.

1. Решим неравенство $x^2+4x-21 \ge 0$. Найдем корни уравнения $x^2+4x-21 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -7$, $x_2 = 3$. График функции $y=x^2+4x-21$ — парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения при $x \le -7$ или $x \ge 3$. То есть, $x \in (-\infty; -7] \cup [3; +\infty)$.

2. Решим условие $x^2-49 \ne 0$. Это означает $x^2 \ne 49$, то есть $x \ne 7$ и $x \ne -7$.

3. Совместим оба условия: из множества $(-\infty; -7] \cup [3; +\infty)$ нужно исключить точки -7 и 7. Точка -7 исключается, а точка 7 и так не входила в промежуток до 3, но ее нужно учесть для промежутка $x \ge 3$.
Из $(-\infty; -7]$ исключаем -7, получаем $(-\infty; -7)$.
Из $[3; +\infty)$ исключаем 7, получаем $[3; 7) \cup (7; +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -7) \cup [3; 7) \cup (7; +\infty)$.

10) Функция $f(x) = \sqrt[7]{\frac{x-3}{x+4}}$ содержит корень нечетной степени. Выражение под корнем нечетной степени может быть любым действительным числом. Единственное ограничение связано с дробью внутри корня: ее знаменатель не должен быть равен нулю.
$x+4 \ne 0$
$x \ne -4$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

11) Функция $f(x) = \sqrt{\frac{(x+3)(x-2)}{x}}$ определена, если подкоренное выражение неотрицательно:
$\frac{(x+3)(x-2)}{x} \ge 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x = -3$, $x = 2$. Нуль знаменателя: $x = 0$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы. Отметим, что $x=-3$ и $x=2$ входят в решение, а $x=0$ - нет.
Проверим знаки на интервалах:
- $(-\infty; -3]$: возьмем $x=-4$. $\frac{(-)(-)_ }{(-)} < 0$.
- $[-3; 0)$: возьмем $x=-1$. $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$.
- $(0; 2]$: возьмем $x=1$. $\frac{(+)(-)}{(+)} < 0$.
- $[2; +\infty)$: возьмем $x=3$. $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$.
Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю.

Ответ: $D(f) = [-3; 0) \cup [2; +\infty)$.

12) Функция $f(x) = \sqrt{\frac{x^2-6x+9}{x^2-5x+4}}$ определена, если подкоренное выражение неотрицательно:
$\frac{x^2-6x+9}{x^2-5x+4} \ge 0$.
Разложим числитель и знаменатель на множители:
$x^2-6x+9 = (x-3)^2$
$x^2-5x+4 = (x-1)(x-4)$
Неравенство принимает вид:
$\frac{(x-3)^2}{(x-1)(x-4)} \ge 0$.
Числитель $(x-3)^2$ всегда неотрицателен. Он равен 0 при $x=3$ и положителен в остальных случаях.
Следовательно, дробь $\ge 0$ если:
1. Она равна 0. Это происходит, когда $x=3$ (числитель равен 0, знаменатель не равен 0). Так что $x=3$ входит в область определения.
2. Она строго больше 0. Это происходит, когда числитель и знаменатель положительны. Так как $(x-3)^2 > 0$ при $x \ne 3$, нам нужно, чтобы знаменатель был положителен: $(x-1)(x-4) > 0$. Решением этого неравенства являются $x \in (-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$.
Объединяя оба случая, получаем итоговую область определения.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 1) \cup \{3\} \cup (4; +\infty)$.

271. У какой из данных функций область определения равна её области значений:

1) $y = \sqrt{|x|}$;

2) $y = -\sqrt{x}$;

3) $y = \sqrt{-x}$;

4) $y = -\sqrt{-x}$?

Для того чтобы определить, у какой из данных функций область определения равна её области значений, необходимо для каждой из них найти область определения $D(y)$ и область значений $E(y)$ и сравнить их.

1) Для функции $y = \sqrt{|x|}$:

Область определения ($D(y)$): Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Условие $|x| \ge 0$ выполняется для любого действительного числа $x$. Следовательно, область определения — это множество всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений ($E(y)$): Арифметический квадратный корень по определению принимает только неотрицательные значения, поэтому $y \ge 0$. Функция может принять любое неотрицательное значение (например, чтобы получить $y=c \ge 0$, можно взять $x = c^2$). Следовательно, область значений — это множество всех неотрицательных чисел: $E(y) = [0; +\infty)$.

Сравнивая $D(y)$ и $E(y)$, видим, что $D(y) \ne E(y)$.

Ответ: для функции $y = \sqrt{|x|}$ область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$ не равна области значений $E(y) = [0; +\infty)$.

2) Для функции $y = -\sqrt{x}$:

Область определения ($D(y)$): Выражение под корнем $x$ должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Таким образом, $D(y) = [0; +\infty)$.

Область значений ($E(y)$): Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, то $y = -\sqrt{x} \le 0$. Функция может принять любое неположительное значение (например, чтобы получить $y=c \le 0$, можно взять $x = c^2$). Таким образом, область значений — это множество всех неположительных чисел: $E(y) = (-\infty; 0]$.

Сравнивая $D(y)$ и $E(y)$, видим, что $D(y) \ne E(y)$.

Ответ: для функции $y = -\sqrt{x}$ область определения $D(y) = [0; +\infty)$ не равна области значений $E(y) = (-\infty; 0]$.

3) Для функции $y = \sqrt{-x}$:

Область определения ($D(y)$): Выражение под корнем $-x$ должно быть неотрицательным: $-x \ge 0$, что равносильно $x \le 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0]$.

Область значений ($E(y)$): Арифметический квадратный корень принимает неотрицательные значения, поэтому $y \ge 0$. Функция может принять любое неотрицательное значение (например, чтобы получить $y=c \ge 0$, можно взять $x = -c^2$). Таким образом, область значений — это множество всех неотрицательных чисел: $E(y) = [0; +\infty)$.

Сравнивая $D(y)$ и $E(y)$, видим, что $D(y) \ne E(y)$.

Ответ: для функции $y = \sqrt{-x}$ область определения $D(y) = (-\infty; 0]$ не равна области значений $E(y) = [0; +\infty)$.

4) Для функции $y = -\sqrt{-x}$:

Область определения ($D(y)$): Выражение под корнем $-x$ должно быть неотрицательным: $-x \ge 0$, что равносильно $x \le 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0]$.

Область значений ($E(y)$): Поскольку $\sqrt{-x} \ge 0$, то $y = -\sqrt{-x} \le 0$. Функция может принять любое неположительное значение (например, чтобы получить $y=c \le 0$, можно взять $x = -c^2$). Таким образом, область значений — это множество всех неположительных чисел: $E(y) = (-\infty; 0]$.

Сравнивая $D(y)$ и $E(y)$, видим, что они совпадают, так как оба множества равны $(-\infty; 0]$.

Ответ: для функции $y = -\sqrt{-x}$ область определения $D(y) = (-\infty; 0]$ равна области значений $E(y) = (-\infty; 0]$.

Таким образом, единственная функция из предложенных, у которой область определения совпадает с областью значений, это функция под номером 4: $y = -\sqrt{-x}$.

272. Найдите область значений функции:

1) $y = \sqrt{x^2 + 16} - 9;$

2) $y = 4 + |x|;$

3) $y = \sqrt{-x^2};$

4) $y = -x^2 + 8x - 16;$

5) $y = -\frac{1}{3}x^2 + 2x;$

6) $y = \frac{1}{1 + x^2}.$

1) $y = \sqrt{x^2 + 16} - 9$

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $y$.

Рассмотрим выражение под корнем: $x^2 + 16$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$, то наименьшее значение выражения $x^2$ равно 0 (при $x=0$).

Следовательно, наименьшее значение подкоренного выражения $x^2 + 16$ равно $0 + 16 = 16$.

Так как $x^2$ может быть сколь угодно большим, то $x^2 + 16$ принимает значения из промежутка $[16, +\infty)$.

Функция квадратного корня является возрастающей, поэтому наименьшее значение выражения $\sqrt{x^2 + 16}$ равно $\sqrt{16} = 4$. Значения этого выражения принадлежат промежутку $[4, +\infty)$.

Наконец, вычитая 9, получаем, что значения функции $y$ принадлежат промежутку $[4-9, +\infty)$, то есть $[-5, +\infty)$.

Ответ: $E(y) = [-5, +\infty)$.

2) $y = 4 + |x|$

Модуль числа $|x|$ по определению неотрицателен, то есть $|x| \ge 0$.

Наименьшее значение $|x|$ равно 0, которое достигается при $x=0$.

Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно $4 + 0 = 4$.

Поскольку $|x|$ может принимать любое неотрицательное значение, то $y$ может принимать любое значение, начиная с 4 и больше.

Таким образом, область значений функции — это промежуток $[4, +\infty)$.

Ответ: $E(y) = [4, +\infty)$.

3) $y = \sqrt{-x^2}$

Функция определена только в том случае, если выражение под знаком корня неотрицательно: $-x^2 \ge 0$.

Мы знаем, что $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$. Умножая это неравенство на -1, получаем $-x^2 \le 0$.

Единственное значение $x$, для которого одновременно выполняются условия $-x^2 \ge 0$ и $-x^2 \le 0$, это $-x^2 = 0$, что означает $x=0$.

Следовательно, область определения функции состоит из одной точки $x=0$.

Найдем значение функции в этой точке: $y = \sqrt{-(0)^2} = \sqrt{0} = 0$.

Таким образом, область значений функции состоит из одного числа 0.

Ответ: $E(y) = \{0\}$.

4) $y = -x^2 + 8x - 16$

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательный), значит, ветви параболы направлены вниз.

Следовательно, функция имеет максимальное значение в вершине параболы.

Выделим полный квадрат, чтобы найти вершину: $y = -x^2 + 8x - 16 = -(x^2 - 8x + 16) = -(x-4)^2$.

Выражение $(x-4)^2$ всегда неотрицательно: $(x-4)^2 \ge 0$.

Тогда выражение $-(x-4)^2$ всегда неположительно: $-(x-4)^2 \le 0$.

Максимальное значение, равное 0, достигается при $x-4=0$, то есть при $x=4$.

Таким образом, область значений функции — это промежуток $(-\infty, 0]$.

Ответ: $E(y) = (-\infty, 0]$.

5) $y = -\frac{1}{3}x^2 + 2x$

Это квадратичная функция, график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{1}{3}$ (отрицательный), поэтому ветви параболы направлены вниз.

Максимальное значение функции находится в ее вершине. Координаты вершины $(x_0, y_0)$ можно найти по формулам $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = y(x_0)$.

В нашем случае $a = -\frac{1}{3}$ и $b = 2$.

Найдем абсциссу вершины: $x_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-\frac{1}{3})} = -\frac{2}{-\frac{2}{3}} = 3$.

Найдем ординату вершины (максимальное значение функции): $y_0 = -\frac{1}{3}(3)^2 + 2(3) = -\frac{1}{3} \cdot 9 + 6 = -3 + 6 = 3$.

Так как ветви параболы направлены вниз, область значений функции — это все числа, не превосходящие 3.

Ответ: $E(y) = (-\infty, 3]$.

6) $y = \frac{1}{1 + x^2}$

Рассмотрим знаменатель дроби: $1 + x^2$.

Поскольку $x^2 \ge 0$ для всех действительных $x$, то знаменатель $1+x^2 \ge 1$. Он всегда положителен.

Дробь $\frac{1}{1+x^2}$ будет принимать наибольшее значение, когда ее знаменатель принимает наименьшее значение.

Наименьшее значение знаменателя равно 1 (при $x=0$). Соответственно, наибольшее значение функции: $y_{max} = \frac{1}{1} = 1$.

Когда $|x|$ неограниченно возрастает, $x^2$ также неограниченно возрастает, и знаменатель $1+x^2$ стремится к $+\infty$. В этом случае значение дроби стремится к 0, но никогда его не достигает.

Поскольку знаменатель всегда положителен, вся дробь также всегда положительна. Таким образом, $y > 0$.

Объединяя эти наблюдения, получаем, что область значений функции — это полуинтервал $(0, 1]$.

Ответ: $E(y) = (0, 1]$.

273. На рисунке 6 изображена точка, через которую проходит график функции $y = f (x)$. Среди данных функций укажите эту функцию:

1) $f (x) = x^{-4}$;

2) $f (x) = \frac{4}{x}$;

3) $f (x) = \sqrt{17 + x}$;

4) $f (x) = \frac{x + 3}{x - 1}$.

273. На рисунке 6 изображена точка, через которую проходит график функции $y = f (x)$. Среди данных функций укажите эту функцию:

1) $f (x) = x^{-4}$;

2) $f (x) = \frac{4}{x}$;

3) $f (x) = \sqrt{17 + x}$;

4) $f (x) = \frac{x + 3}{x - 1}$.

Рис. 6

На рисунке 6 показана точка, через которую проходит график некоторой функции $y = f(x)$. Из графика видно, что координаты этой точки равны $(-1; 4)$. Это означает, что при подстановке $x = -1$ в уравнение функции, значение $y$ (или $f(x)$) должно быть равно 4. Проверим каждую из предложенных функций.

1) $f(x) = x^{-4}$
Подставим $x = -1$: $f(-1) = (-1)^{-4} = \frac{1}{(-1)^4} = \frac{1}{1} = 1$.
Поскольку $f(-1) = 1$, а не 4, эта функция не является искомой.

2) $f(x) = \frac{4}{x}$
Подставим $x = -1$: $f(-1) = \frac{4}{-1} = -4$.
Поскольку $f(-1) = -4$, а не 4, эта функция не является искомой.

3) $f(x) = \sqrt{17 + x}$
Подставим $x = -1$: $f(-1) = \sqrt{17 + (-1)} = \sqrt{17 - 1} = \sqrt{16} = 4$.
Поскольку $f(-1) = 4$, эта функция проходит через заданную точку.

4) $f(x) = \frac{x + 3}{x - 1}$
Подставим $x = -1$: $f(-1) = \frac{-1 + 3}{-1 - 1} = \frac{2}{-2} = -1$.
Поскольку $f(-1) = -1$, а не 4, эта функция не является искомой.

Единственная функция, которая удовлетворяет условию $f(-1) = 4$, — это функция под номером 3.
Ответ: 3.

274. Постройте график данной функции и, пользуясь им, укажите промежутки знакопостоянства функции, её промежутки возрастания и промежутки убывания:

1) $y = 2 - x^2$;

2) $y = (x + 4)^2$;

3) $y = 8 - 2x - x^2$;

4) $y = x^2 - 2x + 3$;

5) $y = \frac{4}{x} + 1$;

6) $y = \frac{4}{x - 2}$;

7) $y = \frac{2x + 14}{x + 3}$;

8) $y = -\sqrt{x}$;

9) $y = \sqrt{-x}$;

10) $y = x^{-2} + 2$;

11) $y = \sqrt[3]{x} - 2$;

12) $y = \sqrt[4]{x} + 1$.

1) $y = 2 - x^2$

Это квадратичная функция $y = -x^2 + 2$. Её график — парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный). График можно получить из графика параболы $y = -x^2$ сдвигом на 2 единицы вверх по оси $Oy$. Вершина параболы находится в точке $(0, 2)$.

Найдём нули функции (точки пересечения с осью $Ox$):
$2 - x^2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.

Построим эскиз графика. Это парабола с вершиной в $(0, 2)$, пересекающая ось $Ox$ в точках $-\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$.
Промежутки знакопостоянства:
Функция положительна ($y > 0$), когда её график находится выше оси $Ox$. Это происходит между корнями: $x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$.
Функция отрицательна ($y < 0$), когда её график находится ниже оси $Ox$. Это происходит левее $-\sqrt{2}$ и правее $\sqrt{2}$: $x \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$.

Промежутки возрастания и убывания:
Вершина параболы находится при $x=0$. Так как ветви направлены вниз, функция возрастает до вершины и убывает после неё.
Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$.
Функция убывает на промежутке $[0, \infty)$.

Ответ:
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$.
Промежуток возрастания: $(-\infty, 0]$.
Промежуток убывания: $[0, \infty)$.

2) $y = (x+4)^2$

Это квадратичная функция. Её график — парабола, ветви которой направлены вверх. График можно получить из графика параболы $y = x^2$ сдвигом на 4 единицы влево по оси $Ox$. Вершина параболы находится в точке $(-4, 0)$.

Нуль функции: $(x+4)^2 = 0 \implies x = -4$. График касается оси $Ox$ в точке $(-4, 0)$.

Промежутки знакопостоянства:
Так как вершина находится на оси $Ox$ и ветви направлены вверх, функция неотрицательна на всей области определения. $y > 0$ при всех $x$, кроме $x=-4$. То есть, $x \in (-\infty, -4) \cup (-4, \infty)$.
$y < 0$ ни при каких $x$.

Промежутки возрастания и убывания:
Вершина параболы находится при $x=-4$. Так как ветви направлены вверх, функция убывает до вершины и возрастает после неё.
Функция убывает на промежутке $(-\infty, -4]$.
Функция возрастает на промежутке $[-4, \infty)$.

Ответ:
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty, -4) \cup (-4, \infty)$.
Промежуток убывания: $(-\infty, -4]$.
Промежуток возрастания: $[-4, \infty)$.

3) $y = 8 - 2x - x^2$

Это квадратичная функция $y = -x^2 - 2x + 8$. Её график — парабола с ветвями, направленными вниз.
Найдём вершину параболы. Координата $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2(-1)} = \frac{2}{-2} = -1$.
Координата $y_v = 8 - 2(-1) - (-1)^2 = 8 + 2 - 1 = 9$.
Вершина находится в точке $(-1, 9)$.

Найдём нули функции: $-x^2 - 2x + 8 = 0 \implies x^2 + 2x - 8 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.

Промежутки знакопостоянства:
График — парабола с ветвями вниз, пересекающая ось $Ox$ в точках $-4$ и $2$.
$y > 0$ между корнями: $x \in (-4, 2)$.
$y < 0$ вне интервала между корнями: $x \in (-\infty, -4) \cup (2, \infty)$.

Промежутки возрастания и убывания:
Вершина находится в $x=-1$. Ветви направлены вниз.
Функция возрастает на промежутке $(-\infty, -1]$.
Функция убывает на промежутке $[-1, \infty)$.

Ответ:
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-4, 2)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, -4) \cup (2, \infty)$.
Промежуток возрастания: $(-\infty, -1]$.
Промежуток убывания: $[-1, \infty)$.

4) $y = x^2 - 2x + 3$

Это квадратичная функция. График — парабола с ветвями, направленными вверх.
Найдём вершину: $x_v = \frac{-(-2)}{2(1)} = 1$.
$y_v = 1^2 - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$.
Вершина находится в точке $(1, 2)$.

Найдём нули функции: $x^2 - 2x + 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-2)^2 - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8 < 0$. Действительных корней нет, график не пересекает ось $Ox$.

Промежутки знакопостоянства:
Так как вершина параболы $(1, 2)$ находится выше оси $Ox$ и ветви направлены вверх, вся парабола лежит выше оси $Ox$.
$y > 0$ при всех действительных $x$, то есть $x \in (-\infty, \infty)$.
Промежутков, где $y < 0$, нет.

Промежутки возрастания и убывания:
Вершина находится в $x=1$. Ветви направлены вверх.
Функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$.
Функция возрастает на промежутке $[1, \infty)$.

Ответ:
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty, \infty)$.
Промежуток убывания: $(-\infty, 1]$.
Промежуток возрастания: $[1, \infty)$.

5) $y = \frac{4}{x} + 1$

График этой функции — гипербола. Его можно получить из графика $y = \frac{4}{x}$ сдвигом на 1 единицу вверх по оси $Oy$. Асимптоты: вертикальная $x=0$, горизонтальная $y=1$.

Нули функции: $\frac{4}{x} + 1 = 0 \implies \frac{4}{x} = -1 \implies x = -4$.

Промежутки знакопостоянства:
Точки, меняющие знак функции: нуль $x=-4$ и точка разрыва $x=0$.
На интервале $(-\infty, -4)$: $y > 0$.
На интервале $(-4, 0)$: $y < 0$.
На интервале $(0, \infty)$: $y > 0$.
Таким образом, $y > 0$ при $x \in (-\infty, -4) \cup (0, \infty)$; $y < 0$ при $x \in (-4, 0)$.

Промежутки возрастания и убывания:
Функция $y=k/x$ при $k>0$ убывает на каждом из промежутков области определения. Функция убывает на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$.

Ответ:
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty, -4) \cup (0, \infty)$; $y < 0$ при $x \in (-4, 0)$.
Промежутки убывания: $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$.
Промежутков возрастания нет.

6) $y = \frac{4}{x-2}$

График этой функции — гипербола. Его можно получить из графика $y = \frac{4}{x}$ сдвигом на 2 единицы вправо по оси $Ox$. Асимптоты: вертикальная $x=2$, горизонтальная $y=0$.

Нули функции: $\frac{4}{x-2} = 0$. Решений нет, график не пересекает ось $Ox$.

Промежутки знакопостоянства:
Знак функции зависит от знака знаменателя $x-2$.
$y > 0$ при $x-2 > 0 \implies x > 2$, то есть $x \in (2, \infty)$.
$y < 0$ при $x-2 < 0 \implies x < 2$, то есть $x \in (-\infty, 2)$.

Промежутки возрастания и убывания:
Функция убывает на каждом из промежутков области определения.
Функция убывает на промежутках $(-\infty, 2)$ и $(2, \infty)$.

Ответ:
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (2, \infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, 2)$.
Промежутки убывания: $(-\infty, 2)$ и $(2, \infty)$.
Промежутков возрастания нет.

7) $y = \frac{2x+14}{x+3}$

Преобразуем функцию, выделив целую часть:
$y = \frac{2(x+3) - 6 + 14}{x+3} = \frac{2(x+3) + 8}{x+3} = 2 + \frac{8}{x+3}$.
График — гипербола, полученная из графика $y = \frac{8}{x}$ сдвигом на 3 единицы влево и на 2 единицы вверх.
Асимптоты: вертикальная $x=-3$, горизонтальная $y=2$.

Нули функции: $\frac{2x+14}{x+3} = 0 \implies 2x+14=0 \implies x = -7$.

Промежутки знакопостоянства:
Точки, меняющие знак: $x=-7$ и $x=-3$.
На интервале $(-\infty, -7)$: $y > 0$.
На интервале $(-7, -3)$: $y < 0$.
На интервале $(-3, \infty)$: $y > 0$.
$y > 0$ при $x \in (-\infty, -7) \cup (-3, \infty)$; $y < 0$ при $x \in (-7, -3)$.

Промежутки возрастания и убывания:
Функция убывает на каждом из промежутков области определения.
Функция убывает на промежутках $(-\infty, -3)$ и $(-3, \infty)$.

Ответ:
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty, -7) \cup (-3, \infty)$; $y < 0$ при $x \in (-7, -3)$.
Промежутки убывания: $(-\infty, -3)$ и $(-3, \infty)$.
Промежутков возрастания нет.

8) $y = -\sqrt{x}$

График функции — ветвь параболы $x=y^2$, расположенная в четвертой координатной четверти. Его можно получить, отразив график $y=\sqrt{x}$ относительно оси $Ox$. Область определения: $x \geq 0$.

Нули функции: $-\sqrt{x} = 0 \implies x=0$.

Промежутки знакопостоянства:
При $x > 0$, $\sqrt{x} > 0$, значит $-\sqrt{x} < 0$.
$y < 0$ при $x \in (0, \infty)$.
Промежутков, где $y>0$, нет.

Промежутки возрастания и убывания:
Функция убывает на всей области определения.
Функция убывает на промежутке $[0, \infty)$.

Ответ:
Промежутки знакопостоянства: $y < 0$ при $x \in (0, \infty)$.
Промежуток убывания: $[0, \infty)$.
Промежутков возрастания нет.

9) $y = \sqrt{-x}$

График функции — ветвь параболы $x=-y^2$, расположенная во второй координатной четверти. Его можно получить, отразив график $y=\sqrt{x}$ относительно оси $Oy$. Область определения: $-x \geq 0 \implies x \leq 0$.

Нули функции: $\sqrt{-x} = 0 \implies x=0$.

Промежутки знакопостоянства:
При $x < 0$, $-x > 0$, значит $\sqrt{-x} > 0$.
$y > 0$ при $x \in (-\infty, 0)$.
Промежутков, где $y<0$, нет.

Промежутки возрастания и убывания:
Функция убывает на всей области определения.
Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.

Ответ:
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty, 0)$.
Промежуток убывания: $(-\infty, 0]$.
Промежутков возрастания нет.

10) $y = x^{-2} + 2$

Функцию можно записать как $y = \frac{1}{x^2} + 2$. График получается из графика $y = \frac{1}{x^2}$ сдвигом на 2 единицы вверх. Функция четная, график симметричен относительно оси $Oy$. Асимптоты: вертикальная $x=0$, горизонтальная $y=2$. Область определения $x \neq 0$.

Нули функции: $\frac{1}{x^2} + 2 = 0 \implies \frac{1}{x^2} = -2$. Решений нет.

Промежутки знакопостоянства:
Так как $x^2 > 0$ для всех $x \neq 0$, то $\frac{1}{x^2} > 0$. Следовательно, $y = \frac{1}{x^2} + 2 > 2$ для всех $x$ из области определения.
$y > 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.

Промежутки возрастания и убывания:
На промежутке $(-\infty, 0)$ функция возрастает.
На промежутке $(0, \infty)$ функция убывает.

Ответ:
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.
Промежуток возрастания: $(-\infty, 0)$.
Промежуток убывания: $(0, \infty)$.

11) $y = \sqrt[3]{x} - 2$

График функции получается из графика $y = \sqrt[3]{x}$ сдвигом на 2 единицы вниз по оси $Oy$. Область определения: все действительные числа, $x \in (-\infty, \infty)$.

Нули функции: $\sqrt[3]{x} - 2 = 0 \implies \sqrt[3]{x} = 2 \implies x = 8$.

Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $\sqrt[3]{x} > 2 \implies x > 8$, то есть $x \in (8, \infty)$.
$y < 0$ при $\sqrt[3]{x} < 2 \implies x < 8$, то есть $x \in (-\infty, 8)$.

Промежутки возрастания и убывания:
Функция $y=\sqrt[3]{x}$ возрастает на всей числовой оси. Сдвиг не меняет монотонность. Функция возрастает на промежутке $(-\infty, \infty)$.

Ответ:
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (8, \infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, 8)$.
Промежуток возрастания: $(-\infty, \infty)$.
Промежутков убывания нет.

12) $y = \sqrt[4]{x+1}$

График функции получается из графика $y = \sqrt[4]{x}$ сдвигом на 1 единицу влево по оси $Ox$. Область определения: $x+1 \geq 0 \implies x \geq -1$.

Нули функции: $\sqrt[4]{x+1} = 0 \implies x+1=0 \implies x = -1$.

Промежутки знакопостоянства:
Корень четной степени всегда неотрицателен.
$y > 0$ при $x+1 > 0 \implies x > -1$, то есть $x \in (-1, \infty)$.
Промежутков, где $y<0$, нет.

Промежутки возрастания и убывания:
Функция $y=\sqrt[4]{x}$ возрастает на своей области определения. Функция возрастает на всей своей области определения, то есть на промежутке $[-1, \infty)$.

Ответ:
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-1, \infty)$.
Промежуток возрастания: $[-1, \infty)$.
Промежутков убывания нет.