Страница 236 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

254. Сравните:

1) $\sqrt{39}$ и $2\sqrt{10}$;

2) $0,3\sqrt{3\frac{1}{3}}$ и $\sqrt{0,4}$;

3) $4$ и $\sqrt[3]{65}$;

4) $3\sqrt[3]{3}$ и $2\sqrt[3]{10}$;

5) $\sqrt[4]{6}$ и $\sqrt[8]{35}$;

6) $\sqrt{5}$ и $\sqrt[3]{12}$;

7) $\sqrt[6]{7}$ и $\sqrt[4]{3}$;

8) $\sqrt[8]{4\sqrt{5}}$ и $\sqrt[4]{3}$;

9) $\sqrt{2\sqrt[5]{3}}$ и $\sqrt[5]{6\sqrt{3}}$.

1) Сравним числа $\sqrt{39}$ и $2\sqrt{10}$.
Чтобы сравнить эти два числа, внесем множитель 2 под знак квадратного корня во втором выражении.
$2\sqrt{10} = \sqrt{2^2 \cdot 10} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{40}$.
Теперь задача сводится к сравнению $\sqrt{39}$ и $\sqrt{40}$.
Так как функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей, то большему значению подкоренного выражения соответствует большее значение корня. Поскольку $39 < 40$, то $\sqrt{39} < \sqrt{40}$.
Следовательно, $\sqrt{39} < 2\sqrt{10}$.
Ответ: $\sqrt{39} < 2\sqrt{10}$.

2) Сравним числа $0,3\sqrt{3\frac{1}{3}}$ и $\sqrt{0,4}$.
Упростим первое выражение. Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.
Теперь внесем множитель 0,3 под знак корня:
$0,3\sqrt{\frac{10}{3}} = \sqrt{(0,3)^2 \cdot \frac{10}{3}} = \sqrt{0,09 \cdot \frac{10}{3}} = \sqrt{\frac{9}{100} \cdot \frac{10}{3}} = \sqrt{\frac{3}{10}} = \sqrt{0,3}$.
Теперь сравним $\sqrt{0,3}$ и $\sqrt{0,4}$.
Поскольку $0,3 < 0,4$, то $\sqrt{0,3} < \sqrt{0,4}$.
Следовательно, $0,3\sqrt{3\frac{1}{3}} < \sqrt{0,4}$.
Ответ: $0,3\sqrt{3\frac{1}{3}} < \sqrt{0,4}$.

3) Сравним числа $4$ и $\sqrt[3]{65}$.
Чтобы сравнить их, представим число 4 в виде кубического корня.
$4 = \sqrt[3]{4^3} = \sqrt[3]{64}$.
Теперь сравним $\sqrt[3]{64}$ и $\sqrt[3]{65}$.
Функция $y=\sqrt[3]{x}$ является возрастающей. Так как $64 < 65$, то $\sqrt[3]{64} < \sqrt[3]{65}$.
Следовательно, $4 < \sqrt[3]{65}$.
Ответ: $4 < \sqrt[3]{65}$.

4) Сравним числа $3\sqrt[3]{3}$ и $2\sqrt[3]{10}$.
Внесем множители под знак кубического корня в обоих выражениях.
$3\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{27 \cdot 3} = \sqrt[3]{81}$.
$2\sqrt[3]{10} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 10} = \sqrt[3]{8 \cdot 10} = \sqrt[3]{80}$.
Теперь сравним $\sqrt[3]{81}$ и $\sqrt[3]{80}$.
Поскольку $81 > 80$, то $\sqrt[3]{81} > \sqrt[3]{80}$.
Следовательно, $3\sqrt[3]{3} > 2\sqrt[3]{10}$.
Ответ: $3\sqrt[3]{3} > 2\sqrt[3]{10}$.

5) Сравним числа $\sqrt[4]{6}$ и $\sqrt[8]{35}$.
Приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное показателей 4 и 8 равно 8.
Первый корень приведем к показателю 8:
$\sqrt[4]{6} = \sqrt[4 \cdot 2]{6^2} = \sqrt[8]{36}$.
Теперь сравним $\sqrt[8]{36}$ и $\sqrt[8]{35}$.
Поскольку $36 > 35$, то $\sqrt[8]{36} > \sqrt[8]{35}$.
Следовательно, $\sqrt[4]{6} > \sqrt[8]{35}$.
Ответ: $\sqrt[4]{6} > \sqrt[8]{35}$.

6) Сравним числа $\sqrt{5}$ и $\sqrt[3]{12}$.
Приведем корни к общему показателю. Показатели корней равны 2 и 3, наименьшее общее кратное для них равно 6.
$\sqrt{5} = \sqrt[2]{5} = \sqrt[2 \cdot 3]{5^3} = \sqrt[6]{125}$.
$\sqrt[3]{12} = \sqrt[3 \cdot 2]{12^2} = \sqrt[6]{144}$.
Теперь сравним $\sqrt[6]{125}$ и $\sqrt[6]{144}$.
Поскольку $125 < 144$, то $\sqrt[6]{125} < \sqrt[6]{144}$.
Следовательно, $\sqrt{5} < \sqrt[3]{12}$.
Ответ: $\sqrt{5} < \sqrt[3]{12}$.

7) Сравним числа $\sqrt[6]{7}$ и $\sqrt[4]{3}$.
Приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное показателей 6 и 4 равно 12.
$\sqrt[6]{7} = \sqrt[6 \cdot 2]{7^2} = \sqrt[12]{49}$.
$\sqrt[4]{3} = \sqrt[4 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[12]{27}$.
Теперь сравним $\sqrt[12]{49}$ и $\sqrt[12]{27}$.
Поскольку $49 > 27$, то $\sqrt[12]{49} > \sqrt[12]{27}$.
Следовательно, $\sqrt[6]{7} > \sqrt[4]{3}$.
Ответ: $\sqrt[6]{7} > \sqrt[4]{3}$.

8) Сравним числа $\sqrt[8]{4\sqrt{5}}$ и $\sqrt[4]{3}$.
Упростим первое выражение, используя свойство корня из корня $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}$.
$\sqrt[8]{4\sqrt{5}} = \sqrt[8]{\sqrt{4^2 \cdot 5}} = \sqrt[8]{\sqrt{16 \cdot 5}} = \sqrt[8]{\sqrt{80}} = \sqrt[16]{80}$.
Приведем второй корень $\sqrt[4]{3}$ к показателю 16:
$\sqrt[4]{3} = \sqrt[4 \cdot 4]{3^4} = \sqrt[16]{81}$.
Теперь сравним $\sqrt[16]{80}$ и $\sqrt[16]{81}$.
Поскольку $80 < 81$, то $\sqrt[16]{80} < \sqrt[16]{81}$.
Следовательно, $\sqrt[8]{4\sqrt{5}} < \sqrt[4]{3}$.
Ответ: $\sqrt[8]{4\sqrt{5}} < \sqrt[4]{3}$.

9) Сравним числа $\sqrt{2\sqrt[5]{3}}$ и $\sqrt[5]{6\sqrt{3}}$.
Упростим оба выражения, приведя их к одному корню с одинаковым показателем.
Для первого числа:
$\sqrt{2\sqrt[5]{3}} = \sqrt{\sqrt[5]{2^5 \cdot 3}} = \sqrt{\sqrt[5]{32 \cdot 3}} = \sqrt{\sqrt[5]{96}} = \sqrt[10]{96}$.
Для второго числа:
$\sqrt[5]{6\sqrt{3}} = \sqrt[5]{\sqrt{6^2 \cdot 3}} = \sqrt[5]{\sqrt{36 \cdot 3}} = \sqrt[5]{\sqrt{108}} = \sqrt[10]{108}$.
Теперь сравним $\sqrt[10]{96}$ и $\sqrt[10]{108}$.
Поскольку $96 < 108$, то $\sqrt[10]{96} < \sqrt[10]{108}$.
Следовательно, $\sqrt{2\sqrt[5]{3}} < \sqrt[5]{6\sqrt{3}}$.
Ответ: $\sqrt{2\sqrt[5]{3}} < \sqrt[5]{6\sqrt{3}}$.

255. Какому из данных промежутков принадлежит число $\sqrt[4]{63}$:

1) $[1; 2];$

2) $[2; 3];$

3) $[3; 4];$

4) $[4; 5]?$

Чтобы определить, какому из данных промежутков принадлежит число $\sqrt[4]{63}$, проверим последовательно каждый из предложенных вариантов. Для этого будем использовать метод оценки: если число $x$ принадлежит промежутку $[a, b]$, то должно выполняться двойное неравенство $a \le x \le b$. В нашем случае $x = \sqrt[4]{63}$. Проверка неравенства $a \le \sqrt[4]{63} \le b$ равносильна проверке неравенства $a^4 \le 63 \le b^4$, так как функция возведения в четвертую степень монотонно возрастает на множестве неотрицательных чисел.

1) [1; 2]

Проверяем, выполняется ли неравенство $1 \le \sqrt[4]{63} \le 2$. Возводим в четвертую степень: $1^4 \le 63 \le 2^4$. Получаем $1 \le 63 \le 16$. Это неравенство неверно, так как $63 > 16$. Следовательно, число $\sqrt[4]{63}$ не принадлежит этому промежутку.

2) [2; 3]

Проверяем, выполняется ли неравенство $2 \le \sqrt[4]{63} \le 3$. Возводим в четвертую степень: $2^4 \le 63 \le 3^4$. Получаем $16 \le 63 \le 81$. Это неравенство верно, так как 63 действительно находится между 16 и 81. Следовательно, число $\sqrt[4]{63}$ принадлежит этому промежутку.

3) [3; 4]

Проверяем, выполняется ли неравенство $3 \le \sqrt[4]{63} \le 4$. Возводим в четвертую степень: $3^4 \le 63 \le 4^4$. Получаем $81 \le 63 \le 256$. Это неравенство неверно, так как $63 < 81$. Следовательно, число $\sqrt[4]{63}$ не принадлежит этому промежутку.

4) [4; 5]

Проверяем, выполняется ли неравенство $4 \le \sqrt[4]{63} \le 5$. Возводим в четвертую степень: $4^4 \le 63 \le 5^4$. Получаем $256 \le 63 \le 625$. Это неравенство неверно, так как $63 < 256$. Следовательно, число $\sqrt[4]{63}$ не принадлежит этому промежутку.

Таким образом, единственным промежутком, которому принадлежит число $\sqrt[4]{63}$, является [2; 3].

Ответ: 2) [2; 3]

256. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(a-1)^2} - \sqrt{a^2}$, если $0 \le a \le 1$;

2) $\sqrt{(a+1)^2} - \sqrt{a^2}$, если $a < -1$.

1) Чтобы упростить выражение $\sqrt{(a-1)^2} - \sqrt{a^2}$ при условии $0 \le a \le 1$, воспользуемся свойством арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$.

Применяя это свойство, получаем:

$\sqrt{(a-1)^2} - \sqrt{a^2} = |a-1| - |a|$

Теперь раскроем модули, учитывая заданное условие $0 \le a \le 1$.

• Рассмотрим выражение под первым модулем: $a-1$. Поскольку $a \le 1$, то разность $a-1$ будет неположительной (то есть $a-1 \le 0$). Следовательно, по определению модуля, $|a-1| = -(a-1) = 1-a$.

• Рассмотрим выражение под вторым модулем: $a$. Поскольку $a \ge 0$, то по определению модуля, $|a| = a$.

Подставим полученные значения в выражение:

$|a-1| - |a| = (1-a) - a = 1 - a - a = 1 - 2a$.

Ответ: $1-2a$.

2) Упростим выражение $\sqrt{(a+1)^2} - \sqrt{a^2}$ при условии $a < -1$.

Так же, как и в первом пункте, используем свойство $\sqrt{x^2} = |x|$:

$\sqrt{(a+1)^2} - \sqrt{a^2} = |a+1| - |a|$

Раскроем модули, исходя из условия $a < -1$.

• Рассмотрим выражение под первым модулем: $a+1$. Если $a < -1$, то $a+1 < 0$. Значит, выражение $a+1$ отрицательно, и $|a+1| = -(a+1) = -a-1$.

• Рассмотрим выражение под вторым модулем: $a$. Если $a < -1$, то $a$ является отрицательным числом. Следовательно, $|a| = -a$.

Подставим раскрытые модули в исходное выражение:

$|a+1| - |a| = (-a-1) - (-a) = -a - 1 + a = -1$.

Ответ: $-1$.

257. Какое из данных неравенств выполняется при всех действительных значениях переменной:

1) $(\sqrt[4]{x})^4 \ge 0;$

2) $\sqrt[4]{x} \ge 0;$

3) $\sqrt[4]{x^4} \ge 0?$

Для того чтобы неравенство выполнялось при всех действительных значениях переменной, необходимо проанализировать область определения и значения каждого выражения. Неравенство должно быть определено и верно для любого действительного числа $x$.

1) $(\sqrt[4]{x})^4 \ge 0$

Выражение $\sqrt[4]{x}$ (арифметический корень четвертой степени) определено только для неотрицательных значений подкоренного выражения. Это значит, что область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ в данном выражении — это $x \ge 0$. Поскольку неравенство должно выполняться для всех действительных значений, а для любых отрицательных $x$ (например, $x = -1$) левая часть неравенства не определена в области действительных чисел, этот вариант не подходит.
Ответ: Неверно.

2) $\sqrt[4]{x} \ge 0$

Аналогично первому случаю, выражение $\sqrt[4]{x}$ определено только при $x \ge 0$. Для отрицательных значений $x$ оно не имеет смысла в множестве действительных чисел. Следовательно, это неравенство не выполняется для всех действительных значений переменной.
Ответ: Неверно.

3) $\sqrt[4]{x^4} \ge 0$

Рассмотрим выражение в левой части. Подкоренное выражение равно $x^4$. Поскольку любое действительное число, возведенное в четную степень (в данном случае в 4-ю), является неотрицательным, то $x^4 \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$. Это означает, что корень $\sqrt[4]{x^4}$ определен для всех действительных значений $x$.
Воспользуемся тождеством $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. Применив его к нашему выражению, получим: $\sqrt[4]{x^4} = |x|$.
Неравенство принимает вид: $|x| \ge 0$.
По определению, модуль (абсолютная величина) любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Таким образом, это неравенство справедливо для всех действительных значений переменной $x$.
Ответ: Верно.

Таким образом, единственное неравенство, которое выполняется при всех действительных значениях переменной, — это неравенство под номером 3.

258. Известно, что $\sqrt{6 + a} + \sqrt{7 - a} = 5.$ Найдите значение выражения $\sqrt{(6 + a)(7 - a)}.$

Для решения этой задачи возведем в квадрат обе части исходного равенства. Это позволит нам связать данное выражение с тем, которое нужно найти.

Исходное равенство:

$\sqrt{6+a} + \sqrt{7-a} = 5$

Возводим обе части в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(\sqrt{6+a} + \sqrt{7-a})^2 = 5^2$

$(\sqrt{6+a})^2 + 2 \cdot \sqrt{6+a} \cdot \sqrt{7-a} + (\sqrt{7-a})^2 = 25$

Упрощаем полученное выражение:

$(6+a) + 2\sqrt{(6+a)(7-a)} + (7-a) = 25$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые в левой части уравнения. Обратите внимание, что переменные $a$ и $-a$ взаимно уничтожаются:

$(6+7) + (a-a) + 2\sqrt{(6+a)(7-a)} = 25$

$13 + 2\sqrt{(6+a)(7-a)} = 25$

Теперь мы можем выразить искомое выражение. Перенесем 13 в правую часть уравнения:

$2\sqrt{(6+a)(7-a)} = 25 - 13$

$2\sqrt{(6+a)(7-a)} = 12$

Разделим обе части на 2, чтобы найти значение выражения $\sqrt{(6+a)(7-a)}$:

$\sqrt{(6+a)(7-a)} = \frac{12}{2}$

$\sqrt{(6+a)(7-a)} = 6$

Ответ: 6

259. Известно, что $\sqrt{24 - a} - \sqrt{10 - a} = 2$. Найдите значение выражения $\sqrt{24 - a} + \sqrt{10 - a}$.

Для решения данной задачи введем переменные, чтобы упростить выражения. Пусть $u = \sqrt{24-a}$ и $v = \sqrt{10-a}$. Заметим, что поскольку корень квадратный является арифметическим, то $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Согласно условию задачи, нам дано равенство:
$u - v = 2$.

Нам необходимо найти значение выражения $\sqrt{24-a} + \sqrt{10-a}$, которое в наших обозначениях представляет собой сумму $u+v$.

Чтобы найти связь между данными выражениями, рассмотрим разность их квадратов:
$u^2 - v^2 = (\sqrt{24-a})^2 - (\sqrt{10-a})^2$
$u^2 - v^2 = (24-a) - (10-a) = 24 - a - 10 + a = 14$.

С другой стороны, воспользуемся формулой разности квадратов: $u^2 - v^2 = (u-v)(u+v)$.

Теперь мы можем объединить полученные результаты. Подставим известные значения в формулу разности квадратов:
$14 = (u-v)(u+v)$
Так как из условия нам известно, что $u-v=2$, получаем:
$14 = 2 \cdot (u+v)$

Из этого уравнения легко выразить искомую сумму $u+v$:
$u+v = \frac{14}{2} = 7$.

Следовательно, значение выражения $\sqrt{24-a} + \sqrt{10-a}$ равно 7.

Ответ: 7

260. Найдите значение выражения:

1) $5^{3,6} \cdot 5^{-1,2} \cdot 5^{1,6}$;

2) $(3^{-0,8})^7 : 3^{-2,6}$;

3) $(7^{-\frac{4}{11}})^{20} \cdot 49^{1,1}$;

4) $81^{-2,25} \cdot 9^{3,5} \cdot 27^{\frac{2}{3}}$;

5) $\left(\frac{7^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{35^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}}}\right)^{-1,5}$;

6) $\left(\frac{25^{\frac{4}{3}} \cdot 216^{\frac{1}{9}}}{5^{-\frac{1}{3}} \cdot 36^{\frac{2}{3}}}\right)^{-1} \cdot \left(\frac{150^{-\frac{5}{4}}}{64^{-\frac{1}{4}} \cdot 5^2}\right)^{-\frac{2}{3}}$.

1) $5^{3,6} \cdot 5^{-1,2} \cdot 5^{1,6}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$5^{3,6} \cdot 5^{-1,2} \cdot 5^{1,6} = 5^{3,6 + (-1,2) + 1,6} = 5^{2,4 + 1,6} = 5^4 = 625$.

Ответ: 625.

2) $(3^{-0,8})^7 : 3^{-2,6}$

Используем свойства степеней: при возведении степени в степень показатели перемножаются $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, а при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$(3^{-0,8})^7 : 3^{-2,6} = 3^{-0,8 \cdot 7} : 3^{-2,6} = 3^{-5,6} : 3^{-2,6} = 3^{-5,6 - (-2,6)} = 3^{-5,6 + 2,6} = 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$.

Ответ: $\frac{1}{27}$.

3) $(7^{-\frac{4}{11}})^{\frac{11}{20}} \cdot 49^{1,1}$

Представим $49$ как степень $7$, то есть $49 = 7^2$. Затем воспользуемся свойствами степеней.

$(7^{-\frac{4}{11}})^{\frac{11}{20}} \cdot (7^2)^{1,1} = 7^{-\frac{4}{11} \cdot \frac{11}{20}} \cdot 7^{2 \cdot 1,1} = 7^{-\frac{4}{20}} \cdot 7^{2,2} = 7^{-\frac{1}{5}} \cdot 7^{2,2}$.

Переведем показатель $-\frac{1}{5}$ в десятичную дробь: $-\frac{1}{5} = -0,2$.

$7^{-0,2} \cdot 7^{2,2} = 7^{-0,2 + 2,2} = 7^2 = 49$.

Ответ: 49.

4) $81^{-2,25} \cdot 9^{3,5} \cdot 27^{\frac{2}{3}}$

Приведем все основания к степени числа 3: $81 = 3^4$, $9 = 3^2$, $27 = 3^3$.

$(3^4)^{-2,25} \cdot (3^2)^{3,5} \cdot (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{4 \cdot (-2,25)} \cdot 3^{2 \cdot 3,5} \cdot 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^{-9} \cdot 3^7 \cdot 3^2$.

Сложим показатели степеней: $3^{-9+7+2} = 3^0 = 1$.

Ответ: 1.

5) $(\frac{7^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{-\frac{1}{3}}}{35^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{4}{3}}})^{-1,5}$

Упростим выражение в скобках. Для этого представим $35$ в виде произведения $7 \cdot 5$.

$\frac{7^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{-\frac{1}{3}}}{35^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{4}{3}}} = \frac{7^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{-\frac{1}{3}}}{(7 \cdot 5)^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{4}{3}}} = \frac{7^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{-\frac{1}{3}}}{7^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{4}{3}}} = \frac{5^{-\frac{1}{3}}}{5^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{4}{3}}} = 5^{-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{3^{-\frac{4}{3}}} = 5^{-\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}}$.

Теперь возведем полученное выражение в степень $-1,5 = -\frac{3}{2}$.

$(5^{-\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}})^{-\frac{3}{2}} = (5^{-\frac{2}{3}})^{-\frac{3}{2}} \cdot (3^{\frac{4}{3}})^{-\frac{3}{2}} = 5^{(-\frac{2}{3}) \cdot (-\frac{3}{2})} \cdot 3^{(\frac{4}{3}) \cdot (-\frac{3}{2})} = 5^1 \cdot 3^{-2} = 5 \cdot \frac{1}{3^2} = \frac{5}{9}$.

Ответ: $\frac{5}{9}$.

6) $(\frac{25^{\frac{4}{3}} \cdot 216^{\frac{1}{9}}}{5^{-\frac{1}{3}} \cdot 36^{\frac{2}{3}}})^{-1} \cdot (\frac{150^{-\frac{5}{4}}}{64^{-\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}})^{-\frac{2}{3}}$

Решим задачу по частям. Сначала упростим первый множитель.

$(\frac{25^{\frac{4}{3}} \cdot 216^{\frac{1}{9}}}{5^{-\frac{1}{3}} \cdot 36^{\frac{2}{3}}})^{-1} = (\frac{(5^2)^{\frac{4}{3}} \cdot (6^3)^{\frac{1}{9}}}{5^{-\frac{1}{3}} \cdot (6^2)^{\frac{2}{3}}})^{-1} = (\frac{5^{\frac{8}{3}} \cdot 6^{\frac{3}{9}}}{5^{-\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{4}{3}}})^{-1} = (\frac{5^{\frac{8}{3}} \cdot 6^{\frac{1}{3}}}{5^{-\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{4}{3}}})^{-1} = (5^{\frac{8}{3} - (-\frac{1}{3})} \cdot 6^{\frac{1}{3} - \frac{4}{3}})^{-1} = (5^{\frac{9}{3}} \cdot 6^{-\frac{3}{3}})^{-1} = (5^3 \cdot 6^{-1})^{-1} = 5^{-3} \cdot 6^1 = \frac{6}{125}$.

Теперь упростим второй множитель, представив основания степеней в виде произведений простых чисел: $150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$ и $64 = 2^6$.

$(\frac{150^{-\frac{5}{4}}}{64^{-\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}})^{-\frac{2}{3}} = (\frac{(2 \cdot 3 \cdot 5^2)^{-\frac{5}{4}}}{(2^6)^{-\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}})^{-\frac{2}{3}} = (\frac{2^{-\frac{5}{4}} \cdot 3^{-\frac{5}{4}} \cdot 5^{-2 \cdot \frac{5}{4}}}{2^{-6 \cdot \frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}})^{-\frac{2}{3}} = (\frac{2^{-\frac{5}{4}} \cdot 3^{-\frac{5}{4}} \cdot 5^{-\frac{5}{2}}}{2^{-\frac{3}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}})^{-\frac{2}{3}}$

$= (2^{-\frac{5}{4} - (-\frac{3}{2})} \cdot 3^{-\frac{5}{4}} \cdot 5^{-\frac{5}{2} - \frac{1}{2}})^{-\frac{2}{3}} = (2^{-\frac{5}{4} + \frac{6}{4}} \cdot 3^{-\frac{5}{4}} \cdot 5^{-3})^{-\frac{2}{3}} = (2^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{-\frac{5}{4}} \cdot 5^{-3})^{-\frac{2}{3}}$

$= 2^{\frac{1}{4} \cdot (-\frac{2}{3})} \cdot 3^{-\frac{5}{4} \cdot (-\frac{2}{3})} \cdot 5^{-3 \cdot (-\frac{2}{3})} = 2^{-\frac{1}{6}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} \cdot 5^2$.

Наконец, перемножим результаты упрощения обоих множителей.

$\frac{6}{125} \cdot (2^{-\frac{1}{6}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} \cdot 5^2) = (2 \cdot 3 \cdot 5^{-3}) \cdot (2^{-\frac{1}{6}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} \cdot 5^2) = 2^{1-\frac{1}{6}} \cdot 3^{1+\frac{5}{6}} \cdot 5^{-3+2}$

$= 2^{\frac{5}{6}} \cdot 3^{\frac{11}{6}} \cdot 5^{-1} = \frac{1}{5} \cdot 2^{\frac{5}{6}} \cdot 3^{1+\frac{5}{6}} = \frac{1}{5} \cdot 2^{\frac{5}{6}} \cdot 3^1 \cdot 3^{\frac{5}{6}} = \frac{3}{5} \cdot (2^{\frac{5}{6}} \cdot 3^{\frac{5}{6}}) = \frac{3}{5} \cdot (2 \cdot 3)^{\frac{5}{6}} = \frac{3}{5} \cdot 6^{\frac{5}{6}}$.

Ответ: $\frac{3}{5} \cdot 6^{\frac{5}{6}}$.

261. Сократите дробь:

1) $ \frac{x - 8x^{\frac{3}{7}}}{x^{\frac{4}{7}} - 8}; $

2) $ \frac{5y^{\frac{2}{3}}}{y^{\frac{5}{6}} + y^{\frac{2}{3}}}; $

3) $ \frac{a^{0.5} + b^{0.5}}{a - b}; $

4) $ \frac{m^{1.5} - n^{1.5}}{m + m^{0.5}n^{0.5} + n}; $

5) $ \frac{a - 2a^{0.5}b^{0.5} + b}{ab^{0.5} - a^{0.5}b}; $

6) $ \frac{8a + 1}{4a^{\frac{2}{3}} - 1}; $

7) $ \frac{x^{\frac{5}{8}} + 6x^{\frac{1}{4}}}{x - 36x^{\frac{1}{4}}}; $

8) $ \frac{26^{\frac{1}{5}} + 2^{\frac{1}{5}}}{52^{\frac{1}{5}} + 4^{\frac{1}{5}}}. $

1) Чтобы сократить дробь, вынесем общий множитель за скобки в числителе. Так как $x = x^1 = x^{\frac{7}{7}}$, то общий множитель в числителе $x - 8x^{\frac{3}{7}}$ это $x^{\frac{3}{7}}$.
$x - 8x^{\frac{3}{7}} = x^{\frac{3}{7}}(x^{\frac{7}{7}-\frac{3}{7}} - 8) = x^{\frac{3}{7}}(x^{\frac{4}{7}} - 8)$.
Подставим преобразованный числитель в исходную дробь:
$\frac{x - 8x^{\frac{3}{7}}}{x^{\frac{4}{7}} - 8} = \frac{x^{\frac{3}{7}}(x^{\frac{4}{7}} - 8)}{x^{\frac{4}{7}} - 8}$.
Теперь можно сократить дробь на общий множитель $(x^{\frac{4}{7}} - 8)$.
Получаем: $x^{\frac{3}{7}}$.
Ответ: $x^{\frac{3}{7}}$.

2) Для сокращения дроби вынесем общий множитель за скобки в знаменателе. Сравним степени: $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$. Так как $\frac{4}{6} < \frac{5}{6}$, общим множителем будет $y^{\frac{2}{3}}$.
$y^{\frac{5}{6}} + y^{\frac{2}{3}} = y^{\frac{2}{3}}(y^{\frac{5}{6}-\frac{2}{3}} + 1) = y^{\frac{2}{3}}(y^{\frac{5}{6}-\frac{4}{6}} + 1) = y^{\frac{2}{3}}(y^{\frac{1}{6}} + 1)$.
Подставим преобразованный знаменатель в дробь:
$\frac{5y^{\frac{2}{3}}}{y^{\frac{5}{6}} + y^{\frac{2}{3}}} = \frac{5y^{\frac{2}{3}}}{y^{\frac{2}{3}}(y^{\frac{1}{6}} + 1)}$.
Сократим дробь на $y^{\frac{2}{3}}$.
Получаем: $\frac{5}{y^{\frac{1}{6}} + 1}$.
Ответ: $\frac{5}{y^{\frac{1}{6}} + 1}$.

3) Знаменатель $a - b$ можно представить как разность квадратов, используя свойство $x = (x^{0.5})^2$.
$a - b = (a^{0.5})^2 - (b^{0.5})^2$.
Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$a - b = (a^{0.5} - b^{0.5})(a^{0.5} + b^{0.5})$.
Подставим это выражение в знаменатель дроби:
$\frac{a^{0.5} + b^{0.5}}{a - b} = \frac{a^{0.5} + b^{0.5}}{(a^{0.5} - b^{0.5})(a^{0.5} + b^{0.5})}$.
Сократим дробь на $(a^{0.5} + b^{0.5})$.
Получаем: $\frac{1}{a^{0.5} - b^{0.5}}$.
Ответ: $\frac{1}{a^{0.5} - b^{0.5}}$.

4) Числитель $m^{1.5} - n^{1.5}$ можно представить как разность кубов, так как $m^{1.5} = (m^{0.5})^3$ и $n^{1.5} = (n^{0.5})^3$.
Применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$:
$m^{1.5} - n^{1.5} = (m^{0.5} - n^{0.5})((m^{0.5})^2 + m^{0.5}n^{0.5} + (n^{0.5})^2) = (m^{0.5} - n^{0.5})(m + m^{0.5}n^{0.5} + n)$.
Подставим полученное выражение в числитель дроби:
$\frac{m^{1.5} - n^{1.5}}{m + m^{0.5}n^{0.5} + n} = \frac{(m^{0.5} - n^{0.5})(m + m^{0.5}n^{0.5} + n)}{m + m^{0.5}n^{0.5} + n}$.
Сократим дробь на $(m + m^{0.5}n^{0.5} + n)$.
Получаем: $m^{0.5} - n^{0.5}$.
Ответ: $m^{0.5} - n^{0.5}$.

5) Преобразуем числитель и знаменатель дроби.
Числитель $a - 2a^{0.5}b^{0.5} + b$ является полным квадратом разности. По формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$a - 2a^{0.5}b^{0.5} + b = (a^{0.5})^2 - 2a^{0.5}b^{0.5} + (b^{0.5})^2 = (a^{0.5} - b^{0.5})^2$.
В знаменателе $ab^{0.5} - a^{0.5}b$ вынесем общий множитель $a^{0.5}b^{0.5}$ за скобки:
$ab^{0.5} - a^{0.5}b = a^{0.5}a^{0.5}b^{0.5} - a^{0.5}b^{0.5}b^{0.5} = a^{0.5}b^{0.5}(a^{0.5} - b^{0.5})$.
Подставим преобразованные выражения в дробь:
$\frac{(a^{0.5} - b^{0.5})^2}{a^{0.5}b^{0.5}(a^{0.5} - b^{0.5})}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a^{0.5} - b^{0.5})$.
Получаем: $\frac{a^{0.5} - b^{0.5}}{a^{0.5}b^{0.5}}$.
Ответ: $\frac{a^{0.5} - b^{0.5}}{a^{0.5}b^{0.5}}$.

6) Представим числитель как сумму кубов, а знаменатель как разность квадратов.
Числитель: $8a + 1 = (2a^{\frac{1}{3}})^3 + 1^3$. По формуле суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$:
$(2a^{\frac{1}{3}})^3 + 1^3 = (2a^{\frac{1}{3}} + 1)(4a^{\frac{2}{3}} - 2a^{\frac{1}{3}} + 1)$.
Знаменатель: $4a^{\frac{2}{3}} - 1 = (2a^{\frac{1}{3}})^2 - 1^2$. По формуле разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:
$(2a^{\frac{1}{3}})^2 - 1^2 = (2a^{\frac{1}{3}} - 1)(2a^{\frac{1}{3}} + 1)$.
Подставим выражения в дробь:
$\frac{(2a^{\frac{1}{3}} + 1)(4a^{\frac{2}{3}} - 2a^{\frac{1}{3}} + 1)}{(2a^{\frac{1}{3}} - 1)(2a^{\frac{1}{3}} + 1)}$.
Сократим на общий множитель $(2a^{\frac{1}{3}} + 1)$.
Получаем: $\frac{4a^{\frac{2}{3}} - 2a^{\frac{1}{3}} + 1}{2a^{\frac{1}{3}} - 1}$.
Ответ: $\frac{4a^{\frac{2}{3}} - 2a^{\frac{1}{3}} + 1}{2a^{\frac{1}{3}} - 1}$.

7) Сначала вынесем общие множители в числителе и знаменателе.
В числителе $x^{\frac{5}{8}} + 6x^{\frac{1}{4}}$ вынесем за скобки $x^{\frac{1}{4}}$:
$x^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{5}{8} - \frac{1}{4}} + 6) = x^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{3}{8}} + 6)$.
В знаменателе $x - 36x^{\frac{1}{4}}$ вынесем за скобки $x^{\frac{1}{4}}$:
$x^{\frac{1}{4}}(x^{1 - \frac{1}{4}} - 36) = x^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{3}{4}} - 36)$.
Дробь примет вид: $\frac{x^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{3}{8}} + 6)}{x^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{3}{4}} - 36)} = \frac{x^{\frac{3}{8}} + 6}{x^{\frac{3}{4}} - 36}$.
Теперь разложим знаменатель $x^{\frac{3}{4}} - 36$ по формуле разности квадратов, заметив, что $x^{\frac{3}{4}} = (x^{\frac{3}{8}})^2$ и $36=6^2$:
$x^{\frac{3}{4}} - 36 = (x^{\frac{3}{8}} - 6)(x^{\frac{3}{8}} + 6)$.
Подставим в дробь: $\frac{x^{\frac{3}{8}} + 6}{(x^{\frac{3}{8}} - 6)(x^{\frac{3}{8}} + 6)}$.
Сократим на $(x^{\frac{3}{8}} + 6)$.
Получаем: $\frac{1}{x^{\frac{3}{8}} - 6}$.
Ответ: $\frac{1}{x^{\frac{3}{8}} - 6}$.

8) Разложим числа на множители и вынесем общие множители за скобки.
Числитель: $26^{\frac{1}{5}} + 2^{\frac{1}{5}} = (13 \cdot 2)^{\frac{1}{5}} + 2^{\frac{1}{5}} = 13^{\frac{1}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{5}} + 2^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{1}{5}}(13^{\frac{1}{5}} + 1)$.
Знаменатель: $52^{\frac{1}{5}} + 4^{\frac{1}{5}} = (13 \cdot 4)^{\frac{1}{5}} + 4^{\frac{1}{5}} = 13^{\frac{1}{5}} \cdot 4^{\frac{1}{5}} + 4^{\frac{1}{5}} = 4^{\frac{1}{5}}(13^{\frac{1}{5}} + 1)$.
Подставим в дробь:
$\frac{2^{\frac{1}{5}}(13^{\frac{1}{5}} + 1)}{4^{\frac{1}{5}}(13^{\frac{1}{5}} + 1)}$.
Сократим на $(13^{\frac{1}{5}} + 1)$:
$\frac{2^{\frac{1}{5}}}{4^{\frac{1}{5}}} = \frac{2^{\frac{1}{5}}}{(2^2)^{\frac{1}{5}}} = \frac{2^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}} = 2^{\frac{1}{5} - \frac{2}{5}} = 2^{-\frac{1}{5}} = \frac{1}{2^{\frac{1}{5}}}$.
Ответ: $\frac{1}{2^{\frac{1}{5}}}$.