Номер 256, страница 236 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Степени и корни. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 256, страница 236.

256. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(a-1)^2} - \sqrt{a^2}$, если $0 \le a \le 1$;

2) $\sqrt{(a+1)^2} - \sqrt{a^2}$, если $a < -1$.

1) Чтобы упростить выражение $\sqrt{(a-1)^2} - \sqrt{a^2}$ при условии $0 \le a \le 1$, воспользуемся свойством арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$.

Применяя это свойство, получаем:

$\sqrt{(a-1)^2} - \sqrt{a^2} = |a-1| - |a|$

Теперь раскроем модули, учитывая заданное условие $0 \le a \le 1$.

• Рассмотрим выражение под первым модулем: $a-1$. Поскольку $a \le 1$, то разность $a-1$ будет неположительной (то есть $a-1 \le 0$). Следовательно, по определению модуля, $|a-1| = -(a-1) = 1-a$.

• Рассмотрим выражение под вторым модулем: $a$. Поскольку $a \ge 0$, то по определению модуля, $|a| = a$.

Подставим полученные значения в выражение:

$|a-1| - |a| = (1-a) - a = 1 - a - a = 1 - 2a$.

Ответ: $1-2a$.

2) Упростим выражение $\sqrt{(a+1)^2} - \sqrt{a^2}$ при условии $a < -1$.

Так же, как и в первом пункте, используем свойство $\sqrt{x^2} = |x|$:

$\sqrt{(a+1)^2} - \sqrt{a^2} = |a+1| - |a|$

Раскроем модули, исходя из условия $a < -1$.

• Рассмотрим выражение под первым модулем: $a+1$. Если $a < -1$, то $a+1 < 0$. Значит, выражение $a+1$ отрицательно, и $|a+1| = -(a+1) = -a-1$.

• Рассмотрим выражение под вторым модулем: $a$. Если $a < -1$, то $a$ является отрицательным числом. Следовательно, $|a| = -a$.

Подставим раскрытые модули в исходное выражение:

$|a+1| - |a| = (-a-1) - (-a) = -a - 1 + a = -1$.

Ответ: $-1$.