Номер 262, страница 237 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Иррациональные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 262, страница 237.

Рис. 5

262. На рисунке 5 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-6; 4]$. Какому из данных промежутков принадлежит корень уравнения $\sqrt{f(x)} = 2: $

1) $[2; 4]$

2) $[0; 2]$

3) $[-2; 0]$

4) $[-4; -2]$

5) $[-6; -4]$?

262.

Требуется найти, какому из предложенных промежутков принадлежит корень уравнения $\sqrt{f(x)} = 2$.

Для решения уравнения возведем обе его части в квадрат. Необходимо учесть, что выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть $f(x) \ge 0$.

$(\sqrt{f(x)})^2 = 2^2$

$f(x) = 4$

Условие $f(x) \ge 0$ выполняется, так как $4 > 0$.

Теперь задача сводится к нахождению значения $x$, при котором значение функции $f(x)$ равно 4. На графике это соответствует нахождению абсциссы точки, ордината которой равна 4.

Проведем на графике горизонтальную прямую $y = 4$. Из рисунка видно, что эта прямая пересекает график функции $y = f(x)$ в одной точке. Абсцисса этой точки пересечения находится на оси $x$ в промежутке между $-4$ и $-2$.

Таким образом, корень уравнения принадлежит промежутку $[-4; -2]$, что соответствует четвертому варианту ответа.

Ответ: 4.

263. 1)

Требуется найти количество корней уравнения $\sqrt{x-2} \cdot \sqrt{x+3} \cdot \sqrt{x-3} = 0$.

Произведение нескольких множителей равно нулю в том и только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом определены.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Для этого все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x-2 \ge 0 \\ x+3 \ge 0 \\ x-3 \ge 0 \end{cases}$

Решая систему неравенств, получаем:

$\begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge -3 \\ x \ge 3 \end{cases}$

Общим решением системы является $x \ge 3$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [3; +\infty)$.

Теперь рассмотрим случаи, когда каждый из множителей равен нулю:

1. $\sqrt{x-2} = 0 \Rightarrow x-2=0 \Rightarrow x=2$. Этот корень не принадлежит ОДЗ, так как $2 < 3$.

2. $\sqrt{x+3} = 0 \Rightarrow x+3=0 \Rightarrow x=-3$. Этот корень не принадлежит ОДЗ, так как $-3 < 3$.

3. $\sqrt{x-3} = 0 \Rightarrow x-3=0 \Rightarrow x=3$. Этот корень принадлежит ОДЗ, так как $3 \ge 3$.

Таким образом, уравнение имеет только один действительный корень.

Ответ: 1.