Номер 264, страница 237 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Иррациональные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 264, страница 237.

264. Найдите произведение корней уравнения

$(x^2 - 7x + 10) \cdot |3 - x| \cdot \sqrt{4 - x} = 0.$

Для решения уравнения $(x^2 - 7x + 10) \cdot |3 - x| \cdot \sqrt{4 - x} = 0$ в первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ).

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$4 - x \ge 0$
$x \le 4$

Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \in (-\infty, 4]$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом существуют (то есть значение $x$ входит в ОДЗ). Рассмотрим каждый случай.

1. Первый множитель равен нулю:

$x^2 - 7x + 10 = 0$
Решим это квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна $7$, а их произведение равно $10$. Следовательно, корни уравнения:
$x_1 = 2$
$x_2 = 5$
Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ ($x \le 4$):
- $x_1 = 2$ удовлетворяет условию ($2 \le 4$), значит, это корень исходного уравнения.
- $x_2 = 5$ не удовлетворяет условию ($5 \not\le 4$), значит, это посторонний корень.

2. Второй множитель равен нулю:

$|3 - x| = 0$
Модуль выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само выражение равно нулю:
$3 - x = 0$
$x_3 = 3$
Проверим корень на соответствие ОДЗ ($x \le 4$):
- $x_3 = 3$ удовлетворяет условию ($3 \le 4$), значит, это корень исходного уравнения.

3. Третий множитель равен нулю:

$\sqrt{4 - x} = 0$
Квадратный корень равен нулю тогда и только тогда, когда подкоренное выражение равно нулю:
$4 - x = 0$
$x_4 = 4$
Проверим корень на соответствие ОДЗ ($x \le 4$):
- $x_4 = 4$ удовлетворяет условию ($4 \le 4$), значит, это корень исходного уравнения.

Таким образом, уравнение имеет три корня: $2$, $3$ и $4$.

Найдем произведение этих корней:
$2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$

Ответ: 24