Номер 268, страница 237 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Иррациональные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 268, страница 237.

268. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x} - 3\sqrt[4]{x} + 2 = 0;$

2) $2\sqrt[3]{x} + 5\sqrt[6]{x} - 3 = 0;$

3) $\sqrt[3]{4 - 4x + x^2} - \sqrt[3]{2 - x} - 2 = 0;$

4) $x^2 - 16x - \sqrt{x^2 - 16x + 8} = 12;$

5) $\sqrt{\frac{3x}{x - 1}} - 2\sqrt{\frac{x - 1}{3x}} = 1;$

6) $\sqrt{3x^2 - 6x + 7} = 7 + 2x - x^2.$

1) Дано уравнение $\sqrt{x} - 3\sqrt[4]{x} + 2 = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется наличием корней четной степени: $x \geq 0$.
Это уравнение можно свести к квадратному с помощью замены переменной. Пусть $t = \sqrt[4]{x}$. Тогда $t^2 = (\sqrt[4]{x})^2 = \sqrt{x}$. Так как $\sqrt[4]{x}$ по определению неотрицателен, то $t \geq 0$.
Подставим новую переменную в исходное уравнение:
$t^2 - 3t + 2 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Следовательно, корни уравнения:
$t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.
Оба корня удовлетворяют условию $t \geq 0$.
Теперь выполним обратную замену:
1. Для $t_1 = 1$:
$\sqrt[4]{x} = 1$
Возведем обе части в четвертую степень:
$x = 1^4$
$x_1 = 1$
2. Для $t_2 = 2$:
$\sqrt[4]{x} = 2$
Возведем обе части в четвертую степень:
$x = 2^4$
$x_2 = 16$
Оба найденных значения, $1$ и $16$, удовлетворяют ОДЗ ($x \geq 0$).
Ответ: $1; 16$.

2) Дано уравнение $2\sqrt[3]{x} + 5\sqrt[6]{x} - 3 = 0$.
ОДЗ: из-за наличия корня шестой степени, $x \geq 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[6]{x}$. Тогда $t^2 = (\sqrt[6]{x})^2 = \sqrt[3]{x}$. Условие для новой переменной: $t \geq 0$.
Подставим $t$ в уравнение:
$2t^2 + 5t - 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$.
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Корень $t_1 = -3$ не удовлетворяет условию $t \geq 0$, поэтому является посторонним.
Рассмотрим единственный подходящий корень $t_2 = \frac{1}{2}$.
Выполним обратную замену:
$\sqrt[6]{x} = \frac{1}{2}$
Возведем обе части в шестую степень:
$x = (\frac{1}{2})^6$
$x = \frac{1}{64}$
Найденный корень $x = \frac{1}{64}$ удовлетворяет ОДЗ ($x \geq 0$).
Ответ: $\frac{1}{64}$.

3) Дано уравнение $\sqrt[3]{4 - 4x + x^2} - \sqrt[3]{2 - x} - 2 = 0$.
ОДЗ для кубических корней — все действительные числа, поэтому ограничений на $x$ нет.
Заметим, что выражение под первым корнем является полным квадратом: $4 - 4x + x^2 = (2-x)^2$.
Уравнение принимает вид: $\sqrt[3]{(2-x)^2} - \sqrt[3]{2 - x} - 2 = 0$.
Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt[3]{2 - x}$. Тогда $t^2 = (\sqrt[3]{2 - x})^2 = \sqrt[3]{(2-x)^2}$.
Подставим $t$ в уравнение:
$t^2 - t - 2 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.
Выполним обратную замену для каждого корня:
1. Для $t_1 = 2$:
$\sqrt[3]{2 - x} = 2$
$2 - x = 2^3 = 8$
$x = 2 - 8$
$x_1 = -6$
2. Для $t_2 = -1$:
$\sqrt[3]{2 - x} = -1$
$2 - x = (-1)^3 = -1$
$x = 2 - (-1) = 3$
$x_2 = 3$
Ответ: $-6; 3$.

4) Дано уравнение $x^2 - 16x - \sqrt{x^2 - 16x + 8} = 12$.
ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - 16x + 8 \geq 0$.
Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{x^2 - 16x + 8}$. Тогда $t \geq 0$.
Из замены следует, что $t^2 = x^2 - 16x + 8$, откуда $x^2 - 16x = t^2 - 8$.
Подставим в исходное уравнение:
$(t^2 - 8) - t = 12$
$t^2 - t - 20 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения: $t_1 = 5$ и $t_2 = -4$.
Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $t \geq 0$, поэтому он посторонний.
Остается единственный корень $t = 5$.
Выполним обратную замену:
$\sqrt{x^2 - 16x + 8} = 5$
Возведем обе части в квадрат:
$x^2 - 16x + 8 = 25$
$x^2 - 16x - 17 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения: $x_1 = 17$ и $x_2 = -1$.
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x^2 - 16x + 8 \geq 0$):
- Для $x = 17$: $17^2 - 16 \cdot 17 + 8 = 289 - 272 + 8 = 25 \geq 0$. Корень подходит.
- Для $x = -1$: $(-1)^2 - 16 \cdot (-1) + 8 = 1 + 16 + 8 = 25 \geq 0$. Корень подходит.
Ответ: $-1; 17$.

5) Дано уравнение $\sqrt{\frac{3x}{x-1}} - 2\sqrt{\frac{x-1}{3x}} = 1$.
ОДЗ: выражения под корнями должны быть неотрицательны, а знаменатели не должны быть равны нулю. Оба условия сводятся к одному неравенству: $\frac{3x}{x-1} > 0$.
Решая это неравенство методом интервалов, находим ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.
Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{\frac{3x}{x-1}}$. Тогда $\sqrt{\frac{x-1}{3x}} = \frac{1}{t}$. Так как $t$ - это квадратный корень, $t > 0$.
Уравнение принимает вид:
$t - \frac{2}{t} = 1$
Так как $t \neq 0$, умножим обе части уравнения на $t$:
$t^2 - 2 = t$
$t^2 - t - 2 = 0$
Корни этого уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.
Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$.
Остается $t = 2$.
Выполним обратную замену:
$\sqrt{\frac{3x}{x-1}} = 2$
Возведем обе части в квадрат:
$\frac{3x}{x-1} = 4$
$3x = 4(x-1)$
$3x = 4x - 4$
$x = 4$
Найденный корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ, так как $4 \in (1, +\infty)$.
Ответ: $4$.

6) Дано уравнение $\sqrt{3x^2 - 6x + 7} = 7 + 2x - x^2$.
Уравнение имеет вид $\sqrt{f(x)} = g(x)$. Оно равносильно системе: $\begin{cases} f(x) = (g(x))^2 \\ g(x) \geq 0 \end{cases}$.
Применим это к нашему уравнению:
$\begin{cases} 3x^2 - 6x + 7 = (7 + 2x - x^2)^2 \\ 7 + 2x - x^2 \geq 0 \end{cases}$
Рассмотрим правую часть уравнения. Преобразуем ее: $7 + 2x - x^2 = -(x^2 - 2x - 7)$.
Выражение под корнем также можно преобразовать: $3x^2 - 6x + 7 = 3(x^2 - 2x) + 7$.
Сделаем замену $y = x^2 - 2x$. Уравнение примет вид:
$\sqrt{3y + 7} = 7 - y$
Это уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} 3y + 7 = (7-y)^2 \\ 7-y \geq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} 3y + 7 = 49 - 14y + y^2 \\ y \leq 7 \end{cases}$
Решим первое уравнение системы:
$y^2 - 17y + 42 = 0$
По теореме Виета, корни $y_1 = 3$ и $y_2 = 14$.
Проверим выполнение условия $y \leq 7$:
- $y_1 = 3$ удовлетворяет условию ($3 \leq 7$).
- $y_2 = 14$ не удовлетворяет условию ($14 > 7$), это посторонний корень.
Единственное решение для $y$ - это $y = 3$.
Выполним обратную замену:
$x^2 - 2x = 3$
$x^2 - 2x - 3 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Проверка исходного условия $7 + 2x - x^2 \geq 0$ для найденных корней:
- Для $x = 3$: $7 + 2(3) - 3^2 = 7 + 6 - 9 = 4 \geq 0$. Корень подходит.
- Для $x = -1$: $7 + 2(-1) - (-1)^2 = 7 - 2 - 1 = 4 \geq 0$. Корень подходит.
Ответ: $-1; 3$.