Номер 275, страница 239 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Функции и их свойства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 275, страница 239.

275. Постройте график данной функции и, пользуясь им, укажите промежутки знакопостоянства функции, её промежутки возрастания и промежутки убывания:

1) $f(x) = \begin{cases} \frac{12}{x}, & \text{если } x \le -3 \\ \frac{4}{3}x, & \text{если } -3 < x < 3 \\ \frac{12}{x}, & \text{если } x \ge 3 \end{cases}$2) $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & \text{если } x \le -1 \\ 2 - x, & \text{если } -1 < x < 1 \\ -\sqrt{x}, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

1)

Данная функция является кусочно-заданной: $f(x) = \begin{cases} \frac{12}{x}, & \text{если } x \le -3 \\ \frac{4}{3}x, & \text{если } -3 < x < 3 \\ \frac{12}{x}, & \text{если } x \ge 3 \end{cases}$

Построение графика:
1. На промежутках $(-\infty; -3]$ и $[3; +\infty)$ график функции представляет собой ветви гиперболы $y = \frac{12}{x}$.
- Вычислим значения в граничных точках:
$f(-3) = \frac{12}{-3} = -4$. Точка $(-3; -4)$ принадлежит графику.
$f(3) = \frac{12}{3} = 4$. Точка $(3; 4)$ принадлежит графику.
- Для построения возьмем дополнительные точки:
$f(-6) = \frac{12}{-6} = -2$, точка $(-6; -2)$.
$f(6) = \frac{12}{6} = 2$, точка $(6; 2)$.
2. На интервале $(-3; 3)$ график функции совпадает с графиком прямой $y = \frac{4}{3}x$.
- Эта прямая проходит через начало координат $(0; 0)$.
- Найдем предельные значения на концах интервала:
При $x \to -3^+$, $y \to \frac{4}{3}(-3) = -4$.
При $x \to 3^-$, $y \to \frac{4}{3}(3) = 4$.
Поскольку значения в точках $x=-3$ и $x=3$ совпадают с предельными значениями, функция является непрерывной. График представляет собой отрезок, соединяющий точки $(-3; -4)$ и $(3; 4)$.

Анализ графика:
Промежутки знакопостоянства:
- Функция положительна ($f(x) > 0$), когда её график находится выше оси Ox. Из графика видно, что это происходит при $x > 0$.
- Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда её график находится ниже оси Ox. Это происходит при $x < 0$.
- Функция равна нулю при $x = 0$.
Промежутки возрастания и убывания:
- Функция возрастает на промежутке, где её график идет вверх (слева направо). Это происходит на отрезке $[-3; 3]$.
- Функция убывает на промежутках, где её график идет вниз. Это происходит на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[3; +\infty)$.

Ответ:
Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
Промежуток возрастания: $[-3; 3]$.
Промежутки убывания: $(-\infty; -3]$ и $[3; +\infty)$.

---

2)

Данная функция является кусочно-заданной: $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & \text{если } x \le -1 \\ 2 - x, & \text{если } -1 < x < 1 \\ -\sqrt{x}, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

Построение графика:
1. При $x \le -1$ график функции совпадает с графиком прямой $y = 2x + 1$.
- В граничной точке $x=-1$, $f(-1) = 2(-1) + 1 = -1$. Точка $(-1; -1)$ закрашена.
- Возьмем еще одну точку: $f(-2) = 2(-2) + 1 = -3$. Точка $(-2; -3)$.
График — луч, выходящий из точки $(-1; -1)$.
2. При $-1 < x < 1$ график функции совпадает с графиком прямой $y = 2 - x$.
- Найдем значения на концах интервала (точки будут выколоты):
При $x \to -1^+$, $y \to 2 - (-1) = 3$. Точка $(-1; 3)$ выколота.
При $x \to 1^-$, $y \to 2 - 1 = 1$. Точка $(1; 1)$ выколота.
График — отрезок, соединяющий точки $(-1; 3)$ и $(1; 1)$ без концов.
3. При $x \ge 1$ график функции совпадает с графиком $y = -\sqrt{x}$.
- В граничной точке $x=1$, $f(1) = -\sqrt{1} = -1$. Точка $(1; -1)$ закрашена.
- Возьмем еще одну точку: $f(4) = -\sqrt{4} = -2$. Точка $(4; -2)$.
График — часть кривой, выходящей из точки $(1; -1)$.
В точках $x=-1$ и $x=1$ функция имеет разрывы.

Анализ графика:
Промежутки знакопостоянства:
- Функция положительна ($f(x) > 0$), когда её график находится выше оси Ox. Это происходит на интервале $(-1; 1)$, где $y = 2 - x$.
- Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда её график находится ниже оси Ox. Это происходит на двух промежутках: $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$.
Промежутки возрастания и убывания:
- Функция возрастает на промежутке $(-\infty; -1]$, так как угловой коэффициент прямой $y=2x+1$ положителен ($k=2$).
- Функция убывает на интервале $(-1; 1)$, так как угловой коэффициент прямой $y=2-x$ отрицателен ($k=-1$), а также на промежутке $[1; +\infty)$, где график функции $y = -\sqrt{x}$ идет вниз.

Ответ:
Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (-1; 1)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.
Промежуток возрастания: $(-\infty; -1]$.
Промежутки убывания: $(-1; 1)$ и $[1; +\infty)$.