Номер 278, страница 239 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Функции и их свойства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 278, страница 239.

278. Является ли чётной либо нечётной функция:

1) $f(x) = 6x^3 - 7x^5;$

2) $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 1};$

3) $f(x) = \sqrt{6 - x^2};$

4) $f(x) = x^2 + x - 3;$

5) $f(x) = \frac{1}{x^3 - 2x};$

6) $f(x) = (x + 5)(x - 1) - 4x;$

7) $f(x) = (x - 6)^2 - (x + 6)^2;$

8) $f(x) = \frac{x^3 - 2x^2}{x^3 - 4x}?$

Для определения, является ли функция чётной, нечётной или ни той, ни другой, необходимо проверить её область определения на симметричность относительно нуля и вычислить значение $f(-x)$.

• Функция $f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
• Функция $f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

1) $f(x) = 6x^3 - 7x^5$

Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа, $(-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = 6(-x)^3 - 7(-x)^5 = 6(-x^3) - 7(-x^5) = -6x^3 + 7x^5$.

Сравним результат с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(-x) = -6x^3 + 7x^5 = -(6x^3 - 7x^5) = -f(x)$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

2) $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 1}$

Область определения функции задаётся условием $x^2 - 1 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 1$. $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{(-x)^2 + 4}{(-x)^2 - 1} = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 1}$.

Сравним результат с $f(x)$:

$f(-x) = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

3) $f(x) = \sqrt{6 - x^2}$

Область определения функции задаётся условием $6 - x^2 \ge 0$, то есть $x^2 \le 6$, что равносильно $-\sqrt{6} \le x \le \sqrt{6}$. $D(f) = [-\sqrt{6}; \sqrt{6}]$. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \sqrt{6 - (-x)^2} = \sqrt{6 - x^2}$.

Сравним результат с $f(x)$:

$f(-x) = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

4) $f(x) = x^2 + x - 3$

Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа, $(-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^2 + (-x) - 3 = x^2 - x - 3$.

Сравним результат с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(-x) = x^2 - x - 3 \neq f(x) = x^2 + x - 3$.

$-f(x) = -(x^2 + x - 3) = -x^2 - x + 3$.

$f(-x) = x^2 - x - 3 \neq -f(x)$.

Поскольку ни одно из условий чётности/нечётности не выполняется, функция является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.

5) $f(x) = \frac{1}{x^3 - 2x}$

Область определения функции задаётся условием $x^3 - 2x \neq 0$, то есть $x(x^2 - 2) \neq 0$, откуда $x \neq 0$ и $x \neq \pm\sqrt{2}$. Область определения симметрична относительно нуля.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{1}{(-x)^3 - 2(-x)} = \frac{1}{-x^3 + 2x} = \frac{1}{-(x^3 - 2x)} = -\frac{1}{x^3 - 2x}$.

Сравним результат с $-f(x)$:

$f(-x) = -f(x)$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

6) $f(x) = (x+5)(x-1) - 4x$

Сначала упростим выражение для функции:

$f(x) = (x^2 - x + 5x - 5) - 4x = x^2 + 4x - 5 - 4x = x^2 - 5$.

Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа, $(-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдём $f(-x)$ для упрощенной функции:

$f(-x) = (-x)^2 - 5 = x^2 - 5$.

Сравним результат с $f(x)$:

$f(-x) = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

7) $f(x) = (x-6)^2 - (x+6)^2$

Сначала упростим выражение для функции, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$f(x) = ((x-6) - (x+6))((x-6) + (x+6)) = (x-6-x-6)(x-6+x+6) = (-12)(2x) = -24x$.

Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа, $(-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = -24(-x) = 24x$.

Сравним результат с $-f(x)$:

$-f(x) = -(-24x) = 24x$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

8) $f(x) = \frac{x^3 - 2x^2}{x^3 - 4x}$

Область определения функции задаётся условием $x^3 - 4x \neq 0$, то есть $x(x^2 - 4) \neq 0$, откуда $x \neq 0$ и $x \neq \pm 2$. Область определения симметрична относительно нуля.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{(-x)^3 - 2(-x)^2}{(-x)^3 - 4(-x)} = \frac{-x^3 - 2x^2}{-x^3 + 4x} = \frac{-(x^3 + 2x^2)}{-(x^3 - 4x)} = \frac{x^3 + 2x^2}{x^3 - 4x}$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$.

$f(-x) \neq f(x)$, так как $\frac{x^3 + 2x^2}{x^3 - 4x} \neq \frac{x^3 - 2x^2}{x^3 - 4x}$.

$-f(x) = -\frac{x^3 - 2x^2}{x^3 - 4x} = \frac{2x^2 - x^3}{x^3 - 4x}$.

$f(-x) \neq -f(x)$.

Для проверки можно подставить конкретное значение, например, $x=1$ (принадлежит области определения):

$f(1) = \frac{1^3 - 2(1^2)}{1^3 - 4(1)} = \frac{1 - 2}{1 - 4} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$.

$f(-1) = \frac{(-1)^3 - 2(-1)^2}{(-1)^3 - 4(-1)} = \frac{-1 - 2}{-1 + 4} = \frac{-3}{3} = -1$.

Поскольку $f(-1) \neq f(1)$ и $f(-1) \neq -f(1)$, функция является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.