Номер 281, страница 240 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Функции и их свойства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 281, страница 240.

281. Найдите координаты точек пересечения графиков функций:

1) $y = x - 3$ и $y = x^2 - 4x + 3$;

2) $y = 2x^2 - 3x$ и $y = -x^2 + x + 7$;

3) $y = x^6$ и $y = 2x^4$;

4) $y = \frac{6}{x}$ и $y = x + 5$;

5) $y = \sqrt{10 - 3x}$ и $y = -x$;

6) $y = \sqrt{x + 2}$ и $y = \sqrt{2x - 3} + 1$.

1) Для нахождения координат точек пересечения графиков функций $y = x - 3$ и $y = x^2 - 4x + 3$ необходимо приравнять выражения для $y$:
$x - 3 = x^2 - 4x + 3$
Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
$x^2 - 4x - x + 3 + 3 = 0$
$x^2 - 5x + 6 = 0$
Это квадратное уравнение. Его корни можно найти, разложив на множители: $(x-2)(x-3)=0$.
Отсюда получаем два значения $x$:
$x_1 = 2$
$x_2 = 3$
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в любую из исходных функций. Возьмем $y = x - 3$:
При $x_1 = 2$, $y_1 = 2 - 3 = -1$.
При $x_2 = 3$, $y_2 = 3 - 3 = 0$.
Таким образом, мы получили две точки пересечения.
Ответ: $(2, -1)$, $(3, 0)$.

2) Приравняем функции $y = 2x^2 - 3x$ и $y = -x^2 + x + 7$:
$2x^2 - 3x = -x^2 + x + 7$
Перенесем все члены в левую часть:
$2x^2 + x^2 - 3x - x - 7 = 0$
$3x^2 - 4x - 7 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100$
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 10}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$
$x_2 = \frac{4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 10}{6} = \frac{-6}{6} = -1$
Найдем соответствующие значения $y$. Используем функцию $y = -x^2 + x + 7$:
При $x_1 = \frac{7}{3}$, $y_1 = -(\frac{7}{3})^2 + \frac{7}{3} + 7 = -\frac{49}{9} + \frac{21}{9} + \frac{63}{9} = \frac{35}{9}$.
При $x_2 = -1$, $y_2 = -(-1)^2 + (-1) + 7 = -1 - 1 + 7 = 5$.
Координаты точек пересечения.
Ответ: $(-1, 5)$, $(\frac{7}{3}, \frac{35}{9})$.

3) Приравняем функции $y = x^6$ и $y = 2x^4$:
$x^6 = 2x^4$
$x^6 - 2x^4 = 0$
Вынесем общий множитель $x^4$ за скобки:
$x^4(x^2 - 2) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1) $x^4 = 0 \implies x_1 = 0$
2) $x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x_{2,3} = \pm\sqrt{2}$
Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в $y = 2x^4$:
При $x_1 = 0$, $y_1 = 2(0)^4 = 0$.
При $x_2 = \sqrt{2}$, $y_2 = 2(\sqrt{2})^4 = 2 \cdot 4 = 8$.
При $x_3 = -\sqrt{2}$, $y_3 = 2(-\sqrt{2})^4 = 2 \cdot 4 = 8$.
Получаем три точки пересечения.
Ответ: $(0, 0)$, $(-\sqrt{2}, 8)$, $(\sqrt{2}, 8)$.

4) Приравняем функции $y = \frac{6}{x}$ и $y = x + 5$. Область определения $x \neq 0$.
$\frac{6}{x} = x + 5$
Умножим обе части на $x$:
$6 = x(x+5)$
$x^2 + 5x - 6 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -6$.
Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = x+5$:
При $x_1 = 1$, $y_1 = 1 + 5 = 6$.
При $x_2 = -6$, $y_2 = -6 + 5 = -1$.
Координаты точек пересечения.
Ответ: $(-6, -1)$, $(1, 6)$.

5) Приравняем функции $y = \sqrt{10 - 3x}$ и $y = -x$:
$\sqrt{10 - 3x} = -x$
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $10 - 3x \ge 0 \implies x \le \frac{10}{3}$. Также значение квадратного корня неотрицательно, поэтому $-x \ge 0 \implies x \le 0$. Итоговая ОДЗ: $x \le 0$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$10 - 3x = (-x)^2$
$x^2 + 3x - 10 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -5$.
Проверим корни по ОДЗ ($x \le 0$): $x_1=2$ не подходит, $x_2=-5$ подходит.
Найдем $y$ для $x = -5$ по формуле $y = -x$:
$y = -(-5) = 5$.
Найдена одна точка пересечения.
Ответ: $(-5, 5)$.

6) Приравняем функции $y = \sqrt{x + 2}$ и $y = \sqrt{2x - 3} + 1$:
$\sqrt{x + 2} = \sqrt{2x - 3} + 1$
ОДЗ: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$ и $2x-3 \ge 0 \implies x \ge 1.5$. Общее ОДЗ: $x \ge 1.5$.
Возведем обе части в квадрат:
$x + 2 = (2x - 3) + 2\sqrt{2x - 3} + 1$
$x + 2 = 2x - 2 + 2\sqrt{2x - 3}$
Уединим корень:
$4 - x = 2\sqrt{2x - 3}$
Для существования решения левая часть должна быть неотрицательной: $4 - x \ge 0 \implies x \le 4$. С учетом ОДЗ, $1.5 \le x \le 4$.
Снова возведем в квадрат:
$(4 - x)^2 = 4(2x - 3)$
$16 - 8x + x^2 = 8x - 12$
$x^2 - 16x + 28 = 0$
$D = (-16)^2 - 4 \cdot 28 = 256 - 112 = 144$
$x_1 = \frac{16 + 12}{2} = 14$ (не входит в интервал $1.5 \le x \le 4$)
$x_2 = \frac{16 - 12}{2} = 2$ (входит в интервал)
Найдем $y$ для $x = 2$ по формуле $y = \sqrt{x+2}$:
$y = \sqrt{2+2} = 2$.
Найдена одна точка пересечения.
Ответ: $(2, 2)$.