Номер 279, страница 239 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Функции и их свойства - номер 279, страница 239.

Учебник.

279. На рисунке 7 изображена часть графика функции $y = g(x)$, определённой на промежутке $[-5; 5]$. Постройте график этой функции, если она является:

1) чётной;

2) нечётной.

Рис. 7

Решение 2.

279.

1) чётной
Если функция $y = g(x)$ является чётной, то её график симметричен относительно оси ординат (оси OY). Это означает, что для любого $x$ из области определения $[-5; 5]$ выполняется равенство $g(-x) = g(x)$.
Нам дан график на промежутке $[0; 5]$. Чтобы построить график на промежутке $[-5; 0]$, мы должны отразить данную часть графика симметрично относительно оси OY.
Ключевые точки на известной части графика: $(0, 0)$, $(2, -2)$, $(5, 1)$.
Найдём соответствующие им точки на промежутке $[-5; 0]$ при симметричном отражении (точка $(x, y)$ переходит в точку $(-x, y)$):
- Для точки $(0, 0)$: $g(-0) = g(0) = 0$. Точка остаётся на месте $(0, 0)$.
- Для точки $(2, -2)$: $g(-2) = g(2) = -2$. Получаем точку $(-2, -2)$.
- Для точки $(5, 1)$: $g(-5) = g(5) = 1$. Получаем точку $(-5, 1)$.
Таким образом, на промежутке $[-5; 0]$ график будет состоять из двух отрезков: один соединяет точки $(-5, 1)$ и $(-2, -2)$, а второй — точки $(-2, -2)$ и $(0, 0)$.
Ответ: График функции на промежутке $[-5; 0]$ достраивается отрезками, последовательно соединяющими точки с координатами $(-5, 1)$, $(-2, -2)$ и $(0, 0)$.

2) нечётной
Если функция $y = g(x)$ является нечётной, то её график симметричен относительно начала координат (точки $(0,0)$). Это означает, что для любого $x$ из области определения $[-5; 5]$ выполняется равенство $g(-x) = -g(x)$.
Чтобы построить график на промежутке $[-5; 0]$, мы должны отразить данную часть графика симметрично относительно начала координат.
Ключевые точки на известной части графика: $(0, 0)$, $(2, -2)$, $(5, 1)$.
Найдём соответствующие им точки на промежутке $[-5; 0]$ при симметричном отражении (точка $(x, y)$ переходит в точку $(-x, -y)$):
- Для точки $(0, 0)$: $g(-0) = -g(0) = 0$. Точка остаётся на месте $(0, 0)$.
- Для точки $(2, -2)$: $g(-2) = -g(2) = -(-2) = 2$. Получаем точку $(-2, 2)$.
- Для точки $(5, 1)$: $g(-5) = -g(5) = -1$. Получаем точку $(-5, -1)$.
Таким образом, на промежутке $[-5; 0]$ график будет состоять из двух отрезков: один соединяет точки $(-5, -1)$ и $(-2, 2)$, а второй — точки $(-2, 2)$ и $(0, 0)$.
Ответ: График функции на промежутке $[-5; 0]$ достраивается отрезками, последовательно соединяющими точки с координатами $(-5, -1)$, $(-2, 2)$ и $(0, 0)$.

280.

1) $f(x) = \frac{6}{2-x}$ возрастает на промежутке $(-\infty; 2)$
Чтобы доказать, что функция возрастает на заданном промежутке, нужно показать, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.
Пусть $x_1 \in (-\infty; 2)$ и $x_2 \in (-\infty; 2)$, и пусть $x_1 < x_2$.
Рассмотрим разность значений функции в этих точках:
$f(x_2) - f(x_1) = \frac{6}{2-x_2} - \frac{6}{2-x_1} = 6 \left( \frac{1}{2-x_2} - \frac{1}{2-x_1} \right) = 6 \cdot \frac{(2-x_1) - (2-x_2)}{(2-x_2)(2-x_1)} = 6 \cdot \frac{2-x_1-2+x_2}{(2-x_2)(2-x_1)} = \frac{6(x_2-x_1)}{(2-x_2)(2-x_1)}$.
Теперь оценим знак полученного выражения:
1. Числитель: по условию $x_1 < x_2$, следовательно, разность $x_2 - x_1 > 0$. Множитель 6 также положителен. Значит, числитель $6(x_2 - x_1)$ положителен.
2. Знаменатель: так как $x_1 < 2$, то $2 - x_1 > 0$. Так как $x_2 < 2$, то $2 - x_2 > 0$. Произведение двух положительных чисел $(2-x_2)(2-x_1)$ является положительным.
Поскольку и числитель, и знаменатель дроби положительны, вся дробь также положительна:
$\frac{6(x_2-x_1)}{(2-x_2)(2-x_1)} > 0$.
Следовательно, $f(x_2) - f(x_1) > 0$, что равносильно $f(x_1) < f(x_2)$.
Так как для любых $x_1 < x_2$ из промежутка $(-\infty; 2)$ выполняется $f(x_1) < f(x_2)$, функция $f(x)$ по определению возрастает на этом промежутке.
Ответ: Утверждение доказано.