Страница 239 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

275. Постройте график данной функции и, пользуясь им, укажите промежутки знакопостоянства функции, её промежутки возрастания и промежутки убывания:

1) $f(x) = \begin{cases} \frac{12}{x}, & \text{если } x \le -3 \\ \frac{4}{3}x, & \text{если } -3 < x < 3 \\ \frac{12}{x}, & \text{если } x \ge 3 \end{cases}$2) $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & \text{если } x \le -1 \\ 2 - x, & \text{если } -1 < x < 1 \\ -\sqrt{x}, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

1)

Данная функция является кусочно-заданной: $f(x) = \begin{cases} \frac{12}{x}, & \text{если } x \le -3 \\ \frac{4}{3}x, & \text{если } -3 < x < 3 \\ \frac{12}{x}, & \text{если } x \ge 3 \end{cases}$

Построение графика:
1. На промежутках $(-\infty; -3]$ и $[3; +\infty)$ график функции представляет собой ветви гиперболы $y = \frac{12}{x}$.
- Вычислим значения в граничных точках:
$f(-3) = \frac{12}{-3} = -4$. Точка $(-3; -4)$ принадлежит графику.
$f(3) = \frac{12}{3} = 4$. Точка $(3; 4)$ принадлежит графику.
- Для построения возьмем дополнительные точки:
$f(-6) = \frac{12}{-6} = -2$, точка $(-6; -2)$.
$f(6) = \frac{12}{6} = 2$, точка $(6; 2)$.
2. На интервале $(-3; 3)$ график функции совпадает с графиком прямой $y = \frac{4}{3}x$.
- Эта прямая проходит через начало координат $(0; 0)$.
- Найдем предельные значения на концах интервала:
При $x \to -3^+$, $y \to \frac{4}{3}(-3) = -4$.
При $x \to 3^-$, $y \to \frac{4}{3}(3) = 4$.
Поскольку значения в точках $x=-3$ и $x=3$ совпадают с предельными значениями, функция является непрерывной. График представляет собой отрезок, соединяющий точки $(-3; -4)$ и $(3; 4)$.

Анализ графика:
Промежутки знакопостоянства:
- Функция положительна ($f(x) > 0$), когда её график находится выше оси Ox. Из графика видно, что это происходит при $x > 0$.
- Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда её график находится ниже оси Ox. Это происходит при $x < 0$.
- Функция равна нулю при $x = 0$.
Промежутки возрастания и убывания:
- Функция возрастает на промежутке, где её график идет вверх (слева направо). Это происходит на отрезке $[-3; 3]$.
- Функция убывает на промежутках, где её график идет вниз. Это происходит на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[3; +\infty)$.

Ответ:
Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
Промежуток возрастания: $[-3; 3]$.
Промежутки убывания: $(-\infty; -3]$ и $[3; +\infty)$.

2)

Данная функция является кусочно-заданной: $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & \text{если } x \le -1 \\ 2 - x, & \text{если } -1 < x < 1 \\ -\sqrt{x}, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

Построение графика:
1. При $x \le -1$ график функции совпадает с графиком прямой $y = 2x + 1$.
- В граничной точке $x=-1$, $f(-1) = 2(-1) + 1 = -1$. Точка $(-1; -1)$ закрашена.
- Возьмем еще одну точку: $f(-2) = 2(-2) + 1 = -3$. Точка $(-2; -3)$.
График — луч, выходящий из точки $(-1; -1)$.
2. При $-1 < x < 1$ график функции совпадает с графиком прямой $y = 2 - x$.
- Найдем значения на концах интервала (точки будут выколоты):
При $x \to -1^+$, $y \to 2 - (-1) = 3$. Точка $(-1; 3)$ выколота.
При $x \to 1^-$, $y \to 2 - 1 = 1$. Точка $(1; 1)$ выколота.
График — отрезок, соединяющий точки $(-1; 3)$ и $(1; 1)$ без концов.
3. При $x \ge 1$ график функции совпадает с графиком $y = -\sqrt{x}$.
- В граничной точке $x=1$, $f(1) = -\sqrt{1} = -1$. Точка $(1; -1)$ закрашена.
- Возьмем еще одну точку: $f(4) = -\sqrt{4} = -2$. Точка $(4; -2)$.
График — часть кривой, выходящей из точки $(1; -1)$.
В точках $x=-1$ и $x=1$ функция имеет разрывы.

Анализ графика:
Промежутки знакопостоянства:
- Функция положительна ($f(x) > 0$), когда её график находится выше оси Ox. Это происходит на интервале $(-1; 1)$, где $y = 2 - x$.
- Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда её график находится ниже оси Ox. Это происходит на двух промежутках: $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$.
Промежутки возрастания и убывания:
- Функция возрастает на промежутке $(-\infty; -1]$, так как угловой коэффициент прямой $y=2x+1$ положителен ($k=2$).
- Функция убывает на интервале $(-1; 1)$, так как угловой коэффициент прямой $y=2-x$ отрицателен ($k=-1$), а также на промежутке $[1; +\infty)$, где график функции $y = -\sqrt{x}$ идет вниз.

Ответ:
Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (-1; 1)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.
Промежуток возрастания: $(-\infty; -1]$.
Промежутки убывания: $(-1; 1)$ и $[1; +\infty)$.

276. Найдите область определения и постройте график функции:

1) $f(x) = \frac{x^2 - 8x + 16}{4 - x};$

2) $f(x) = \frac{4x - 16}{x^2 - 4x};$

3) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 4};$

4) $f(x) = \frac{x^3 - 5x^2 + 6x}{x - 3}.$

1) $f(x) = \frac{x^2 - 8x + 16}{4 - x}$

Сначала найдем область определения функции. Область определения состоит из всех действительных чисел, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

Знаменатель $4 - x = 0$ при $x = 4$.

Следовательно, область определения функции: $D(f) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

Теперь упростим выражение для функции. Заметим, что числитель является полным квадратом:

$x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$.

Тогда функцию можно переписать в виде:

$f(x) = \frac{(x-4)^2}{4-x} = \frac{(x-4)^2}{-(x-4)}$.

При $x \neq 4$ мы можем сократить дробь на $(x-4)$:

$f(x) = -(x-4) = 4-x$.

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком линейной функции $y = 4 - x$ при всех $x$, кроме $x = 4$. Графиком функции $y = 4 - x$ является прямая. В точке с абсциссой $x = 4$ на графике будет "выколотая" точка. Найдем ее ординату:

$y = 4 - 4 = 0$.

Координаты выколотой точки — (4, 0). Для построения прямой найдем еще две точки, например, (0, 4) и (2, 2).

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$. График функции — прямая $y = 4 - x$ с выколотой точкой (4, 0).

2) $f(x) = \frac{4x - 16}{x^2 - 4x}$

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x^2 - 4x \neq 0$

$x(x-4) \neq 0$

Это означает, что $x \neq 0$ и $x \neq 4$.

Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 4) \cup (4; +\infty)$.

Упростим функцию, разложив числитель и знаменатель на множители:

$f(x) = \frac{4(x-4)}{x(x-4)}$.

При $x \neq 4$ и $x \neq 0$ можем сократить на $(x-4)$:

$f(x) = \frac{4}{x}$.

Графиком функции является гипербола $y = \frac{4}{x}$. Ограничение $x \neq 0$ является вертикальной асимптотой этой гиперболы. Ограничение $x \neq 4$ приводит к появлению выколотой точки на графике. Найдем ее координаты:

$y = \frac{4}{4} = 1$.

Координаты выколотой точки — (4, 1).

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 4) \cup (4; +\infty)$. График функции — гипербола $y = \frac{4}{x}$ с выколотой точкой (4, 1).

3) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 4}$

Найдем область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x^2 - 4 \neq 0$

$(x-2)(x+2) \neq 0$

Следовательно, $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Область определения: $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

Упростим функцию. В области определения числитель и знаменатель равны и не равны нулю, поэтому их частное равно 1.

$f(x) = 1$ при $x \neq \pm 2$.

Графиком функции является горизонтальная прямая $y = 1$. На этой прямой будут две выколотые точки, соответствующие значениям $x=-2$ и $x=2$.

Координаты выколотых точек: $(-2, 1)$ и $(2, 1)$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$. График функции — прямая $y=1$ с выколотыми точками $(-2, 1)$ и $(2, 1)$.

4) $f(x) = \frac{x^3 - 5x^2 + 6x}{x - 3}$

Найдем область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x - 3 \neq 0$, следовательно $x \neq 3$.

Область определения: $D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

Упростим функцию. Разложим числитель на множители. Сначала вынесем $x$ за скобки:

$x^3 - 5x^2 + 6x = x(x^2 - 5x + 6)$.

Теперь разложим квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 6$. Его корни $x_1=2, x_2=3$. Поэтому $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$.

Функция примет вид:

$f(x) = \frac{x(x-2)(x-3)}{x-3}$.

При $x \neq 3$ можем сократить на $(x-3)$:

$f(x) = x(x-2) = x^2 - 2x$.

Графиком функции является парабола $y = x^2 - 2x$ с выколотой точкой при $x = 3$. Найдем ее координаты:

$y = 3^2 - 2 \cdot 3 = 9 - 6 = 3$.

Координаты выколотой точки — (3, 3). Парабола $y = x^2 - 2x$ имеет ветви, направленные вверх. Координаты ее вершины: $x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$, $y_v = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1$. Вершина — (1, -1). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=0$ и $x=2$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$. График функции — парабола $y = x^2 - 2x$ с выколотой точкой (3, 3).

277. Известно, что $f(-4)=-2$. Найдите $f(4)$, если функция $f$ является:

1) чётной;

2) нечётной.

1) чётной

По определению, функция $f$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения (которая должна быть симметрична относительно нуля) выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График такой функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

В задаче дано, что $f(-4) = -2$. Необходимо найти $f(4)$.

Используя определение чётной функции для $x=4$, мы получаем:

$f(4) = f(-4)$

Так как нам известно, что $f(-4) = -2$, то мы можем подставить это значение в равенство:

$f(4) = -2$

Ответ: -2.

2) нечётной

По определению, функция $f$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения (которая должна быть симметрична относительно нуля) выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График такой функции симметричен относительно начала координат.

В задаче дано, что $f(-4) = -2$. Необходимо найти $f(4)$.

Используя определение нечётной функции для $x=4$, мы получаем:

$f(-4) = -f(4)$

Подставим известное значение $f(-4) = -2$ в это равенство:

$-2 = -f(4)$

Чтобы найти $f(4)$, умножим обе части уравнения на $-1$:

$f(4) = (-1) \cdot (-2)$

$f(4) = 2$

Ответ: 2.

278. Является ли чётной либо нечётной функция:

1) $f(x) = 6x^3 - 7x^5;$

2) $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 1};$

3) $f(x) = \sqrt{6 - x^2};$

4) $f(x) = x^2 + x - 3;$

5) $f(x) = \frac{1}{x^3 - 2x};$

6) $f(x) = (x + 5)(x - 1) - 4x;$

7) $f(x) = (x - 6)^2 - (x + 6)^2;$

8) $f(x) = \frac{x^3 - 2x^2}{x^3 - 4x}?$

Для определения, является ли функция чётной, нечётной или ни той, ни другой, необходимо проверить её область определения на симметричность относительно нуля и вычислить значение $f(-x)$.

• Функция $f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
• Функция $f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

1) $f(x) = 6x^3 - 7x^5$

Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа, $(-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = 6(-x)^3 - 7(-x)^5 = 6(-x^3) - 7(-x^5) = -6x^3 + 7x^5$.

Сравним результат с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(-x) = -6x^3 + 7x^5 = -(6x^3 - 7x^5) = -f(x)$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

2) $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 1}$

Область определения функции задаётся условием $x^2 - 1 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 1$. $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{(-x)^2 + 4}{(-x)^2 - 1} = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 1}$.

Сравним результат с $f(x)$:

$f(-x) = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

3) $f(x) = \sqrt{6 - x^2}$

Область определения функции задаётся условием $6 - x^2 \ge 0$, то есть $x^2 \le 6$, что равносильно $-\sqrt{6} \le x \le \sqrt{6}$. $D(f) = [-\sqrt{6}; \sqrt{6}]$. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \sqrt{6 - (-x)^2} = \sqrt{6 - x^2}$.

Сравним результат с $f(x)$:

$f(-x) = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

4) $f(x) = x^2 + x - 3$

Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа, $(-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^2 + (-x) - 3 = x^2 - x - 3$.

Сравним результат с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(-x) = x^2 - x - 3 \neq f(x) = x^2 + x - 3$.

$-f(x) = -(x^2 + x - 3) = -x^2 - x + 3$.

$f(-x) = x^2 - x - 3 \neq -f(x)$.

Поскольку ни одно из условий чётности/нечётности не выполняется, функция является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.

5) $f(x) = \frac{1}{x^3 - 2x}$

Область определения функции задаётся условием $x^3 - 2x \neq 0$, то есть $x(x^2 - 2) \neq 0$, откуда $x \neq 0$ и $x \neq \pm\sqrt{2}$. Область определения симметрична относительно нуля.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{1}{(-x)^3 - 2(-x)} = \frac{1}{-x^3 + 2x} = \frac{1}{-(x^3 - 2x)} = -\frac{1}{x^3 - 2x}$.

Сравним результат с $-f(x)$:

$f(-x) = -f(x)$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

6) $f(x) = (x+5)(x-1) - 4x$

Сначала упростим выражение для функции:

$f(x) = (x^2 - x + 5x - 5) - 4x = x^2 + 4x - 5 - 4x = x^2 - 5$.

Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа, $(-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдём $f(-x)$ для упрощенной функции:

$f(-x) = (-x)^2 - 5 = x^2 - 5$.

Сравним результат с $f(x)$:

$f(-x) = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

7) $f(x) = (x-6)^2 - (x+6)^2$

Сначала упростим выражение для функции, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$f(x) = ((x-6) - (x+6))((x-6) + (x+6)) = (x-6-x-6)(x-6+x+6) = (-12)(2x) = -24x$.

Область определения функции $D(f)$ — все действительные числа, $(-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = -24(-x) = 24x$.

Сравним результат с $-f(x)$:

$-f(x) = -(-24x) = 24x$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

8) $f(x) = \frac{x^3 - 2x^2}{x^3 - 4x}$

Область определения функции задаётся условием $x^3 - 4x \neq 0$, то есть $x(x^2 - 4) \neq 0$, откуда $x \neq 0$ и $x \neq \pm 2$. Область определения симметрична относительно нуля.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{(-x)^3 - 2(-x)^2}{(-x)^3 - 4(-x)} = \frac{-x^3 - 2x^2}{-x^3 + 4x} = \frac{-(x^3 + 2x^2)}{-(x^3 - 4x)} = \frac{x^3 + 2x^2}{x^3 - 4x}$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$.

$f(-x) \neq f(x)$, так как $\frac{x^3 + 2x^2}{x^3 - 4x} \neq \frac{x^3 - 2x^2}{x^3 - 4x}$.

$-f(x) = -\frac{x^3 - 2x^2}{x^3 - 4x} = \frac{2x^2 - x^3}{x^3 - 4x}$.

$f(-x) \neq -f(x)$.

Для проверки можно подставить конкретное значение, например, $x=1$ (принадлежит области определения):

$f(1) = \frac{1^3 - 2(1^2)}{1^3 - 4(1)} = \frac{1 - 2}{1 - 4} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$.

$f(-1) = \frac{(-1)^3 - 2(-1)^2}{(-1)^3 - 4(-1)} = \frac{-1 - 2}{-1 + 4} = \frac{-3}{3} = -1$.

Поскольку $f(-1) \neq f(1)$ и $f(-1) \neq -f(1)$, функция является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.

279. На рисунке 7 изображена часть графика функции $y = g(x)$, определённой на промежутке $[-5; 5]$. Постройте график этой функции, если она является:

1) чётной;

2) нечётной.

Рис. 7

279.

1) чётной
Если функция $y = g(x)$ является чётной, то её график симметричен относительно оси ординат (оси OY). Это означает, что для любого $x$ из области определения $[-5; 5]$ выполняется равенство $g(-x) = g(x)$.
Нам дан график на промежутке $[0; 5]$. Чтобы построить график на промежутке $[-5; 0]$, мы должны отразить данную часть графика симметрично относительно оси OY.
Ключевые точки на известной части графика: $(0, 0)$, $(2, -2)$, $(5, 1)$.
Найдём соответствующие им точки на промежутке $[-5; 0]$ при симметричном отражении (точка $(x, y)$ переходит в точку $(-x, y)$):
- Для точки $(0, 0)$: $g(-0) = g(0) = 0$. Точка остаётся на месте $(0, 0)$.
- Для точки $(2, -2)$: $g(-2) = g(2) = -2$. Получаем точку $(-2, -2)$.
- Для точки $(5, 1)$: $g(-5) = g(5) = 1$. Получаем точку $(-5, 1)$.
Таким образом, на промежутке $[-5; 0]$ график будет состоять из двух отрезков: один соединяет точки $(-5, 1)$ и $(-2, -2)$, а второй — точки $(-2, -2)$ и $(0, 0)$.
Ответ: График функции на промежутке $[-5; 0]$ достраивается отрезками, последовательно соединяющими точки с координатами $(-5, 1)$, $(-2, -2)$ и $(0, 0)$.

2) нечётной
Если функция $y = g(x)$ является нечётной, то её график симметричен относительно начала координат (точки $(0,0)$). Это означает, что для любого $x$ из области определения $[-5; 5]$ выполняется равенство $g(-x) = -g(x)$.
Чтобы построить график на промежутке $[-5; 0]$, мы должны отразить данную часть графика симметрично относительно начала координат.
Ключевые точки на известной части графика: $(0, 0)$, $(2, -2)$, $(5, 1)$.
Найдём соответствующие им точки на промежутке $[-5; 0]$ при симметричном отражении (точка $(x, y)$ переходит в точку $(-x, -y)$):
- Для точки $(0, 0)$: $g(-0) = -g(0) = 0$. Точка остаётся на месте $(0, 0)$.
- Для точки $(2, -2)$: $g(-2) = -g(2) = -(-2) = 2$. Получаем точку $(-2, 2)$.
- Для точки $(5, 1)$: $g(-5) = -g(5) = -1$. Получаем точку $(-5, -1)$.
Таким образом, на промежутке $[-5; 0]$ график будет состоять из двух отрезков: один соединяет точки $(-5, -1)$ и $(-2, 2)$, а второй — точки $(-2, 2)$ и $(0, 0)$.
Ответ: График функции на промежутке $[-5; 0]$ достраивается отрезками, последовательно соединяющими точки с координатами $(-5, -1)$, $(-2, 2)$ и $(0, 0)$.

280.

1) $f(x) = \frac{6}{2-x}$ возрастает на промежутке $(-\infty; 2)$
Чтобы доказать, что функция возрастает на заданном промежутке, нужно показать, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.
Пусть $x_1 \in (-\infty; 2)$ и $x_2 \in (-\infty; 2)$, и пусть $x_1 < x_2$.
Рассмотрим разность значений функции в этих точках:
$f(x_2) - f(x_1) = \frac{6}{2-x_2} - \frac{6}{2-x_1} = 6 \left( \frac{1}{2-x_2} - \frac{1}{2-x_1} \right) = 6 \cdot \frac{(2-x_1) - (2-x_2)}{(2-x_2)(2-x_1)} = 6 \cdot \frac{2-x_1-2+x_2}{(2-x_2)(2-x_1)} = \frac{6(x_2-x_1)}{(2-x_2)(2-x_1)}$.
Теперь оценим знак полученного выражения:
1. Числитель: по условию $x_1 < x_2$, следовательно, разность $x_2 - x_1 > 0$. Множитель 6 также положителен. Значит, числитель $6(x_2 - x_1)$ положителен.
2. Знаменатель: так как $x_1 < 2$, то $2 - x_1 > 0$. Так как $x_2 < 2$, то $2 - x_2 > 0$. Произведение двух положительных чисел $(2-x_2)(2-x_1)$ является положительным.
Поскольку и числитель, и знаменатель дроби положительны, вся дробь также положительна:
$\frac{6(x_2-x_1)}{(2-x_2)(2-x_1)} > 0$.
Следовательно, $f(x_2) - f(x_1) > 0$, что равносильно $f(x_1) < f(x_2)$.
Так как для любых $x_1 < x_2$ из промежутка $(-\infty; 2)$ выполняется $f(x_1) < f(x_2)$, функция $f(x)$ по определению возрастает на этом промежутке.
Ответ: Утверждение доказано.

280. Докажите, не используя производной, что функция:

1) $f(x) = \frac{6}{2-x}$ возрастает на промежутке $(-\infty; 2);

2) $f(x) = x^2 + 4x$ убывает на промежутке $(-\infty; -2].

1) Чтобы доказать, что функция $f(x) = \frac{6}{2-x}$ возрастает на промежутке $(-\infty; 2)$, воспользуемся определением возрастающей функции. Функция является возрастающей на промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Выберем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(-\infty; 2)$ так, чтобы выполнялось условие $x_1 < x_2$.

Рассмотрим разность значений функции в этих точках: $f(x_2) - f(x_1) = \frac{6}{2-x_2} - \frac{6}{2-x_1}$.

Приведем выражение к общему знаменателю и упростим: $f(x_2) - f(x_1) = 6 \left( \frac{1}{2-x_2} - \frac{1}{2-x_1} \right) = 6 \left( \frac{(2-x_1) - (2-x_2)}{(2-x_2)(2-x_1)} \right) = 6 \frac{2 - x_1 - 2 + x_2}{(2-x_2)(2-x_1)} = \frac{6(x_2 - x_1)}{(2-x_2)(2-x_1)}$.

Оценим знак числителя и знаменателя полученной дроби:

Числитель $6(x_2 - x_1)$ положителен, так как по нашему выбору $x_1 < x_2$, что означает $x_2 - x_1 > 0$.

Знаменатель $(2-x_2)(2-x_1)$ также положителен. Поскольку $x_1$ и $x_2$ принадлежат промежутку $(-\infty; 2)$, то $x_1 < 2$ и $x_2 < 2$. Следовательно, $2-x_1 > 0$ и $2-x_2 > 0$. Произведение двух положительных чисел есть число положительное.

Так как и числитель, и знаменатель дроби положительны, то вся дробь больше нуля. Таким образом, $f(x_2) - f(x_1) > 0$, откуда следует, что $f(x_2) > f(x_1)$.

Мы показали, что для любых $x_1, x_2 \in (-\infty; 2)$ из $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) < f(x_2)$. Это по определению означает, что функция $f(x)$ возрастает на данном промежутке.

Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать, что функция $f(x) = x^2 + 4x$ убывает на промежутке $(-\infty; -2]$, воспользуемся определением убывающей функции. Функция является убывающей на промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Выберем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(-\infty; -2]$ так, чтобы выполнялось условие $x_1 < x_2$.

Рассмотрим разность значений функции в этих точках: $f(x_2) - f(x_1) = (x_2^2 + 4x_2) - (x_1^2 + 4x_1) = x_2^2 - x_1^2 + 4x_2 - 4x_1$.

Сгруппируем слагаемые и разложим на множители: $f(x_2) - f(x_1) = (x_2^2 - x_1^2) + (4x_2 - 4x_1) = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1) + 4(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1 + 4)$.

Оценим знак каждого множителя в полученном произведении:

Первый множитель $(x_2 - x_1)$ положителен, так как по нашему выбору $x_1 < x_2$.

Второй множитель $(x_2 + x_1 + 4)$. Так как $x_1$ и $x_2$ принадлежат промежутку $(-\infty; -2]$, то $x_1 < x_2 \le -2$. Из этого следует, что $x_1 < -2$ и $x_2 \le -2$. Сложив эти два неравенства, получим $x_1 + x_2 < -2 + (-2) = -4$. Если $x_1 + x_2 < -4$, то $x_1 + x_2 + 4 < 0$. Значит, второй множитель отрицателен.

Произведение положительного и отрицательного числа является отрицательным числом. Следовательно, $(x_2 - x_1)(x_2 + x_1 + 4) < 0$.

Таким образом, $f(x_2) - f(x_1) < 0$, откуда следует, что $f(x_2) < f(x_1)$, или $f(x_1) > f(x_2)$.

Мы показали, что для любых $x_1, x_2 \in (-\infty; -2]$ из $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) > f(x_2)$. Это по определению означает, что функция $f(x)$ убывает на данном промежутке.

Ответ: Доказано.