Страница 233 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

233. Представьте в виде дроби выражение:

1) $a^{-3} + a^{-4}$;

2) $mn^{-5} + m^{-5}n$;

3) $(a^{-1} - b^{-1}) \cdot (a - b)^{-2}$;

4) $(x^{-4} + y^{-4}) \cdot (x^4 + y^4)^{-1}.

1) Чтобы представить выражение $a^{-3} + a^{-4}$ в виде дроби, воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

Применив это свойство к каждому слагаемому, получим:

$a^{-3} + a^{-4} = \frac{1}{a^3} + \frac{1}{a^4}$

Далее, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $a^3$ и $a^4$ - это $a^4$. Домножим первую дробь на недостающий множитель $a$:

$\frac{1 \cdot a}{a^3 \cdot a} + \frac{1}{a^4} = \frac{a}{a^4} + \frac{1}{a^4}$

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{a + 1}{a^4}$

Ответ: $\frac{a+1}{a^4}$

2) Рассмотрим выражение $mn^{-5} + m^{-5}n$. Снова используем свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

Преобразуем каждое слагаемое:

$mn^{-5} = m \cdot \frac{1}{n^5} = \frac{m}{n^5}$

$m^{-5}n = \frac{1}{m^5} \cdot n = \frac{n}{m^5}$

Сложим полученные дроби:

$\frac{m}{n^5} + \frac{n}{m^5}$

Найдем общий знаменатель, который равен $m^5n^5$. Приведем дроби к этому знаменателю:

$\frac{m \cdot m^5}{n^5 \cdot m^5} + \frac{n \cdot n^5}{m^5 \cdot n^5} = \frac{m^6}{m^5n^5} + \frac{n^6}{m^5n^5}$

Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{m^6 + n^6}{m^5n^5}$

Ответ: $\frac{m^6 + n^6}{m^5n^5}$

3) Упростим выражение $(a^{-1} - b^{-1}) \cdot (a - b)^{-2}$.

Сначала преобразуем степени с отрицательным показателем:

$a^{-1} - b^{-1} = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$

$(a - b)^{-2} = \frac{1}{(a - b)^2}$

Выражение принимает вид:

$(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}) \cdot \frac{1}{(a - b)^2}$

Выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $ab$:

$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} - \frac{a}{ab} = \frac{b - a}{ab}$

Теперь умножим полученный результат на второй множитель:

$\frac{b - a}{ab} \cdot \frac{1}{(a - b)^2}$

Заметим, что $b - a = -(a - b)$. Подставим это в числитель:

$\frac{-(a - b)}{ab(a - b)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(a - b)$:

$\frac{-1}{ab(a - b)}$

Ответ: $-\frac{1}{ab(a - b)}$

4) Рассмотрим выражение $(x^{-4} + y^{-4}) \cdot (x^4 + y^4)^{-1}$.

Преобразуем степени с отрицательными показателями:

$(x^{-4} + y^{-4}) = \frac{1}{x^4} + \frac{1}{y^4}$

$(x^4 + y^4)^{-1} = \frac{1}{x^4 + y^4}$

Выражение принимает вид:

$(\frac{1}{x^4} + \frac{1}{y^4}) \cdot \frac{1}{x^4 + y^4}$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $x^4y^4$:

$\frac{y^4}{x^4y^4} + \frac{x^4}{x^4y^4} = \frac{x^4 + y^4}{x^4y^4}$

Теперь выполним умножение:

$\frac{x^4 + y^4}{x^4y^4} \cdot \frac{1}{x^4 + y^4} = \frac{x^4 + y^4}{x^4y^4(x^4 + y^4)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x^4 + y^4)$:

$\frac{1}{x^4y^4}$

Ответ: $\frac{1}{x^4y^4}$

234. Найдите значение выражения:

1) $ \frac{3^{12} \cdot 27^3}{9^9} $;

2) $ (5\frac{1}{3})^8 \cdot (\frac{3}{16})^7 $;

3) $ 100^{-2} : 1000^{-6} \cdot 0.01^8 $;

4) $ (2\frac{1}{4})^{-4} \cdot ((\frac{2}{3})^3)^{-3} $;

5) $ (0.2^{-3})^{-2} : 25^{-4} $;

6) $ \frac{(-36)^{-3} \cdot 6^7}{216^{-5} \cdot (-6)^{18}} $;

7) $ \frac{6^{-14}}{81^{-3} \cdot 16^{-4}} $;

8) $ \frac{14^5 \cdot 2^{-6}}{28^{-2} \cdot 7^6} $.

1)
Для того, чтобы найти значение выражения $\frac{3^{12} \cdot 27^3}{9^9}$, приведем все степени к одному основанию — 3.
Мы знаем, что $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{3^{12} \cdot (3^3)^3}{(3^2)^9}$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, упростим числитель и знаменатель:
$\frac{3^{12} \cdot 3^{3 \cdot 3}}{3^{2 \cdot 9}} = \frac{3^{12} \cdot 3^9}{3^{18}}$
Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ в числителе, получим:
$\frac{3^{12+9}}{3^{18}} = \frac{3^{21}}{3^{18}}$
Используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получим окончательный результат:
$3^{21-18} = 3^3 = 27$.
Ответ: 27.

2)
Рассмотрим выражение $(5\frac{1}{3})^8 \cdot (\frac{3}{16})^7$. Предполагаем, что $5\frac{1}{3}$ — это смешанное число.
Переведем смешанное число в неправильную дробь: $5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3}$.
Подставим это значение в выражение:
$(\frac{16}{3})^8 \cdot (\frac{3}{16})^7$
Используем свойство $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:
$\frac{16^8}{3^8} \cdot \frac{3^7}{16^7}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$\frac{16^8}{16^7} \cdot \frac{3^7}{3^8}$
Применяя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем:
$16^{8-7} \cdot 3^{7-8} = 16^1 \cdot 3^{-1}$
Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$16 \cdot \frac{1}{3} = \frac{16}{3}$.
Ответ: $\frac{16}{3}$.

3)
Найдем значение выражения $100^{-2} : 1000^{-6} \cdot 0.01^8$.
Приведем все числа к основанию 10:
$100 = 10^2$
$1000 = 10^3$
$0.01 = \frac{1}{100} = 10^{-2}$
Подставим эти значения в выражение:
$(10^2)^{-2} : (10^3)^{-6} \cdot (10^{-2})^8$
Упростим степени, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$10^{-4} : 10^{-18} \cdot 10^{-16}$
Выполним операции по порядку. Сначала деление:
$10^{-4} : 10^{-18} = 10^{-4 - (-18)} = 10^{-4+18} = 10^{14}$
Затем умножение:
$10^{14} \cdot 10^{-16} = 10^{14-16} = 10^{-2} = \frac{1}{100} = 0.01$.
Ответ: 0.01.

4)
Найдем значение выражения $(2\frac{1}{4})^{-4} \cdot ((\frac{2}{3})^3)^{-3}$.
Переведем смешанное число $2\frac{1}{4}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$.
Выражение принимает вид:
$(\frac{9}{4})^{-4} \cdot ((\frac{2}{3})^3)^{-3}$
Упростим каждый множитель. Для первого множителя используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{9}{4})^{-4} = (\frac{4}{9})^4$. Заметим, что $\frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^2$.
Тогда $(\frac{4}{9})^4 = ((\frac{2}{3})^2)^4 = (\frac{2}{3})^{2 \cdot 4} = (\frac{2}{3})^8$.
Для второго множителя используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$((\frac{2}{3})^3)^{-3} = (\frac{2}{3})^{3 \cdot (-3)} = (\frac{2}{3})^{-9}$.
Теперь перемножим полученные результаты:
$(\frac{2}{3})^8 \cdot (\frac{2}{3})^{-9} = (\frac{2}{3})^{8-9} = (\frac{2}{3})^{-1} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

5)
Найдем значение выражения $(0.2^{-3})^{-2} : 25^{-4}$.
Приведем все числа к основанию 5.
$0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$
$25 = 5^2$
Подставим эти значения в выражение:
$((5^{-1})^{-3})^{-2} : (5^2)^{-4}$
Упростим каждую часть, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(5^{(-1) \cdot (-3)})^{-2} : 5^{2 \cdot (-4)} = (5^3)^{-2} : 5^{-8} = 5^{3 \cdot (-2)} : 5^{-8} = 5^{-6} : 5^{-8}$
Выполним деление:
$5^{-6 - (-8)} = 5^{-6+8} = 5^2 = 25$.
Ответ: 25.

6)
Найдем значение выражения $\frac{(-36)^{-3} \cdot 6^7}{216^{-5} \cdot (-6)^{18}}$.
Приведем все основания к степени числа 6.
$-36 = -1 \cdot 6^2$. Тогда $(-36)^{-3} = (-1 \cdot 6^2)^{-3} = (-1)^{-3} \cdot (6^2)^{-3} = -1 \cdot 6^{-6} = -6^{-6}$.
$216 = 6^3$. Тогда $216^{-5} = (6^3)^{-5} = 6^{-15}$.
$(-6)^{18} = (-1 \cdot 6)^{18} = (-1)^{18} \cdot 6^{18} = 1 \cdot 6^{18} = 6^{18}$ (так как 18 - четное число).
Подставим преобразованные значения в дробь:
$\frac{-6^{-6} \cdot 6^7}{6^{-15} \cdot 6^{18}}$
Упростим числитель: $-6^{-6} \cdot 6^7 = -1 \cdot 6^{-6+7} = -6^1 = -6$.
Упростим знаменатель: $6^{-15} \cdot 6^{18} = 6^{-15+18} = 6^3$.
Получаем дробь:
$\frac{-6}{6^3} = -6^{1-3} = -6^{-2} = -\frac{1}{6^2} = -\frac{1}{36}$.
Ответ: $-\frac{1}{36}$.

7)
Найдем значение выражения $\frac{6^{-14}}{81^{-3} \cdot 16^{-4}}$.
Разложим основания на простые множители (2 и 3).
$6 = 2 \cdot 3$, поэтому $6^{-14} = (2 \cdot 3)^{-14} = 2^{-14} \cdot 3^{-14}$.
$81 = 3^4$, поэтому $81^{-3} = (3^4)^{-3} = 3^{-12}$.
$16 = 2^4$, поэтому $16^{-4} = (2^4)^{-4} = 2^{-16}$.
Подставим в выражение:
$\frac{2^{-14} \cdot 3^{-14}}{3^{-12} \cdot 2^{-16}}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$\frac{2^{-14}}{2^{-16}} \cdot \frac{3^{-14}}{3^{-12}}$
Применим свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$2^{-14 - (-16)} \cdot 3^{-14 - (-12)} = 2^{-14+16} \cdot 3^{-14+12} = 2^2 \cdot 3^{-2}$
Вычислим результат:
$4 \cdot \frac{1}{3^2} = 4 \cdot \frac{1}{9} = \frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{4}{9}$.

8)
Найдем значение выражения $\frac{14^5 \cdot 2^{-6}}{28^{-2} \cdot 7^6}$.
Разложим основания на простые множители (2 и 7).
$14 = 2 \cdot 7$, поэтому $14^5 = (2 \cdot 7)^5 = 2^5 \cdot 7^5$.
$28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$, поэтому $28^{-2} = (2^2 \cdot 7)^{-2} = (2^2)^{-2} \cdot 7^{-2} = 2^{-4} \cdot 7^{-2}$.
Подставим в выражение:
$\frac{(2^5 \cdot 7^5) \cdot 2^{-6}}{(2^{-4} \cdot 7^{-2}) \cdot 7^6}$
Упростим числитель и знаменатель, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
Числитель: $2^{5-6} \cdot 7^5 = 2^{-1} \cdot 7^5$.
Знаменатель: $2^{-4} \cdot 7^{-2+6} = 2^{-4} \cdot 7^4$.
Получаем дробь:
$\frac{2^{-1} \cdot 7^5}{2^{-4} \cdot 7^4}$
Разделим степени с одинаковыми основаниями:
$\frac{2^{-1}}{2^{-4}} \cdot \frac{7^5}{7^4} = 2^{-1 - (-4)} \cdot 7^{5-4} = 2^{-1+4} \cdot 7^1 = 2^3 \cdot 7$
Вычислим результат:
$8 \cdot 7 = 56$.
Ответ: 56.

235. Упростите выражение и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем:

1) $ \frac{a^{-2}-5}{a^{-4}+6a^{-2}+9} : \frac{a^{-4}-25}{4a^{-2}+12} + \frac{2}{a^{-2}+5}; $

2) $ (b^{-1} - \frac{8b^{-1}-36}{b^{-1}-4}) \cdot (2b^{-1} - \frac{4b^{-1}}{b^{-1}-4})^{-1}. $

1)

Исходное выражение: $\frac{a^{-2}-5}{a^{-4}+6a^{-2}+9} : \frac{a^{-4}-25}{4a^{-2}+12} + \frac{2}{a^{-2}+5}$.

Для удобства упрощения введем замену переменной. Пусть $x = a^{-2}$. Тогда $x^2 = (a^{-2})^2 = a^{-4}$.

После замены выражение примет вид:

$\frac{x-5}{x^2+6x+9} : \frac{x^2-25}{4x+12} + \frac{2}{x+5}$

Сначала выполним операцию деления. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь.

$\frac{x-5}{x^2+6x+9} \cdot \frac{4x+12}{x^2-25} + \frac{2}{x+5}$

Теперь разложим многочлены в числителях и знаменателях на множители:

• Знаменатель первой дроби: $x^2+6x+9 = (x+3)^2$ (формула квадрата суммы).
• Знаменатель второй дроби: $x^2-25 = (x-5)(x+5)$ (формула разности квадратов).
• Числитель второй дроби: $4x+12 = 4(x+3)$ (вынесение общего множителя).

Подставим полученные разложения в выражение и выполним сокращение:

$\frac{x-5}{(x+3)^2} \cdot \frac{4(x+3)}{(x-5)(x+5)} + \frac{2}{x+5} = \frac{\cancel{x-5}}{(x+3)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{4(\cancel{x+3})}{(\cancel{x-5})(x+5)} + \frac{2}{x+5} = \frac{4}{(x+3)(x+5)} + \frac{2}{x+5}$

Теперь выполним сложение дробей. Для этого приведем их к общему знаменателю $(x+3)(x+5)$:

$\frac{4}{(x+3)(x+5)} + \frac{2(x+3)}{(x+3)(x+5)} = \frac{4 + 2(x+3)}{(x+3)(x+5)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{4 + 2x + 6}{(x+3)(x+5)} = \frac{2x+10}{(x+3)(x+5)}$

Вынесем общий множитель 2 в числителе:

$\frac{2(x+5)}{(x+3)(x+5)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x+5)$:

$\frac{2}{x+3}$

Выполним обратную замену, подставив $a^{-2}$ вместо $x$:

$\frac{2}{a^{-2}+3}$

Чтобы избавиться от отрицательной степени, заменим $a^{-2}$ на $\frac{1}{a^2}$ и упростим полученную многоэтажную дробь:

$\frac{2}{\frac{1}{a^2}+3} = \frac{2}{\frac{1+3a^2}{a^2}} = 2 \cdot \frac{a^2}{1+3a^2} = \frac{2a^2}{1+3a^2}$

Ответ: $\frac{2a^2}{3a^2+1}$

2)

Исходное выражение: $\left(b^{-1} - \frac{8b^{-1}-36}{b^{-1}-4}\right) \cdot \left(2b^{-1} - \frac{4b^{-1}}{b^{-1}-4}\right)^{-1}$.

Введем замену переменной для упрощения. Пусть $y = b^{-1}$.

Выражение после замены:

$\left(y - \frac{8y-36}{y-4}\right) \cdot \left(2y - \frac{4y}{y-4}\right)^{-1}$

Упростим поочередно выражения в каждой из скобок.

Первая скобка:

$y - \frac{8y-36}{y-4} = \frac{y(y-4) - (8y-36)}{y-4} = \frac{y^2-4y-8y+36}{y-4} = \frac{y^2-12y+36}{y-4}$

Числитель $y^2-12y+36$ является полным квадратом $(y-6)^2$.

Итак, первая скобка равна $\frac{(y-6)^2}{y-4}$.

Вторая скобка:

$2y - \frac{4y}{y-4} = \frac{2y(y-4) - 4y}{y-4} = \frac{2y^2-8y-4y}{y-4} = \frac{2y^2-12y}{y-4}$

Вынесем в числителе общий множитель $2y$: $2y(y-6)$.

Итак, вторая скобка равна $\frac{2y(y-6)}{y-4}$.

Подставим упрощенные выражения обратно:

$\frac{(y-6)^2}{y-4} \cdot \left(\frac{2y(y-6)}{y-4}\right)^{-1}$

Возведение в степень -1 означает взятие обратной дроби:

$\frac{(y-6)^2}{y-4} \cdot \frac{y-4}{2y(y-6)}$

Сократим общие множители $(y-4)$ и $(y-6)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{y-6}{2y}$

Выполним обратную замену $y = b^{-1}$:

$\frac{b^{-1}-6}{2b^{-1}}$

Избавимся от отрицательных степеней, подставив $b^{-1}=\frac{1}{b}$:

$\frac{\frac{1}{b}-6}{2 \cdot \frac{1}{b}} = \frac{\frac{1-6b}{b}}{\frac{2}{b}}$

Разделив числитель на знаменатель, получим:

$\frac{1-6b}{b} \cdot \frac{b}{2} = \frac{1-6b}{2}$

Ответ: $\frac{1-6b}{2}$

236. Найдите значение выражения:

1) $-3\sqrt{0.16} + 0.8;$

2) $\frac{1}{9} \cdot (\sqrt{18})^2 - \left(\frac{1}{2}\sqrt{28}\right)^2;$

3) $50 \cdot \left(-\frac{1}{5}\sqrt{3}\right)^2;$

4) $(3\sqrt{8})^2 + (8\sqrt{3})^2;$

5) $0.2\sqrt[3]{1000} - \frac{2}{3}\sqrt[4]{81};$

6) $\sqrt[7]{-128} + 3(\sqrt[9]{9})^9 - 4\sqrt[3]{216};$

7) $5(-\sqrt[6]{6})^6 - 0.4\sqrt[4]{10000} + \left(\frac{1}{3}\sqrt[3]{54}\right)^3;$

8) $\sqrt[4]{7\frac{58}{81}} \cdot \sqrt[3]{-\frac{27}{125}} + (-2\sqrt{13})^2 - (-\sqrt{11})^7.$

1) $-3\sqrt{0,16} + 0,8$
Сначала вычислим значение квадратного корня: $\sqrt{0,16} = 0,4$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение:
$-3 \cdot 0,4 + 0,8 = -1,2 + 0,8 = -0,4$.
Ответ: -0,4

2) $\frac{1}{9} \cdot (\sqrt{18})^2 - (\frac{1}{2}\sqrt{28})^2$
Используем свойство $(\sqrt{a})^2 = a$.
Первое слагаемое: $\frac{1}{9} \cdot (\sqrt{18})^2 = \frac{1}{9} \cdot 18 = 2$.
Второе слагаемое: $(\frac{1}{2}\sqrt{28})^2 = (\frac{1}{2})^2 \cdot (\sqrt{28})^2 = \frac{1}{4} \cdot 28 = 7$.
Выполним вычитание: $2 - 7 = -5$.
Ответ: -5

3) $50 \cdot (-\frac{1}{5}\sqrt{3})^2$
Возведем выражение в скобках в квадрат: $(-\frac{1}{5}\sqrt{3})^2 = (-\frac{1}{5})^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = \frac{1}{25} \cdot 3 = \frac{3}{25}$.
Теперь выполним умножение: $50 \cdot \frac{3}{25} = \frac{50 \cdot 3}{25} = 2 \cdot 3 = 6$.
Ответ: 6

4) $(3\sqrt{8})^2 + (8\sqrt{3})^2$
Возведем в квадрат каждое слагаемое:
Первое слагаемое: $(3\sqrt{8})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{8})^2 = 9 \cdot 8 = 72$.
Второе слагаемое: $(8\sqrt{3})^2 = 8^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 64 \cdot 3 = 192$.
Сложим результаты: $72 + 192 = 264$.
Ответ: 264

5) $0,2\sqrt[3]{1000} - \frac{2}{3}\sqrt[4]{81}$
Вычислим значения корней:
$\sqrt[3]{1000} = 10$, так как $10^3=1000$.
$\sqrt[4]{81} = 3$, так как $3^4=81$.
Подставим значения в выражение:
$0,2 \cdot 10 - \frac{2}{3} \cdot 3 = 2 - 2 = 0$.
Ответ: 0

6) $\sqrt[7]{-128} + 3(\sqrt[9]{9})^9 - 4\sqrt[3]{216}$
Вычислим каждое слагаемое по отдельности:
$\sqrt[7]{-128} = -2$, так как $(-2)^7 = -128$.
$3(\sqrt[9]{9})^9 = 3 \cdot 9 = 27$ по свойству $(\sqrt[n]{a})^n=a$.
$4\sqrt[3]{216} = 4 \cdot 6 = 24$, так как $6^3 = 216$.
Соберем все вместе: $-2 + 27 - 24 = 25 - 24 = 1$.
Ответ: 1

7) $5(-\sqrt[6]{6})^6 - 0,4\sqrt[4]{10000} + (\frac{1}{3}\sqrt[3]{54})^3$
Вычислим каждое слагаемое:
Первое слагаемое: $5(-\sqrt[6]{6})^6 = 5 \cdot ((-1)^6 \cdot (\sqrt[6]{6})^6) = 5 \cdot (1 \cdot 6) = 30$.
Второе слагаемое: $0,4\sqrt[4]{10000} = 0,4 \cdot 10 = 4$, так как $10^4 = 10000$.
Третье слагаемое: $(\frac{1}{3}\sqrt[3]{54})^3 = (\frac{1}{3})^3 \cdot (\sqrt[3]{54})^3 = \frac{1}{27} \cdot 54 = 2$.
Сложим и вычтем полученные значения: $30 - 4 + 2 = 26 + 2 = 28$.
Ответ: 28

8) $\sqrt[4]{7\frac{58}{81}} \cdot \sqrt[3]{-\frac{27}{125}} + (-2\sqrt{13})^2 - (-\sqrt[7]{11})^7$
Разобьем выражение на части и решим по порядку:
1. Вычислим первый множитель: $\sqrt[4]{7\frac{58}{81}} = \sqrt[4]{\frac{7 \cdot 81 + 58}{81}} = \sqrt[4]{\frac{567+58}{81}} = \sqrt[4]{\frac{625}{81}} = \frac{5}{3}$.
2. Вычислим второй множитель: $\sqrt[3]{-\frac{27}{125}} = -\sqrt[3]{\frac{27}{125}} = -\frac{3}{5}$.
3. Перемножим их: $\frac{5}{3} \cdot (-\frac{3}{5}) = -1$.
4. Вычислим второе слагаемое: $(-2\sqrt{13})^2 = (-2)^2 \cdot (\sqrt{13})^2 = 4 \cdot 13 = 52$.
5. Вычислим третье слагаемое: $-(-\sqrt[7]{11})^7 = -(-11) = 11$.
6. Сложим все результаты: $-1 + 52 + 11 = 51 + 11 = 62$.
Ответ: 62

237. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{3-a}$; 3) $\sqrt{a^4+1}$; 5) $\sqrt[9]{a-8}$; 7) $\sqrt[4]{y^2+y}$;

2) $\sqrt{a^2}$; 4) $\sqrt[8]{x+4}$; 6) $\sqrt[6]{-x^2}$; 8) $\sqrt[10]{x^2-2x-8}$?

1) Выражение $\sqrt{3-a}$ является корнем четной степени (квадратный корень, показатель 2), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Составим и решим неравенство:
$3-a \ge 0$
$-a \ge -3$
Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства на противоположный:
$a \le 3$
Выражение имеет смысл при $a \le 3$.
Ответ: $a \le 3$.

2) Выражение $\sqrt{a^2}$ является корнем четной степени, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Составим неравенство:
$a^2 \ge 0$
Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Следовательно, это неравенство выполняется для любого значения $a$.
Ответ: $a$ - любое число.

3) Выражение $\sqrt{a^4+1}$ является корнем четной степени, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Составим неравенство:
$a^4+1 \ge 0$
Так как $a^4 \ge 0$ для любого действительного числа $a$, то $a^4+1 \ge 0+1$, то есть $a^4+1 \ge 1$.
Поскольку $1 > 0$, неравенство $a^4+1 \ge 0$ выполняется для любого значения $a$.
Ответ: $a$ - любое число.

4) Выражение $\sqrt[8]{x+4}$ является корнем четной степени (показатель 8), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Составим и решим неравенство:
$x+4 \ge 0$
$x \ge -4$
Выражение имеет смысл при $x \ge -4$.
Ответ: $x \ge -4$.

5) Выражение $\sqrt[9]{a-8}$ является корнем нечетной степени (показатель 9). Корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения.
Подкоренное выражение $a-8$ определено для любого значения $a$.
Следовательно, выражение имеет смысл при любом значении $a$.
Ответ: $a$ - любое число.

6) Выражение $\sqrt[6]{-x^2}$ является корнем четной степени (показатель 6), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Составим неравенство:
$-x^2 \ge 0$
Мы знаем, что $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$. Умножая на -1, получаем $-x^2 \le 0$.
Таким образом, неравенство $-x^2 \ge 0$ может выполняться только в том случае, когда $-x^2 = 0$, что эквивалентно $x^2=0$.
Это уравнение имеет единственный корень $x=0$.
Ответ: $x=0$.

7) Выражение $\sqrt[4]{y^2+y}$ является корнем четной степени (показатель 4), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Составим и решим неравенство:
$y^2+y \ge 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $y^2+y=0$:
$y(y+1)=0$
$y_1=0$, $y_2=-1$.
Графиком функции $f(y)=y^2+y$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции неотрицательны при значениях аргумента, которые находятся вне интервала между корнями.
Следовательно, $y \le -1$ или $y \ge 0$.
Ответ: $y \le -1$ или $y \ge 0$.

8) Выражение $\sqrt[10]{x^2-2x-8}$ является корнем четной степени (показатель 10), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Составим и решим неравенство:
$x^2-2x-8 \ge 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2-2x-8=0$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}$
$x_1 = \frac{2+6}{2} = 4$
$x_2 = \frac{2-6}{2} = -2$
Графиком функции $f(x)=x^2-2x-8$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции неотрицательны при значениях аргумента, которые находятся вне интервала между корнями.
Следовательно, $x \le -2$ или $x \ge 4$.
Ответ: $x \le -2$ или $x \ge 4$.

238. Решите уравнение:

1) $x^2 = 7;$

2) $x^2 = -16;$

3) $x^7 = 9;$

4) $x^5 = -2;$

5) $x^4 = 16;$

6) $x^6 = 5.$

1) Дано уравнение $x^2=7$. Это уравнение вида $x^n=a$, где показатель степени $n$ — четное число ($n=2$), а правая часть $a$ — положительное число ($a=7$). Такое уравнение имеет два действительных корня, которые находятся извлечением корня степени $n$ из числа $a$. В данном случае, извлекаем квадратный корень из 7.
$x = \pm\sqrt{7}$.
Ответ: $x_1 = \sqrt{7}$, $x_2 = -\sqrt{7}$.

2) Дано уравнение $x^2=-16$. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$. Поскольку правая часть уравнения отрицательна ($-16$), уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.
Ответ: нет действительных корней.

3) Дано уравнение $x^7=9$. В этом уравнении показатель степени $n$ — нечетное число ($n=7$). Уравнение вида $x^n=a$ при нечетном $n$ всегда имеет один действительный корень, равный $\sqrt[n]{a}$, независимо от знака $a$.
$x = \sqrt[7]{9}$.
Ответ: $x = \sqrt[7]{9}$.

4) Дано уравнение $x^5=-2$. Здесь показатель степени $n$ — нечетное число ($n=5$). Как и в предыдущем случае, уравнение имеет один действительный корень.
$x = \sqrt[5]{-2}$.
Корень нечетной степени из отрицательного числа можно вынести за знак корня: $\sqrt[5]{-2} = -\sqrt[5]{2}$.
Ответ: $x = -\sqrt[5]{2}$.

5) Дано уравнение $x^4=16$. Это уравнение с четным показателем степени ($n=4$) и положительной правой частью ($a=16$). Уравнение имеет два действительных корня.
$x = \pm\sqrt[4]{16}$.
Поскольку $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$, то $\sqrt[4]{16} = 2$.
Следовательно, $x = \pm 2$.
Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

6) Дано уравнение $x^6=5$. В этом уравнении показатель степени $n$ — четное число ($n=6$), а правая часть $a$ — положительное число ($a=5$). Уравнение имеет два действительных корня.
$x = \pm\sqrt[6]{5}$.
Так как 5 не является точной шестой степенью целого числа, ответ остается в иррациональном виде.
Ответ: $x_1 = \sqrt[6]{5}$, $x_2 = -\sqrt[6]{5}$.

239. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{0,1} \cdot \sqrt{0,4}$;

2) $\frac{\sqrt{180}}{\sqrt{5}}$;

3) $\sqrt{\sqrt{29} - 5} \cdot \sqrt{\sqrt{29} + 5}$;

4) $\sqrt[4]{125} \cdot \sqrt[4]{5}$;

5) $\sqrt[6]{32} \cdot \sqrt[6]{2}$;

6) $\sqrt[9]{27} \cdot 7^4 \cdot \sqrt[9]{75} \cdot 2^{20}$;

7) $\frac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{250}}$;

8) $\sqrt[5]{\sqrt{17} - 7} \cdot \sqrt[5]{\sqrt{17} + 7}$.

1) Для нахождения значения выражения воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{0,1} \cdot \sqrt{0,4} = \sqrt{0,1 \cdot 0,4} = \sqrt{0,04}$.
Квадратный корень из $0,04$ равен $0,2$, так как $0,2^2 = 0,04$.
$\sqrt{0,04} = 0,2$.
Ответ: 0,2.

2) Применим свойство частного корней одинаковой степени: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt{180}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{180}{5}} = \sqrt{36}$.
Квадратный корень из $36$ равен $6$.
$\sqrt{36} = 6$.
Ответ: 6.

3) Воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{\sqrt{29} - 5} \cdot \sqrt{\sqrt{29} + 5} = \sqrt{(\sqrt{29} - 5) \cdot (\sqrt{29} + 5)}$.
Выражение в скобках является разностью квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.
$(\sqrt{29} - 5) \cdot (\sqrt{29} + 5) = (\sqrt{29})^2 - 5^2 = 29 - 25 = 4$.
Таким образом, получаем $\sqrt{4} = 2$.
Ответ: 2.

4) Используем свойство произведения корней n-ной степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$\sqrt[4]{125} \cdot \sqrt[4]{5} = \sqrt[4]{125 \cdot 5} = \sqrt[4]{625}$.
Поскольку $5^4 = 625$, то $\sqrt[4]{625} = 5$.
Ответ: 5.

5) Применим свойство произведения корней n-ной степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$\sqrt[6]{32} \cdot \sqrt[6]{2} = \sqrt[6]{32 \cdot 2} = \sqrt[6]{64}$.
Поскольку $2^6 = 64$, то $\sqrt[6]{64} = 2$.
Ответ: 2.

6) Используем свойство произведения корней n-ной степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$ и свойства степеней.
$\sqrt[9]{2^7 \cdot 7^4} \cdot \sqrt[9]{7^5 \cdot 2^{20}} = \sqrt[9]{(2^7 \cdot 7^4) \cdot (7^5 \cdot 2^{20})}$.
Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями: $\sqrt[9]{(2^7 \cdot 2^{20}) \cdot (7^4 \cdot 7^5)}$.
Используя свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, получаем: $\sqrt[9]{2^{7+20} \cdot 7^{4+5}} = \sqrt[9]{2^{27} \cdot 7^9}$.
Далее, используя свойства $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$ и $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:
$\sqrt[9]{2^{27}} \cdot \sqrt[9]{7^9} = 2^{\frac{27}{9}} \cdot 7^{\frac{9}{9}} = 2^3 \cdot 7^1 = 8 \cdot 7 = 56$.
Ответ: 56.

7) Применим свойство частного корней n-ной степени: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{250}} = \sqrt[3]{\frac{54}{250}}$.
Сократим дробь под корнем, разделив числитель и знаменатель на 2: $\frac{54}{250} = \frac{27}{125}$.
Получаем $\sqrt[3]{\frac{27}{125}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$.

8) Используем свойство произведения корней n-ной степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$\sqrt[5]{\sqrt{17} - 7} \cdot \sqrt[5]{\sqrt{17} + 7} = \sqrt[5]{(\sqrt{17} - 7) \cdot (\sqrt{17} + 7)}$.
Выражение в скобках является разностью квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.
$(\sqrt{17} - 7) \cdot (\sqrt{17} + 7) = (\sqrt{17})^2 - 7^2 = 17 - 49 = -32$.
Получаем $\sqrt[5]{-32}$.
Поскольку $(-2)^5 = -32$, то $\sqrt[5]{-32} = -2$.
Ответ: -2.