Номер 234, страница 233 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Степени и корни. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 234, страница 233.

234. Найдите значение выражения:

1) $ \frac{3^{12} \cdot 27^3}{9^9} $;

2) $ (5\frac{1}{3})^8 \cdot (\frac{3}{16})^7 $;

3) $ 100^{-2} : 1000^{-6} \cdot 0.01^8 $;

4) $ (2\frac{1}{4})^{-4} \cdot ((\frac{2}{3})^3)^{-3} $;

5) $ (0.2^{-3})^{-2} : 25^{-4} $;

6) $ \frac{(-36)^{-3} \cdot 6^7}{216^{-5} \cdot (-6)^{18}} $;

7) $ \frac{6^{-14}}{81^{-3} \cdot 16^{-4}} $;

8) $ \frac{14^5 \cdot 2^{-6}}{28^{-2} \cdot 7^6} $.

1)
Для того, чтобы найти значение выражения $\frac{3^{12} \cdot 27^3}{9^9}$, приведем все степени к одному основанию — 3.
Мы знаем, что $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{3^{12} \cdot (3^3)^3}{(3^2)^9}$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, упростим числитель и знаменатель:
$\frac{3^{12} \cdot 3^{3 \cdot 3}}{3^{2 \cdot 9}} = \frac{3^{12} \cdot 3^9}{3^{18}}$
Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ в числителе, получим:
$\frac{3^{12+9}}{3^{18}} = \frac{3^{21}}{3^{18}}$
Используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получим окончательный результат:
$3^{21-18} = 3^3 = 27$.
Ответ: 27.

2)
Рассмотрим выражение $(5\frac{1}{3})^8 \cdot (\frac{3}{16})^7$. Предполагаем, что $5\frac{1}{3}$ — это смешанное число.
Переведем смешанное число в неправильную дробь: $5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3}$.
Подставим это значение в выражение:
$(\frac{16}{3})^8 \cdot (\frac{3}{16})^7$
Используем свойство $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:
$\frac{16^8}{3^8} \cdot \frac{3^7}{16^7}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$\frac{16^8}{16^7} \cdot \frac{3^7}{3^8}$
Применяя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем:
$16^{8-7} \cdot 3^{7-8} = 16^1 \cdot 3^{-1}$
Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$16 \cdot \frac{1}{3} = \frac{16}{3}$.
Ответ: $\frac{16}{3}$.

3)
Найдем значение выражения $100^{-2} : 1000^{-6} \cdot 0.01^8$.
Приведем все числа к основанию 10:
$100 = 10^2$
$1000 = 10^3$
$0.01 = \frac{1}{100} = 10^{-2}$
Подставим эти значения в выражение:
$(10^2)^{-2} : (10^3)^{-6} \cdot (10^{-2})^8$
Упростим степени, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$10^{-4} : 10^{-18} \cdot 10^{-16}$
Выполним операции по порядку. Сначала деление:
$10^{-4} : 10^{-18} = 10^{-4 - (-18)} = 10^{-4+18} = 10^{14}$
Затем умножение:
$10^{14} \cdot 10^{-16} = 10^{14-16} = 10^{-2} = \frac{1}{100} = 0.01$.
Ответ: 0.01.

4)
Найдем значение выражения $(2\frac{1}{4})^{-4} \cdot ((\frac{2}{3})^3)^{-3}$.
Переведем смешанное число $2\frac{1}{4}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$.
Выражение принимает вид:
$(\frac{9}{4})^{-4} \cdot ((\frac{2}{3})^3)^{-3}$
Упростим каждый множитель. Для первого множителя используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{9}{4})^{-4} = (\frac{4}{9})^4$. Заметим, что $\frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^2$.
Тогда $(\frac{4}{9})^4 = ((\frac{2}{3})^2)^4 = (\frac{2}{3})^{2 \cdot 4} = (\frac{2}{3})^8$.
Для второго множителя используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$((\frac{2}{3})^3)^{-3} = (\frac{2}{3})^{3 \cdot (-3)} = (\frac{2}{3})^{-9}$.
Теперь перемножим полученные результаты:
$(\frac{2}{3})^8 \cdot (\frac{2}{3})^{-9} = (\frac{2}{3})^{8-9} = (\frac{2}{3})^{-1} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

5)
Найдем значение выражения $(0.2^{-3})^{-2} : 25^{-4}$.
Приведем все числа к основанию 5.
$0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$
$25 = 5^2$
Подставим эти значения в выражение:
$((5^{-1})^{-3})^{-2} : (5^2)^{-4}$
Упростим каждую часть, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(5^{(-1) \cdot (-3)})^{-2} : 5^{2 \cdot (-4)} = (5^3)^{-2} : 5^{-8} = 5^{3 \cdot (-2)} : 5^{-8} = 5^{-6} : 5^{-8}$
Выполним деление:
$5^{-6 - (-8)} = 5^{-6+8} = 5^2 = 25$.
Ответ: 25.

6)
Найдем значение выражения $\frac{(-36)^{-3} \cdot 6^7}{216^{-5} \cdot (-6)^{18}}$.
Приведем все основания к степени числа 6.
$-36 = -1 \cdot 6^2$. Тогда $(-36)^{-3} = (-1 \cdot 6^2)^{-3} = (-1)^{-3} \cdot (6^2)^{-3} = -1 \cdot 6^{-6} = -6^{-6}$.
$216 = 6^3$. Тогда $216^{-5} = (6^3)^{-5} = 6^{-15}$.
$(-6)^{18} = (-1 \cdot 6)^{18} = (-1)^{18} \cdot 6^{18} = 1 \cdot 6^{18} = 6^{18}$ (так как 18 - четное число).
Подставим преобразованные значения в дробь:
$\frac{-6^{-6} \cdot 6^7}{6^{-15} \cdot 6^{18}}$
Упростим числитель: $-6^{-6} \cdot 6^7 = -1 \cdot 6^{-6+7} = -6^1 = -6$.
Упростим знаменатель: $6^{-15} \cdot 6^{18} = 6^{-15+18} = 6^3$.
Получаем дробь:
$\frac{-6}{6^3} = -6^{1-3} = -6^{-2} = -\frac{1}{6^2} = -\frac{1}{36}$.
Ответ: $-\frac{1}{36}$.

7)
Найдем значение выражения $\frac{6^{-14}}{81^{-3} \cdot 16^{-4}}$.
Разложим основания на простые множители (2 и 3).
$6 = 2 \cdot 3$, поэтому $6^{-14} = (2 \cdot 3)^{-14} = 2^{-14} \cdot 3^{-14}$.
$81 = 3^4$, поэтому $81^{-3} = (3^4)^{-3} = 3^{-12}$.
$16 = 2^4$, поэтому $16^{-4} = (2^4)^{-4} = 2^{-16}$.
Подставим в выражение:
$\frac{2^{-14} \cdot 3^{-14}}{3^{-12} \cdot 2^{-16}}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$\frac{2^{-14}}{2^{-16}} \cdot \frac{3^{-14}}{3^{-12}}$
Применим свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$2^{-14 - (-16)} \cdot 3^{-14 - (-12)} = 2^{-14+16} \cdot 3^{-14+12} = 2^2 \cdot 3^{-2}$
Вычислим результат:
$4 \cdot \frac{1}{3^2} = 4 \cdot \frac{1}{9} = \frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{4}{9}$.

8)
Найдем значение выражения $\frac{14^5 \cdot 2^{-6}}{28^{-2} \cdot 7^6}$.
Разложим основания на простые множители (2 и 7).
$14 = 2 \cdot 7$, поэтому $14^5 = (2 \cdot 7)^5 = 2^5 \cdot 7^5$.
$28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$, поэтому $28^{-2} = (2^2 \cdot 7)^{-2} = (2^2)^{-2} \cdot 7^{-2} = 2^{-4} \cdot 7^{-2}$.
Подставим в выражение:
$\frac{(2^5 \cdot 7^5) \cdot 2^{-6}}{(2^{-4} \cdot 7^{-2}) \cdot 7^6}$
Упростим числитель и знаменатель, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
Числитель: $2^{5-6} \cdot 7^5 = 2^{-1} \cdot 7^5$.
Знаменатель: $2^{-4} \cdot 7^{-2+6} = 2^{-4} \cdot 7^4$.
Получаем дробь:
$\frac{2^{-1} \cdot 7^5}{2^{-4} \cdot 7^4}$
Разделим степени с одинаковыми основаниями:
$\frac{2^{-1}}{2^{-4}} \cdot \frac{7^5}{7^4} = 2^{-1 - (-4)} \cdot 7^{5-4} = 2^{-1+4} \cdot 7^1 = 2^3 \cdot 7$
Вычислим результат:
$8 \cdot 7 = 56$.
Ответ: 56.