Номер 235, страница 233 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Степени и корни. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 235, страница 233.

235. Упростите выражение и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем:

1) $ \frac{a^{-2}-5}{a^{-4}+6a^{-2}+9} : \frac{a^{-4}-25}{4a^{-2}+12} + \frac{2}{a^{-2}+5}; $

2) $ (b^{-1} - \frac{8b^{-1}-36}{b^{-1}-4}) \cdot (2b^{-1} - \frac{4b^{-1}}{b^{-1}-4})^{-1}. $

1)

Исходное выражение: $\frac{a^{-2}-5}{a^{-4}+6a^{-2}+9} : \frac{a^{-4}-25}{4a^{-2}+12} + \frac{2}{a^{-2}+5}$.

Для удобства упрощения введем замену переменной. Пусть $x = a^{-2}$. Тогда $x^2 = (a^{-2})^2 = a^{-4}$.

После замены выражение примет вид:

$\frac{x-5}{x^2+6x+9} : \frac{x^2-25}{4x+12} + \frac{2}{x+5}$

Сначала выполним операцию деления. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь.

$\frac{x-5}{x^2+6x+9} \cdot \frac{4x+12}{x^2-25} + \frac{2}{x+5}$

Теперь разложим многочлены в числителях и знаменателях на множители:

• Знаменатель первой дроби: $x^2+6x+9 = (x+3)^2$ (формула квадрата суммы).
• Знаменатель второй дроби: $x^2-25 = (x-5)(x+5)$ (формула разности квадратов).
• Числитель второй дроби: $4x+12 = 4(x+3)$ (вынесение общего множителя).

Подставим полученные разложения в выражение и выполним сокращение:

$\frac{x-5}{(x+3)^2} \cdot \frac{4(x+3)}{(x-5)(x+5)} + \frac{2}{x+5} = \frac{\cancel{x-5}}{(x+3)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{4(\cancel{x+3})}{(\cancel{x-5})(x+5)} + \frac{2}{x+5} = \frac{4}{(x+3)(x+5)} + \frac{2}{x+5}$

Теперь выполним сложение дробей. Для этого приведем их к общему знаменателю $(x+3)(x+5)$:

$\frac{4}{(x+3)(x+5)} + \frac{2(x+3)}{(x+3)(x+5)} = \frac{4 + 2(x+3)}{(x+3)(x+5)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{4 + 2x + 6}{(x+3)(x+5)} = \frac{2x+10}{(x+3)(x+5)}$

Вынесем общий множитель 2 в числителе:

$\frac{2(x+5)}{(x+3)(x+5)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x+5)$:

$\frac{2}{x+3}$

Выполним обратную замену, подставив $a^{-2}$ вместо $x$:

$\frac{2}{a^{-2}+3}$

Чтобы избавиться от отрицательной степени, заменим $a^{-2}$ на $\frac{1}{a^2}$ и упростим полученную многоэтажную дробь:

$\frac{2}{\frac{1}{a^2}+3} = \frac{2}{\frac{1+3a^2}{a^2}} = 2 \cdot \frac{a^2}{1+3a^2} = \frac{2a^2}{1+3a^2}$

Ответ: $\frac{2a^2}{3a^2+1}$

2)

Исходное выражение: $\left(b^{-1} - \frac{8b^{-1}-36}{b^{-1}-4}\right) \cdot \left(2b^{-1} - \frac{4b^{-1}}{b^{-1}-4}\right)^{-1}$.

Введем замену переменной для упрощения. Пусть $y = b^{-1}$.

Выражение после замены:

$\left(y - \frac{8y-36}{y-4}\right) \cdot \left(2y - \frac{4y}{y-4}\right)^{-1}$

Упростим поочередно выражения в каждой из скобок.

Первая скобка:

$y - \frac{8y-36}{y-4} = \frac{y(y-4) - (8y-36)}{y-4} = \frac{y^2-4y-8y+36}{y-4} = \frac{y^2-12y+36}{y-4}$

Числитель $y^2-12y+36$ является полным квадратом $(y-6)^2$.

Итак, первая скобка равна $\frac{(y-6)^2}{y-4}$.

Вторая скобка:

$2y - \frac{4y}{y-4} = \frac{2y(y-4) - 4y}{y-4} = \frac{2y^2-8y-4y}{y-4} = \frac{2y^2-12y}{y-4}$

Вынесем в числителе общий множитель $2y$: $2y(y-6)$.

Итак, вторая скобка равна $\frac{2y(y-6)}{y-4}$.

Подставим упрощенные выражения обратно:

$\frac{(y-6)^2}{y-4} \cdot \left(\frac{2y(y-6)}{y-4}\right)^{-1}$

Возведение в степень -1 означает взятие обратной дроби:

$\frac{(y-6)^2}{y-4} \cdot \frac{y-4}{2y(y-6)}$

Сократим общие множители $(y-4)$ и $(y-6)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{y-6}{2y}$

Выполним обратную замену $y = b^{-1}$:

$\frac{b^{-1}-6}{2b^{-1}}$

Избавимся от отрицательных степеней, подставив $b^{-1}=\frac{1}{b}$:

$\frac{\frac{1}{b}-6}{2 \cdot \frac{1}{b}} = \frac{\frac{1-6b}{b}}{\frac{2}{b}}$

Разделив числитель на знаменатель, получим:

$\frac{1-6b}{b} \cdot \frac{b}{2} = \frac{1-6b}{2}$

Ответ: $\frac{1-6b}{2}$