Номер 231, страница 232 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Степени и корни - номер 231, страница 232.

Учебник.

231. Чему равно значение выражения:

1) $5^{-2} + 5^{-1}$;

2) $6^{-2} - 12^{-1}$;

3) $0,08^{0} + 0,9^{0}$;

4) $(4 \cdot 2^{-3} - 10^{-1})^{-1}$?

Решение 2.

1) Для вычисления значения выражения $5^{-2} + 5^{-1}$ воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Применяя это свойство, получаем:
$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$
$5^{-1} = \frac{1}{5^1} = \frac{1}{5}$
Теперь сложим полученные дроби. Для этого приведем их к общему знаменателю, который равен 25.
$\frac{1}{25} + \frac{1}{5} = \frac{1}{25} + \frac{1 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{1}{25} + \frac{5}{25} = \frac{1+5}{25} = \frac{6}{25}$.
Ответ можно также представить в виде десятичной дроби: $6 \div 25 = 0,24$.
Ответ: $\frac{6}{25}$.

2) Для вычисления значения выражения $6^{-2} - 12^{-1}$ также используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$6^{-2} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}$
$12^{-1} = \frac{1}{12^1} = \frac{1}{12}$
Выполним вычитание, приведя дроби к общему знаменателю 36.
$\frac{1}{36} - \frac{1}{12} = \frac{1}{36} - \frac{1 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{1}{36} - \frac{3}{36} = \frac{1-3}{36} = -\frac{2}{36}$.
Сократим полученную дробь:
$-\frac{2}{36} = -\frac{1}{18}$.
Ответ: $-\frac{1}{18}$.

3) Для вычисления значения выражения $0,08^0 + 0,9^0$ воспользуемся свойством нулевой степени: любое число (кроме нуля), возведенное в нулевую степень, равно единице ($a^0 = 1$ при $a \neq 0$).
$0,08^0 = 1$
$0,9^0 = 1$
Следовательно:
$1 + 1 = 2$.
Ответ: 2.

4) Для вычисления значения выражения $(4 \cdot 2^{-3} - 10^{-1})^{-1}$ сначала выполним действия в скобках.
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
$10^{-1} = \frac{1}{10}$
Подставим эти значения в выражение в скобках:
$4 \cdot \frac{1}{8} - \frac{1}{10} = \frac{4}{8} - \frac{1}{10} = \frac{1}{2} - \frac{1}{10}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 10:
$\frac{1}{2} - \frac{1}{10} = \frac{5}{10} - \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
Теперь возведем полученный результат в степень -1, используя свойство $(\frac{a}{b})^{-1} = \frac{b}{a}$:
$(\frac{2}{5})^{-1} = \frac{5}{2} = 2,5$.
Ответ: 2,5.