Номер 226, страница 232 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Числовые неравенства и их свойства. Линейные и квадратичные неравенства и их системы. Метод интервалов. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 226, страница 232.

226. Найдите множество решений неравенства:

1) $x^2 - 7|x| - 30 < 0;$

2) $6x^2 + 5|x| - 1 \ge 0.$

1) $x^2 - 7|x| - 30 < 0$

Поскольку $x^2 = |x|^2$, мы можем переписать данное неравенство в виде $|x|^2 - 7|x| - 30 < 0$.

Это квадратное неравенство относительно $|x|$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x|$. Так как модуль любого числа является неотрицательной величиной, то должно выполняться условие $t \ge 0$.

Подставив $t$ в неравенство, получим:

$t^2 - 7t - 30 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - 7t - 30 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-(-7) - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 13}{2} = -3$

$t_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 13}{2} = 10$

Графиком функции $y = t^2 - 7t - 30$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции меньше нуля при $t$, находящихся между корнями: $-3 < t < 10$.

Теперь необходимо учесть условие $t \ge 0$. Составим систему:

$\begin{cases} -3 < t < 10 \\ t \ge 0 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $0 \le t < 10$.

Выполним обратную замену, подставив $t = |x|$:

$0 \le |x| < 10$

Неравенство $|x| \ge 0$ выполняется для любого действительного числа $x$. Таким образом, остается решить неравенство $|x| < 10$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству $-10 < x < 10$.

Ответ: $x \in (-10, 10)$.

2) $6x^2 + 5|x| - 1 \ge 0$

Так как $x^2 = |x|^2$, перепишем неравенство: $6|x|^2 + 5|x| - 1 \ge 0$.

Введем замену переменной $t = |x|$, где $t \ge 0$.

Получим квадратное неравенство относительно $t$:

$6t^2 + 5t - 1 \ge 0$

Найдем корни уравнения $6t^2 + 5t - 1 = 0$.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 6} = \frac{-12}{12} = -1$

$t_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

Графиком функции $y = 6t^2 + 5t - 1$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции больше или равны нулю, когда $t$ находится за пределами корней (включая сами корни): $t \le -1$ или $t \ge \frac{1}{6}$.

Учтем ограничение $t \ge 0$:

$\begin{cases} t \le -1 \text{ или } t \ge \frac{1}{6} \\ t \ge 0 \end{cases}$

Система $t \le -1$ и $t \ge 0$ не имеет решений. Система $t \ge \frac{1}{6}$ и $t \ge 0$ дает решение $t \ge \frac{1}{6}$.

Следовательно, решением для $t$ является $t \ge \frac{1}{6}$.

Вернемся к переменной $x$ через обратную замену $t = |x|$:

$|x| \ge \frac{1}{6}$

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$x \ge \frac{1}{6}$ или $x \le -\frac{1}{6}$.

Множество решений — это объединение двух лучей.

Ответ: $x \in (-\infty, -1/6] \cup [1/6, \infty)$.