Номер 220, страница 231 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Числовые неравенства и их свойства. Линейные и квадратичные неравенства и их системы. Метод интервалов. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 220, страница 231.

220. Сколько целых решений имеет неравенство:

1) $20 + 8x - x^2 > 0;$

2) $4x^2 - 17x + 4 \le 0?$

1) Чтобы найти количество целых решений неравенства $20 + 8x - x^2 > 0$, сначала решим это неравенство. Для удобства умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный: $x^2 - 8x - 20 < 0$.
Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 8x - 20 = 0$. Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 = 12^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 12}{2} = -2$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 12}{2} = 10$.
Графиком функции $y = x^2 - 8x - 20$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции меньше нуля ( $y < 0$ ) находятся на интервале между корнями. Следовательно, решение неравенства: $x \in (-2; 10)$.
Теперь найдем все целые числа, принадлежащие этому интервалу: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Подсчитаем их количество: $9 - (-1) + 1 = 11$.
Ответ: 11.

2) Решим неравенство $4x^2 - 17x + 4 \le 0$. Сначала найдем корни квадратного уравнения $4x^2 - 17x + 4 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$.
Графиком функции $y = 4x^2 - 17x + 4$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции меньше или равны нулю ( $y \le 0$ ) находятся на отрезке между корнями, включая сами корни. Следовательно, решение неравенства: $x \in [\frac{1}{4}; 4]$.
Найдем все целые числа, принадлежащие этому отрезку. Это числа, которые больше или равны $\frac{1}{4}$ (т.е. 0.25) и меньше или равны 4: 1, 2, 3, 4.
Всего таких чисел 4.
Ответ: 4.