Номер 215, страница 231 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Числовые неравенства и их свойства. Линейные и квадратичные неравенства и их системы. Метод интервалов - номер 215, страница 231.

Учебник.

215. При каких значениях $a$ имеет хотя бы одно решение система неравенств:

1) $ \begin{cases} x \ge 6, \\ x < a; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x \le 6, \\ x \ge a? \end{cases} $

Решение 2.

1) Чтобы система неравенств $ \begin{cases} x \ge 6, \\ x < a \end{cases} $ имела хотя бы одно решение, необходимо, чтобы пересечение множеств решений этих двух неравенств было непустым.
Первое неравенство $x \ge 6$ задает луч $[6, +\infty)$.
Второе неравенство $x < a$ задает луч $(-\infty, a)$.
Решением системы является пересечение этих лучей, то есть интервал $[6, a)$.
Для того чтобы этот интервал не был пустым, его правая граница $a$ должна быть строго больше левой границы 6.
Таким образом, должно выполняться неравенство $a > 6$. Если $a \le 6$, то пересечение множеств пусто, и решений нет.

Ответ: $a > 6$

2) Чтобы система неравенств $ \begin{cases} x \le 6, \\ x \ge a \end{cases} $ имела хотя бы одно решение, необходимо, чтобы пересечение множеств решений этих двух неравенств было непустым.
Первое неравенство $x \le 6$ задает луч $(-\infty, 6]$.
Второе неравенство $x \ge a$ задает луч $[a, +\infty)$.
Решением системы является пересечение этих лучей, то есть отрезок $[a, 6]$.
Для того чтобы этот отрезок не был пустым (состоял хотя бы из одной точки), его левая граница $a$ должна быть меньше или равна правой границе 6.
Таким образом, должно выполняться неравенство $a \le 6$. Если $a > 6$, то пересечение множеств пусто, и решений нет.

Ответ: $a \le 6$