Номер 213, страница 231 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Числовые неравенства и их свойства. Линейные и квадратичные неравенства и их системы. Метод интервалов. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 213, страница 231.

213. Найдите целые решения системы неравенств:

1) $\begin{cases} 6x - 7 < 3x + 17, \\ 8 - 2x > 14 - 5x; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 6x + 20 \ge x + 5, \\ 2x + 2 \ge 4x - 4; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 5x - 1 > 2x + 4, \\ 6x - 5 \le 13 - x. \end{cases}$

1)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство: $6x - 7 < 3x + 17$.

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$6x - 3x < 17 + 7$

$3x < 24$

Разделим обе части на 3:

$x < 8$

Второе неравенство: $8 - 2x > 14 - 5x$.

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$-2x + 5x > 14 - 8$

$3x > 6$

Разделим обе части на 3:

$x > 2$

Мы получили систему из двух простых неравенств: $\begin{cases} x < 8 \\ x > 2 \end{cases}$.

Решением системы является пересечение промежутков, то есть $2 < x < 8$.

Целые решения, принадлежащие этому интервалу: 3, 4, 5, 6, 7.

Ответ: 3, 4, 5, 6, 7.

2)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство: $6x + 20 \ge x + 5$.

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$6x - x \ge 5 - 20$

$5x \ge -15$

Разделим обе части на 5:

$x \ge -3$

Второе неравенство: $2x + 2 \ge 4x - 4$.

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$2x - 4x \ge -4 - 2$

$-2x \ge -6$

Разделим обе части на -2, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x \le 3$

Мы получили систему из двух простых неравенств: $\begin{cases} x \ge -3 \\ x \le 3 \end{cases}$.

Решением системы является пересечение промежутков, то есть $-3 \le x \le 3$.

Целые решения, принадлежащие этому отрезку: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

3)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство: $5x - 1 > 2x + 4$.

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$5x - 2x > 4 + 1$

$3x > 5$

Разделим обе части на 3:

$x > \frac{5}{3}$

Второе неравенство: $6x - 5 \le 13 - x$.

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$6x + x \le 13 + 5$

$7x \le 18$

Разделим обе части на 7:

$x \le \frac{18}{7}$

Мы получили систему из двух простых неравенств: $\begin{cases} x > \frac{5}{3} \\ x \le \frac{18}{7} \end{cases}$.

Решением системы является пересечение промежутков: $\frac{5}{3} < x \le \frac{18}{7}$.

Чтобы найти целые решения, преобразуем дроби в смешанные числа: $1\frac{2}{3} < x \le 2\frac{4}{7}$.

Единственное целое число, которое удовлетворяет этому условию, — это 2.

Ответ: 2.