Номер 219, страница 231 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Числовые неравенства и их свойства. Линейные и квадратичные неравенства и их системы. Метод интервалов. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 219, страница 231.

219. Решите неравенство:

1) $x^2 - 6x - 7 < 0;$

2) $x^2 + 2x - 48 \ge 0;$

3) $-x^2 + 6x - 5 > 0;$

4) $-x^2 - 4x - 3 < 0;$

5) $3x^2 - 7x + 4 \le 0;$

6) $2x^2 - 3x + 1 > 0;$

7) $4x^2 - 16x \le 0;$

8) $4x^2 - 49 > 0;$

9) $2x^2 - x + 1 > 0;$

10) $3x^2 - 4x + 2 \le 0;$

11) $(2x + 1)^2 - (x + 1)(x - 7) \le 5;$

12) $\frac{x - 1}{2} - 2x + 3 < \frac{x^2 + 3x}{4}.$

1) Решим неравенство $x^2 - 6x - 7 < 0$.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$. Для этого вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{6 \pm 8}{2}$.

Таким образом, $x_1 = \frac{6 - 8}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{6 + 8}{2} = 7$.

Графиком функции $y = x^2 - 6x - 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$). Значения функции меньше нуля на интервале между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-1 < x < 7$.

Ответ: $x \in (-1; 7)$.

2) Решим неравенство $x^2 + 2x - 48 \geq 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 48 = 0$. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{-2 \pm 14}{2}$.

Таким образом, $x_1 = \frac{-2 - 14}{2} = -8$ и $x_2 = \frac{-2 + 14}{2} = 6$.

Ветви параболы $y = x^2 + 2x - 48$ направлены вверх ($a=1>0$). Значения функции больше или равны нулю при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства: $x \leq -8$ или $x \geq 6$.

Ответ: $x \in (-\infty; -8] \cup [6; \infty)$.

3) Решим неравенство $-x^2 + 6x - 5 > 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 6x + 5 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 6$ и $x_1 \cdot x_2 = 5$, откуда $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Ветви параболы $y = x^2 - 6x + 5$ направлены вверх ($a=1>0$). Значения функции меньше нуля на интервале между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $1 < x < 5$.

Ответ: $x \in (1; 5)$.

4) Решим неравенство $-x^2 - 4x - 3 < 0$.

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства: $x^2 + 4x + 3 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -4$ и $x_1 \cdot x_2 = 3$, откуда $x_1 = -3$ и $x_2 = -1$.

Ветви параболы $y = x^2 + 4x + 3$ направлены вверх ($a=1>0$). Значения функции больше нуля вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x < -3$ или $x > -1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-1; \infty)$.

5) Решим неравенство $3x^2 - 7x + 4 \leq 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2 - 7x + 4 = 0$. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm 1}{6}$.

Таким образом, $x_1 = \frac{7-1}{6} = 1$ и $x_2 = \frac{7+1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.

Ветви параболы $y = 3x^2 - 7x + 4$ направлены вверх ($a=3>0$). Значения функции меньше или равны нулю на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства: $1 \leq x \leq \frac{4}{3}$.

Ответ: $x \in [1; \frac{4}{3}]$.

6) Решим неравенство $2x^2 - 3x + 1 > 0$.

Найдем корни уравнения $2x^2 - 3x + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 1}{4}$.

Таким образом, $x_1 = \frac{3-1}{4} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{3+1}{4} = 1$.

Ветви параболы $y = 2x^2 - 3x + 1$ направлены вверх ($a=2>0$). Значения функции больше нуля вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x < \frac{1}{2}$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (1; \infty)$.

7) Решим неравенство $4x^2 - 16x \leq 0$.

Разложим левую часть на множители: $4x(x - 4) \leq 0$.

Найдем корни уравнения $4x(x - 4) = 0$, откуда $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Ветви параболы $y = 4x^2 - 16x$ направлены вверх ($a=4>0$). Значения функции меньше или равны нулю на отрезке между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $0 \leq x \leq 4$.

Ответ: $x \in [0; 4]$.

8) Решим неравенство $4x^2 - 49 > 0$.

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(2x - 7)(2x + 7) > 0$.

Найдем корни уравнения $(2x - 7)(2x + 7) = 0$, откуда $x_1 = -\frac{7}{2}$ и $x_2 = \frac{7}{2}$.

Ветви параболы $y = 4x^2 - 49$ направлены вверх ($a=4>0$). Значения функции больше нуля вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x < -\frac{7}{2}$ или $x > \frac{7}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{7}{2}) \cup (\frac{7}{2}; \infty)$.

9) Решим неравенство $2x^2 - x + 1 > 0$.

Найдем дискриминант уравнения $2x^2 - x + 1 = 0$. $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7$.

Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a=2>0$, парабола $y = 2x^2 - x + 1$ полностью лежит выше оси Ox и не имеет с ней точек пересечения. Это означает, что выражение $2x^2 - x + 1$ всегда положительно.

Следовательно, неравенство выполняется для любого действительного числа $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; \infty)$.

10) Решим неравенство $3x^2 - 4x + 2 \leq 0$.

Найдем дискриминант уравнения $3x^2 - 4x + 2 = 0$. $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16 - 24 = -8$.

Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a=3>0$, парабола $y = 3x^2 - 4x + 2$ полностью лежит выше оси Ox. Это означает, что выражение $3x^2 - 4x + 2$ всегда положительно.

Следовательно, неравенство $3x^2 - 4x + 2 \leq 0$ не имеет решений, так как левая часть никогда не бывает отрицательной или равной нулю.

Ответ: $x \in \emptyset$.

11) Решим неравенство $(2x + 1)^2 - (x + 1)(x - 7) \leq 5$.

Раскроем скобки и упростим выражение:

$(4x^2 + 4x + 1) - (x^2 - 7x + x - 7) \leq 5$

$4x^2 + 4x + 1 - (x^2 - 6x - 7) \leq 5$

$4x^2 + 4x + 1 - x^2 + 6x + 7 \leq 5$

$3x^2 + 10x + 8 \leq 5$

$3x^2 + 10x + 3 \leq 0$.

Теперь решим полученное квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $3x^2 + 10x + 3 = 0$. $D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 \pm 8}{6}$.

$x_1 = \frac{-10-8}{6} = -3$, $x_2 = \frac{-10+8}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$.

Ветви параболы $y = 3x^2 + 10x + 3$ направлены вверх ($a=3>0$). Неравенство $\leq 0$ выполняется на отрезке между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-3 \leq x \leq -\frac{1}{3}$.

Ответ: $x \in [-3; -\frac{1}{3}]$.

12) Решим неравенство $\frac{x - 1}{2} - 2x + 3 < \frac{x^2 + 3x}{4}$.

Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$4 \cdot \frac{x - 1}{2} - 4 \cdot 2x + 4 \cdot 3 < 4 \cdot \frac{x^2 + 3x}{4}$

$2(x - 1) - 8x + 12 < x^2 + 3x$

$2x - 2 - 8x + 12 < x^2 + 3x$

$-6x + 10 < x^2 + 3x$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 < x^2 + 3x + 6x - 10$

$x^2 + 9x - 10 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 9x - 10 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -9$ и $x_1 \cdot x_2 = -10$, откуда $x_1 = -10$ и $x_2 = 1$.

Ветви параболы $y = x^2 + 9x - 10$ направлены вверх ($a=1>0$). Неравенство $> 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x < -10$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -10) \cup (1; \infty)$.