Номер 225, страница 232 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Числовые неравенства и их свойства. Линейные и квадратичные неравенства и их системы. Метод интервалов. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 225, страница 232.

225. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} 6x^2 - 13x + 5 \ge 0, \\ 8 - 2x > 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - 6x - 27 < 0, \\ 2x - x^2 \le 0. \end{cases}$

1)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 6x^2-13x+5 \ge 0, \\ 8-2x > 0. \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство: $6x^2 - 13x + 5 \ge 0$.

Это квадратное неравенство. Для его решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $6x^2 - 13x + 5 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 5 = 169 - 120 = 49 = 7^2$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 7}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$

Графиком функции $y = 6x^2 - 13x + 5$ является парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($6 > 0$). Следовательно, выражение $6x^2 - 13x + 5$ принимает неотрицательные значения при $x$, находящихся левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; \frac{1}{2}] \cup [\frac{5}{3}; +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство: $8 - 2x > 0$.

Это линейное неравенство.

$-2x > -8$

$x < 4$ (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется).

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 4)$.

Для нахождения решения системы найдем пересечение множеств решений обоих неравенств: $((-\infty; \frac{1}{2}] \cup [\frac{5}{3}; +\infty)) \cap (-\infty; 4)$.

На числовой оси это будет пересечение двух областей. Это приводит к объединению двух интервалов: $(-\infty; \frac{1}{2}]$ и $[\frac{5}{3}; 4)$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{2}] \cup [\frac{5}{3}; 4)$.

2)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2-6x-27 < 0, \\ 2x-x^2 \le 0. \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 6x - 27 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x - 27 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 = 12^2$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{6 - 12}{2} = -3$

$x_2 = \frac{6 + 12}{2} = 9$

Парабола $y = x^2 - 6x - 27$ имеет ветви, направленные вверх ($1 > 0$). Неравенство выполняется, когда парабола находится ниже оси $x$, то есть между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-3; 9)$.

Решим второе неравенство: $2x - x^2 \le 0$.

Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный: $x^2 - 2x \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x = 0$:

$x(x - 2) = 0$

Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 - 2x$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $x^2 - 2x \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями, включая сами корни.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-3; 9) \cap ((-\infty; 0] \cup [2; +\infty))$.

Пересечение интервала $(-3; 9)$ с множеством $(-\infty; 0]$ дает интервал $(-3; 0]$.

Пересечение интервала $(-3; 9)$ с множеством $[2; +\infty)$ дает интервал $[2; 9)$.

Объединяя эти два результата, получаем общее решение системы.

Ответ: $x \in (-3; 0] \cup [2; 9)$.