Номер 228, страница 232 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Числовые неравенства и их свойства. Линейные и квадратичные неравенства и их системы. Метод интервалов. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 228, страница 232.

228. Найдите множество решений неравенства:

1) $(x^2 + 6x)(x^2 - 16) \le 0;$

2) $(x^2 - 6x + 5)(x^2 + 3x) > 0;$

3) $\frac{x^2 - 10x + 9}{x^2 + 4x + 3} > 0;$

4) $\frac{x^2 - x - 12}{x^2 - 81} \le 0.$

1) Решим неравенство $(x^2 + 6x)(x^2 - 16) \le 0$.

Сначала разложим на множители левую часть неравенства.

Первый множитель: $x^2 + 6x = x(x+6)$.

Второй множитель (разность квадратов): $x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4)$.

Неравенство принимает вид: $x(x+6)(x-4)(x+4) \le 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни левой части, приравняв ее к нулю:

$x(x+6)(x-4)(x+4) = 0$

Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -6$, $x_3 = 4$, $x_4 = -4$.

Отметим эти корни на числовой оси в порядке возрастания: -6, -4, 0, 4. Эти точки разбивают ось на пять интервалов. Так как неравенство нестрогое ($\le$), все точки будут закрашенными.

Определим знак выражения на каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $x=5$:

$5(5+6)(5-4)(5+4) = 5 \cdot 11 \cdot 1 \cdot 9 > 0$.

Так как все корни имеют кратность 1 (нечетную), знаки в интервалах будут чередоваться.

Расставим знаки на числовой оси: $(-\infty; -6): +$; $[-6; -4]: -$; $[-4; 0]: +$; $[0; 4]: -$; $[4; +\infty): +$.

Нам нужно найти множество решений, где выражение меньше или равно нулю. Это объединение интервалов со знаком "минус", включая их границы.

Ответ: $[-6, -4] \cup [0, 4]$.

2) Решим неравенство $(x^2 - 6x + 5)(x^2 + 3x) > 0$.

Разложим на множители левую часть.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$. Таким образом, $x^2 - 6x + 5 = (x-1)(x-5)$.

Второй множитель: $x^2 + 3x = x(x+3)$.

Неравенство принимает вид: $(x-1)(x-5)x(x+3) > 0$.

Найдем корни левой части: $x_1=1$, $x_2=5$, $x_3=0$, $x_4=-3$.

Отметим эти корни на числовой оси в порядке возрастания: -3, 0, 1, 5. Так как неравенство строгое ($>$), все точки будут выколотыми.

Определим знаки методом интервалов. Возьмем пробную точку $x=6$:

$(6-1)(6-5) \cdot 6 \cdot (6+3) > 0$.

Знаки в интервалах чередуются.

Расставим знаки на числовой оси: $(-\infty; -3): +$; $(-3; 0): -$; $(0; 1): +$; $(1; 5): -$; $(5; +\infty): +$.

Нам нужно найти множество решений, где выражение строго больше нуля. Это объединение интервалов со знаком "плюс".

Ответ: $(-\infty, -3) \cup (0, 1) \cup (5, \infty)$.

3) Решим неравенство $\frac{x^2 - 10x + 9}{x^2 + 4x + 3} > 0$.

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

Числитель: $x^2 - 10x + 9 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 9$. Значит, $x^2 - 10x + 9 = (x-1)(x-9)$.

Знаменатель: $x^2 + 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$. Значит, $x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x-1)(x-9)}{(x+1)(x+3)} > 0$.

Применим метод интервалов. Найдем нули числителя ($x=1, x=9$) и нули знаменателя ($x=-1, x=-3$).

Отметим эти точки на числовой оси. Нули знаменателя всегда выколотые, так как на ноль делить нельзя. Нули числителя также выколотые, так как неравенство строгое.

Точки в порядке возрастания: -3, -1, 1, 9.

Определим знак дроби в крайнем правом интервале, взяв $x=10$:

$\frac{(10-1)(10-9)}{(10+1)(10+3)} > 0$.

Все корни имеют нечетную кратность, поэтому знаки чередуются.

Расставим знаки: $(-\infty; -3): +$; $(-3; -1): -$; $(-1; 1): +$; $(1; 9): -$; $(9; +\infty): +$.

Нам нужны интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $(-\infty, -3) \cup (-1, 1) \cup (9, \infty)$.

4) Решим неравенство $\frac{x^2 - x - 12}{x^2 - 81} \le 0$.

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель: $x^2 - x - 12 = 0$. Найдем корни через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$. Корни $x_{1,2} = \frac{1 \pm 7}{2}$, то есть $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$. Таким образом, $x^2 - x - 12 = (x-4)(x+3)$.

Знаменатель (разность квадратов): $x^2 - 81 = (x-9)(x+9)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x-4)(x+3)}{(x-9)(x+9)} \le 0$.

Применим метод интервалов. Нули числителя: $x=4, x=-3$. Нули знаменателя: $x=9, x=-9$.

Отметим точки на числовой оси. Нули числителя ($x=-3, x=4$) будут закрашенными, так как неравенство нестрогое. Нули знаменателя ($x=-9, x=9$) всегда выколотые.

Точки в порядке возрастания: -9, -3, 4, 9.

Определим знак дроби в крайнем правом интервале, взяв $x=10$:

$\frac{(10-4)(10+3)}{(10-9)(10+9)} > 0$.

Знаки чередуются.

Расставим знаки: $(-\infty; -9): +$; $(-9; -3]: -$; $[-3; 4]: +$; $[4; 9): -$; $(9; +\infty): +$.

Нам нужны интервалы со знаком "минус", включая нули числителя.

Ответ: $(-9, -3] \cup [4, 9)$.