Номер 229, страница 232 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Числовые неравенства и их свойства. Линейные и квадратичные неравенства и их системы. Метод интервалов - номер 229, страница 232.

Учебник.

229. Решите неравенство:

1) $(x - 4)^2(x^2 - 8x + 12) < 0;$

2) $(x - 1)^2(x^2 - x - 6) \le 0;$

3) $(x + 2)^2(x^2 + x - 20) \ge 0;$

4) $(x + 5)^2(x^2 + 2x - 3) > 0;$

5) $(x - 5)^2(x^2 - x - 6) \ge 0;$

6) $(x - 6)^2(x^2 - 2x - 15) \le 0;$

7) $(x - 2)^2(x - 3)^4(x - 4)^3 \ge 0;$

8) $(x - 2)^2(x - 3)^3(x - 4)^4(x - 5)^5 \le 0;$

9) $\frac{x^2 - x - 12}{x^2 + 4x + 4} < 0;$

10) $\frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 3x - 10} \ge 0.$

Решение 2.

1) $(x - 4)^2(x^2 - 8x + 12) < 0$

Сначала разложим квадратный трехчлен $x^2 - 8x + 12$ на множители. Найдем его корни через дискриминант или по теореме Виета. Корни уравнения $x^2 - 8x + 12 = 0$ равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$.
Таким образом, $x^2 - 8x + 12 = (x - 2)(x - 6)$.
Неравенство принимает вид:
$(x - 4)^2(x - 2)(x - 6) < 0$
Множитель $(x - 4)^2$ всегда неотрицателен (то есть $\ge 0$). Так как неравенство строгое ($< 0$), то $(x - 4)^2$ должен быть строго больше нуля, что означает $x \ne 4$.
При условии $x \ne 4$, множитель $(x - 4)^2$ положителен, и мы можем разделить на него обе части неравенства, не меняя знака:
$(x - 2)(x - 6) < 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Корни: $x = 2$ и $x = 6$. Эти точки делят числовую прямую на три интервала. График функции $y = (x - 2)(x - 6)$ — это парабола с ветвями вверх, она принимает отрицательные значения между корнями.
Следовательно, решение неравенства $(x - 2)(x - 6) < 0$ есть интервал $(2, 6)$.
Учитывая ограничение $x \ne 4$, получаем решение исходного неравенства.
Ответ: $x \in (2, 4) \cup (4, 6)$.

2) $(x - 1)^2(x^2 - x - 6) \le 0$

Разложим на множители $x^2 - x - 6$. Корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.
Следовательно, $x^2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3)$.
Неравенство принимает вид:
$(x - 1)^2(x + 2)(x - 3) \le 0$
Множитель $(x - 1)^2$ всегда неотрицателен. Неравенство будет выполняться в двух случаях:
1. Когда выражение равно нулю. Это происходит при $x - 1 = 0$, $x + 2 = 0$ или $x - 3 = 0$, то есть при $x = 1, x = -2, x = 3$.
2. Когда выражение строго меньше нуля. Для этого множитель $(x + 2)(x - 3)$ должен быть отрицательным, а $(x - 1)^2$ — положительным (т.е. $x \ne 1$).
Решаем $(x + 2)(x - 3) < 0$. Корни -2 и 3, парабола ветвями вверх, значит решение — интервал $(-2, 3)$.
Объединяя решения из пунктов 1 и 2, получаем: интервал $(-2, 3)$ и точки $x = -2, x = 1, x = 3$. Точки $x=-2$ и $x=3$ делают интервал отрезком, а точка $x=1$ уже лежит внутри этого отрезка.
Ответ: $x \in [-2, 3]$.

3) $(x + 2)^2(x^2 + x - 20) \ge 0$

Разложим на множители $x^2 + x - 20$. Корни уравнения $x^2 + x - 20 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = -5$ и $x_2 = 4$.
Следовательно, $x^2 + x - 20 = (x + 5)(x - 4)$.
Неравенство принимает вид:
$(x + 2)^2(x + 5)(x - 4) \ge 0$
Множитель $(x + 2)^2 \ge 0$ при любых $x$.
Неравенство выполняется, если:
1. Выражение равно нулю. Это происходит при $x = -2, x = -5, x = 4$.
2. Выражение строго больше нуля. Для этого $(x + 5)(x - 4) > 0$ и $(x + 2)^2 > 0$ (т.е. $x \ne -2$).
Решаем $(x + 5)(x - 4) > 0$. Корни -5 и 4, парабола ветвями вверх, значит решение — объединение интервалов $(-\infty, -5) \cup (4, \infty)$.
Объединяя решения из пунктов 1 и 2, получаем: $(-\infty, -5] \cup [4, \infty)$ и отдельную точку $x = -2$.
Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup [4, \infty) \cup \{-2\}$.

4) $(x + 5)^2(x^2 + 2x - 3) > 0$

Разложим на множители $x^2 + 2x - 3$. Корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.
Следовательно, $x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)$.
Неравенство принимает вид:
$(x + 5)^2(x + 3)(x - 1) > 0$
Множитель $(x + 5)^2 \ge 0$. Так как неравенство строгое, то $x \ne -5$.
При $x \ne -5$, множитель $(x + 5)^2$ положителен. Разделим на него неравенство:
$(x + 3)(x - 1) > 0$
Корни -3 и 1, парабола ветвями вверх, решение: $(-\infty, -3) \cup (1, \infty)$.
Необходимо учесть условие $x \ne -5$. Точка -5 принадлежит интервалу $(-\infty, -3)$, поэтому ее нужно исключить.
Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup (-5, -3) \cup (1, \infty)$.

5) $(x - 5)^2(x^2 - x - 6) \ge 0$

Разложим на множители $x^2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3)$ (см. задачу 2).
Неравенство принимает вид:
$(x - 5)^2(x + 2)(x - 3) \ge 0$
Множитель $(x - 5)^2 \ge 0$. Неравенство выполняется, если:
1. Выражение равно нулю: при $x = 5, x = -2, x = 3$.
2. Выражение больше нуля: $(x + 2)(x - 3) > 0$ при $x \ne 5$.
Решение $(x + 2)(x - 3) > 0$ есть $(-\infty, -2) \cup (3, \infty)$.
Объединяя результаты: к множеству $(-\infty, -2) \cup (3, \infty)$ добавляем точки $x=-2, x=3, x=5$.
Это дает $(-\infty, -2] \cup [3, \infty)$. Точка $x=5$ уже входит в этот промежуток.
Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [3, \infty)$.

6) $(x - 6)^2(x^2 - 2x - 15) \le 0$

Разложим на множители $x^2 - 2x - 15$. Корни уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 5$.
Следовательно, $x^2 - 2x - 15 = (x + 3)(x - 5)$.
Неравенство принимает вид:
$(x - 6)^2(x + 3)(x - 5) \le 0$
Множитель $(x - 6)^2 \ge 0$. Неравенство выполняется, если:
1. Выражение равно нулю: при $x = 6, x = -3, x = 5$.
2. Выражение меньше нуля: $(x + 3)(x - 5) < 0$ при $x \ne 6$.
Решение $(x + 3)(x - 5) < 0$ есть интервал $(-3, 5)$.
Объединяя результаты: к интервалу $(-3, 5)$ добавляем точки $x = -3, x = 5, x = 6$.
Получаем отрезок $[-3, 5]$ и изолированную точку $x=6$.
Ответ: $x \in [-3, 5] \cup \{6\}$.

7) $(x - 2)^2(x - 3)^4(x - 4)^3 \ge 0$

Множители $(x - 2)^2$ и $(x - 3)^4$ всегда неотрицательны, так как они в четной степени.
Неравенство выполняется, если:
1. Выражение равно нулю. Это происходит, когда любой из множителей равен нулю: $x = 2, x = 3, x = 4$.
2. Выражение строго больше нуля. Для этого все множители должны быть не равны нулю, и произведение должно быть положительным. Так как $(x - 2)^2 > 0$ и $(x - 3)^4 > 0$ при $x \ne 2$ и $x \ne 3$, то знак всего выражения определяется знаком множителя $(x - 4)^3$.
Нужно, чтобы $(x - 4)^3 > 0$, что эквивалентно $x - 4 > 0$, то есть $x > 4$.
Объединяя результаты: интервал $(4, \infty)$ и точки $x=2, x=3, x=4$. Это дает $[4, \infty)$ и изолированные точки $x=2, x=3$.
Ответ: $x \in [4, \infty) \cup \{2, 3\}$.

8) $(x - 2)^2(x - 3)^3(x - 4)^4(x - 5)^5 \le 0$

Множители в четной степени $(x - 2)^2$ и $(x - 4)^4$ всегда неотрицательны.
Множители в нечетной степени $(x - 3)^3$ и $(x - 5)^5$ имеют тот же знак, что и их основания $(x - 3)$ и $(x - 5)$.
Неравенство выполняется, если:
1. Выражение равно нулю. Это происходит при $x = 2, x = 3, x = 4, x = 5$.
2. Выражение строго меньше нуля. Для этого произведение $(x - 3)^3(x - 5)^5$ должно быть отрицательным, а множители $(x - 2)^2$ и $(x - 4)^4$ положительными (т.е. $x \ne 2$ и $x \ne 4$).
Решаем $(x - 3)^3(x - 5)^5 < 0$, что эквивалентно $(x - 3)(x - 5) < 0$. Решением является интервал $(3, 5)$.
Объединяя результаты: интервал $(3, 5)$ и точки $x=2, 3, 4, 5$.
Это дает отрезок $[3, 5]$ и изолированную точку $x=2$. Точка $x=4$ уже входит в отрезок $[3, 5]$.
Ответ: $x \in [3, 5] \cup \{2\}$.

9) $\frac{x^2 - x - 12}{x^2 + 4x + 4} < 0$

Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель: $x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)$.
Знаменатель: $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{(x - 4)(x + 3)}{(x + 2)^2} < 0$
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю, т.е. $(x + 2)^2 \ne 0 \implies x \ne -2$.
На ОДЗ знаменатель $(x + 2)^2$ всегда положителен. Поэтому мы можем умножить обе части неравенства на $(x + 2)^2$, не меняя знака:
$(x - 4)(x + 3) < 0$
Решением этого неравенства является интервал $(-3, 4)$.
Учитывая ОДЗ ($x \ne -2$), исключаем эту точку из полученного интервала.
Ответ: $x \in (-3, -2) \cup (-2, 4)$.

10) $\frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 3x - 10} \ge 0$

Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$.
Знаменатель: $x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2)$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{(x - 3)^2}{(x - 5)(x + 2)} \ge 0$
ОДЗ: $(x - 5)(x + 2) \ne 0 \implies x \ne 5$ и $x \ne -2$.
Неравенство выполняется в двух случаях:
1. Дробь равна нулю. Это происходит, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен. $(x-3)^2 = 0 \implies x=3$. Эта точка удовлетворяет ОДЗ.
2. Дробь строго больше нуля. Так как числитель $(x - 3)^2$ всегда положителен при $x \ne 3$, необходимо, чтобы знаменатель также был положителен: $(x - 5)(x + 2) > 0$.
Решением этого неравенства является объединение интервалов $(-\infty, -2) \cup (5, \infty)$.
Объединяя результаты из пунктов 1 и 2, получаем: $(-\infty, -2) \cup (5, \infty)$ и изолированную точку $x=3$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (5, \infty) \cup \{3\}$.