Номер 230, страница 232 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Числовые неравенства и их свойства. Линейные и квадратичные неравенства и их системы. Метод интервалов. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 230, страница 232.

230. Решите неравенство:

1) $\frac{1}{x+3} < \frac{2}{x-4}$;

2) $\frac{x+1}{x} - \frac{x-1}{x+1} < 2$;

3) $\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2} \ge \frac{3}{x}$;

4) $\frac{7}{x^2-9} - \frac{12}{x^2-4} \ge 0$.

1) $\frac{1}{x+3} < \frac{2}{x-4}$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{1}{x+3} - \frac{2}{x-4} < 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x+3)(x-4)$:

$\frac{(x-4) - 2(x+3)}{(x+3)(x-4)} < 0$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{x-4-2x-6}{(x+3)(x-4)} < 0$

$\frac{-x-10}{(x+3)(x-4)} < 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{x+10}{(x+3)(x-4)} > 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

$x+10=0 \Rightarrow x=-10$

$x+3=0 \Rightarrow x=-3$

$x-4=0 \Rightarrow x=4$

Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -10)$, $(-10; -3)$, $(-3; 4)$, $(4; +\infty)$. Определим знак выражения в каждом интервале:

• При $x>4$ (например, $x=5$): $\frac{5+10}{(5+3)(5-4)} = \frac{15}{8} > 0$
• При $-3 < x < 4$ (например, $x=0$): $\frac{0+10}{(0+3)(0-4)} = \frac{10}{-12} < 0$
• При $-10 < x < -3$ (например, $x=-5$): $\frac{-5+10}{(-5+3)(-5-4)} = \frac{5}{18} > 0$
• При $x<-10$ (например, $x=-11$): $\frac{-11+10}{(-11+3)(-11-4)} = \frac{-1}{120} < 0$

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля.

Ответ: $x \in (-10; -3) \cup (4; +\infty)$

2) $\frac{x+1}{x} - \frac{x-1}{x+1} < 2$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$ и $x \neq -1$.

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{x+1}{x} - \frac{x-1}{x+1} - 2 < 0$

Приведем к общему знаменателю $x(x+1)$:

$\frac{(x+1)^2 - x(x-1) - 2x(x+1)}{x(x+1)} < 0$

Упростим числитель:

$\frac{(x^2+2x+1) - (x^2-x) - (2x^2+2x)}{x(x+1)} < 0$

$\frac{x^2+2x+1-x^2+x-2x^2-2x}{x(x+1)} < 0$

$\frac{-2x^2+x+1}{x(x+1)} < 0$

Умножим на $-1$ и сменим знак неравенства:

$\frac{2x^2-x-1}{x(x+1)} > 0$

Найдем корни числителя $2x^2-x-1=0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 9$. Корни $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4}$, то есть $x_1 = 1$ и $x_2 = -1/2$.

Разложим числитель на множители: $2(x-1)(x+1/2)$. Неравенство примет вид:

$\frac{2(x-1)(x+1/2)}{x(x+1)} > 0$

Решим методом интервалов. Корни: $-1, -1/2, 0, 1$. Они разбивают числовую ось на интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; -1/2)$, $(-1/2; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.

• При $x>1$ (например, $x=2$): $\frac{+}{+} > 0$
• При $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$): $\frac{-}{+} < 0$
• При $-1/2 < x < 0$ (например, $x=-0.25$): $\frac{+}{+} > 0$
• При $-1 < x < -1/2$ (например, $x=-0.75$): $\frac{-}{+} < 0$
• При $x<-1$ (например, $x=-2$): $\frac{+}{+} > 0$

Выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1/2; 0) \cup (1; +\infty)$

3) $\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2} \ge \frac{3}{x}$

ОДЗ: $x \neq -2, x \neq 0, x \neq 2$.

Перенесем все в левую часть:

$\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2} - \frac{3}{x} \ge 0$

Общий знаменатель $x(x-2)(x+2) = x(x^2-4)$:

$\frac{x(x+2) + x(x-2) - 3(x^2-4)}{x(x-2)(x+2)} \ge 0$

Упростим числитель:

$\frac{x^2+2x+x^2-2x-3x^2+12}{x(x^2-4)} \ge 0$

$\frac{-x^2+12}{x(x^2-4)} \ge 0$

Умножим на $-1$ и сменим знак:

$\frac{x^2-12}{x(x^2-4)} \le 0$

Разложим на множители:

$\frac{(x-\sqrt{12})(x+\sqrt{12})}{x(x-2)(x+2)} \le 0$

$\frac{(x-2\sqrt{3})(x+2\sqrt{3})}{x(x-2)(x+2)} \le 0$

Решим методом интервалов. Корни числителя (включаются в решение): $x=\pm 2\sqrt{3}$. Корни знаменателя (не включаются): $x=0, x=\pm 2$.

Расположим корни на числовой оси: $-2\sqrt{3}, -2, 0, 2, 2\sqrt{3}$ (где $2\sqrt{3} \approx 3.46$).

Определим знаки на интервалах. Для $x > 2\sqrt{3}$ (например, $x=4$) выражение положительно. Далее знаки чередуются.

$(-\infty; -2\sqrt{3}]$: знак "-". Подходит.

$[-2\sqrt{3}; -2)$: знак "+". Не подходит.

$(-2; 0)$: знак "-". Подходит.

$(0; 2)$: знак "+". Не подходит.

$(2; 2\sqrt{3}]$: знак "-". Подходит.

$[2\sqrt{3}; +\infty)$: знак "+". Не подходит.

Объединяем подходящие интервалы.

Ответ: $x \in (-\infty; -2\sqrt{3}] \cup (-2; 0) \cup (2; 2\sqrt{3}]$

4) $\frac{7}{x^2-9} - \frac{12}{x^2-4} \ge 0$

ОДЗ: $x^2-9 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 3$; $x^2-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2$.

Приведем к общему знаменателю $(x^2-9)(x^2-4)$:

$\frac{7(x^2-4) - 12(x^2-9)}{(x^2-9)(x^2-4)} \ge 0$

Упростим числитель:

$\frac{7x^2-28-12x^2+108}{(x^2-9)(x^2-4)} \ge 0$

$\frac{-5x^2+80}{(x^2-9)(x^2-4)} \ge 0$

Разделим на $-5$ и сменим знак неравенства:

$\frac{x^2-16}{(x^2-9)(x^2-4)} \le 0$

Разложим все на множители:

$\frac{(x-4)(x+4)}{(x-3)(x+3)(x-2)(x+2)} \le 0$

Решим методом интервалов. Корни числителя (включаются): $x=\pm 4$. Корни знаменателя (не включаются): $x=\pm 3, x=\pm 2$.

Расположим корни на числовой оси: $-4, -3, -2, 2, 3, 4$.

Определим знаки на интервалах. Для $x > 4$ (например, $x=5$) все множители положительны, значит выражение > 0. Далее знаки чередуются, так как все корни имеют кратность 1.

$(-\infty; -4]$: знак "+". Не подходит.

$[-4; -3)$: знак "-". Подходит.

$(-3; -2)$: знак "+". Не подходит.

$(-2; 2)$: знак "-". Подходит.

$(2; 3)$: знак "+". Не подходит.

$(3; 4]$: знак "-". Подходит.

$[4; +\infty)$: знак "+". Не подходит.

Объединяем подходящие интервалы.

Ответ: $x \in [-4; -3) \cup (-2; 2) \cup (3; 4]$