Номер 233, страница 233 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Степени и корни - номер 233, страница 233.

Учебник.

233. Представьте в виде дроби выражение:

1) $a^{-3} + a^{-4}$;

2) $mn^{-5} + m^{-5}n$;

3) $(a^{-1} - b^{-1}) \cdot (a - b)^{-2}$;

4) $(x^{-4} + y^{-4}) \cdot (x^4 + y^4)^{-1}.

Решение 2.

1) Чтобы представить выражение $a^{-3} + a^{-4}$ в виде дроби, воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

Применив это свойство к каждому слагаемому, получим:

$a^{-3} + a^{-4} = \frac{1}{a^3} + \frac{1}{a^4}$

Далее, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $a^3$ и $a^4$ - это $a^4$. Домножим первую дробь на недостающий множитель $a$:

$\frac{1 \cdot a}{a^3 \cdot a} + \frac{1}{a^4} = \frac{a}{a^4} + \frac{1}{a^4}$

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{a + 1}{a^4}$

Ответ: $\frac{a+1}{a^4}$

2) Рассмотрим выражение $mn^{-5} + m^{-5}n$. Снова используем свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

Преобразуем каждое слагаемое:

$mn^{-5} = m \cdot \frac{1}{n^5} = \frac{m}{n^5}$

$m^{-5}n = \frac{1}{m^5} \cdot n = \frac{n}{m^5}$

Сложим полученные дроби:

$\frac{m}{n^5} + \frac{n}{m^5}$

Найдем общий знаменатель, который равен $m^5n^5$. Приведем дроби к этому знаменателю:

$\frac{m \cdot m^5}{n^5 \cdot m^5} + \frac{n \cdot n^5}{m^5 \cdot n^5} = \frac{m^6}{m^5n^5} + \frac{n^6}{m^5n^5}$

Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{m^6 + n^6}{m^5n^5}$

Ответ: $\frac{m^6 + n^6}{m^5n^5}$

3) Упростим выражение $(a^{-1} - b^{-1}) \cdot (a - b)^{-2}$.

Сначала преобразуем степени с отрицательным показателем:

$a^{-1} - b^{-1} = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$

$(a - b)^{-2} = \frac{1}{(a - b)^2}$

Выражение принимает вид:

$(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}) \cdot \frac{1}{(a - b)^2}$

Выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $ab$:

$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} - \frac{a}{ab} = \frac{b - a}{ab}$

Теперь умножим полученный результат на второй множитель:

$\frac{b - a}{ab} \cdot \frac{1}{(a - b)^2}$

Заметим, что $b - a = -(a - b)$. Подставим это в числитель:

$\frac{-(a - b)}{ab(a - b)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(a - b)$:

$\frac{-1}{ab(a - b)}$

Ответ: $-\frac{1}{ab(a - b)}$

4) Рассмотрим выражение $(x^{-4} + y^{-4}) \cdot (x^4 + y^4)^{-1}$.

Преобразуем степени с отрицательными показателями:

$(x^{-4} + y^{-4}) = \frac{1}{x^4} + \frac{1}{y^4}$

$(x^4 + y^4)^{-1} = \frac{1}{x^4 + y^4}$

Выражение принимает вид:

$(\frac{1}{x^4} + \frac{1}{y^4}) \cdot \frac{1}{x^4 + y^4}$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $x^4y^4$:

$\frac{y^4}{x^4y^4} + \frac{x^4}{x^4y^4} = \frac{x^4 + y^4}{x^4y^4}$

Теперь выполним умножение:

$\frac{x^4 + y^4}{x^4y^4} \cdot \frac{1}{x^4 + y^4} = \frac{x^4 + y^4}{x^4y^4(x^4 + y^4)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x^4 + y^4)$:

$\frac{1}{x^4y^4}$

Ответ: $\frac{1}{x^4y^4}$