Номер 239, страница 233 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Степени и корни - номер 239, страница 233.

Учебник.

239. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{0,1} \cdot \sqrt{0,4}$;

2) $\frac{\sqrt{180}}{\sqrt{5}}$;

3) $\sqrt{\sqrt{29} - 5} \cdot \sqrt{\sqrt{29} + 5}$;

4) $\sqrt[4]{125} \cdot \sqrt[4]{5}$;

5) $\sqrt[6]{32} \cdot \sqrt[6]{2}$;

6) $\sqrt[9]{27} \cdot 7^4 \cdot \sqrt[9]{75} \cdot 2^{20}$;

7) $\frac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{250}}$;

8) $\sqrt[5]{\sqrt{17} - 7} \cdot \sqrt[5]{\sqrt{17} + 7}$.

Решение 2.

1) Для нахождения значения выражения воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{0,1} \cdot \sqrt{0,4} = \sqrt{0,1 \cdot 0,4} = \sqrt{0,04}$.
Квадратный корень из $0,04$ равен $0,2$, так как $0,2^2 = 0,04$.
$\sqrt{0,04} = 0,2$.
Ответ: 0,2.

2) Применим свойство частного корней одинаковой степени: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt{180}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{180}{5}} = \sqrt{36}$.
Квадратный корень из $36$ равен $6$.
$\sqrt{36} = 6$.
Ответ: 6.

3) Воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{\sqrt{29} - 5} \cdot \sqrt{\sqrt{29} + 5} = \sqrt{(\sqrt{29} - 5) \cdot (\sqrt{29} + 5)}$.
Выражение в скобках является разностью квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.
$(\sqrt{29} - 5) \cdot (\sqrt{29} + 5) = (\sqrt{29})^2 - 5^2 = 29 - 25 = 4$.
Таким образом, получаем $\sqrt{4} = 2$.
Ответ: 2.

4) Используем свойство произведения корней n-ной степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$\sqrt[4]{125} \cdot \sqrt[4]{5} = \sqrt[4]{125 \cdot 5} = \sqrt[4]{625}$.
Поскольку $5^4 = 625$, то $\sqrt[4]{625} = 5$.
Ответ: 5.

5) Применим свойство произведения корней n-ной степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$\sqrt[6]{32} \cdot \sqrt[6]{2} = \sqrt[6]{32 \cdot 2} = \sqrt[6]{64}$.
Поскольку $2^6 = 64$, то $\sqrt[6]{64} = 2$.
Ответ: 2.

6) Используем свойство произведения корней n-ной степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$ и свойства степеней.
$\sqrt[9]{2^7 \cdot 7^4} \cdot \sqrt[9]{7^5 \cdot 2^{20}} = \sqrt[9]{(2^7 \cdot 7^4) \cdot (7^5 \cdot 2^{20})}$.
Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями: $\sqrt[9]{(2^7 \cdot 2^{20}) \cdot (7^4 \cdot 7^5)}$.
Используя свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, получаем: $\sqrt[9]{2^{7+20} \cdot 7^{4+5}} = \sqrt[9]{2^{27} \cdot 7^9}$.
Далее, используя свойства $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$ и $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:
$\sqrt[9]{2^{27}} \cdot \sqrt[9]{7^9} = 2^{\frac{27}{9}} \cdot 7^{\frac{9}{9}} = 2^3 \cdot 7^1 = 8 \cdot 7 = 56$.
Ответ: 56.

7) Применим свойство частного корней n-ной степени: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{250}} = \sqrt[3]{\frac{54}{250}}$.
Сократим дробь под корнем, разделив числитель и знаменатель на 2: $\frac{54}{250} = \frac{27}{125}$.
Получаем $\sqrt[3]{\frac{27}{125}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$.

8) Используем свойство произведения корней n-ной степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$\sqrt[5]{\sqrt{17} - 7} \cdot \sqrt[5]{\sqrt{17} + 7} = \sqrt[5]{(\sqrt{17} - 7) \cdot (\sqrt{17} + 7)}$.
Выражение в скобках является разностью квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.
$(\sqrt{17} - 7) \cdot (\sqrt{17} + 7) = (\sqrt{17})^2 - 7^2 = 17 - 49 = -32$.
Получаем $\sqrt[5]{-32}$.
Поскольку $(-2)^5 = -32$, то $\sqrt[5]{-32} = -2$.
Ответ: -2.