Номер 246, страница 234 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Степени и корни. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 246, страница 234.

246. Упростите выражение (переменные принимают неотрицательные значения):

1) $\sqrt[4]{b\sqrt[5]{b^4}}$;

2) $\sqrt[3]{c\sqrt[7]{c^2}}$;

3) $\sqrt[6]{a^2\sqrt[5]{a^2}}$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{b\sqrt[5]{b^4}}$ необходимо внести множитель $b$, находящийся под внешним корнем, под знак внутреннего корня. Для этого возведем $b$ в степень, равную показателю внутреннего корня, то есть в 5-ю степень. $$ \sqrt[4]{b\sqrt[5]{b^4}} = \sqrt[4]{\sqrt[5]{b^5 \cdot b^4}} $$ Теперь, используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, сложим показатели у переменной $b$ под внутренним корнем: $$ \sqrt[4]{\sqrt[5]{b^{5+4}}} = \sqrt[4]{\sqrt[5]{b^9}} $$ Далее применим свойство "корень из корня" $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[mn]{x}$, перемножив показатели корней: $$ \sqrt[4 \cdot 5]{b^9} = \sqrt[20]{b^9} $$ Так как по условию переменные принимают неотрицательные значения, это выражение является окончательным.
Ответ: $\sqrt[20]{b^9}$

2) Упростим выражение $\sqrt[3]{c\sqrt[7]{c^2}}$. Аналогично предыдущему пункту, внесем множитель $c$ под знак внутреннего корня 7-й степени: $$ \sqrt[3]{c\sqrt[7]{c^2}} = \sqrt[3]{\sqrt[7]{c^7 \cdot c^2}} $$ Сложим показатели степеней под внутренним корнем: $$ \sqrt[3]{\sqrt[7]{c^{7+2}}} = \sqrt[3]{\sqrt[7]{c^9}} $$ Объединим корни, перемножив их показатели: $$ \sqrt[3 \cdot 7]{c^9} = \sqrt[21]{c^9} $$ Теперь можно упростить полученное выражение, сократив показатель корня (21) и показатель степени подкоренного выражения (9) на их наибольший общий делитель, который равен 3: $$ \sqrt[21 \div 3]{c^{9 \div 3}} = \sqrt[7]{c^3} $$
Ответ: $\sqrt[7]{c^3}$

3) Упростим выражение $\sqrt[6]{a^2\sqrt[5]{a^2}}$. Внесем множитель $a^2$ под знак внутреннего корня 5-й степени, для чего возведем $a^2$ в 5-ю степень: $$ \sqrt[6]{a^2\sqrt[5]{a^2}} = \sqrt[6]{\sqrt[5]{(a^2)^5 \cdot a^2}} $$ Используя свойство $(x^m)^n = x^{mn}$, упростим первый множитель под внутренним корнем: $$ \sqrt[6]{\sqrt[5]{a^{10} \cdot a^2}} $$ Сложим показатели степеней: $$ \sqrt[6]{\sqrt[5]{a^{10+2}}} = \sqrt[6]{\sqrt[5]{a^{12}}} $$ Объединим корни: $$ \sqrt[6 \cdot 5]{a^{12}} = \sqrt[30]{a^{12}} $$ Сократим показатель корня (30) и показатель степени (12) на их наибольший общий делитель, который равен 6: $$ \sqrt[30 \div 6]{a^{12 \div 6}} = \sqrt[5]{a^2} $$
Ответ: $\sqrt[5]{a^2}$